【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.1第三课时《两角和与差的正切公式》导学案-2019人教A版.doc，共(14)页，360.000 KB，由小喜鸽上传

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第三课时两角和与差的正切公式课标要求素养要求1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，感悟

数学抽象的作用，提升逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究如图所示，每个小正方形的边长为1，tanα＝12，tanβ＝13，∠COD＝α－β.问题能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值.提示能；利用两角和与差的正切公式可求tan(α－β)，tan(

α＋β)的值.1.两角和与差的正切公式注意公式中的符号名称简记符号公式使用条件两角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβα，β，α＋β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ≠±1两角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝tanα－

tanβ1＋tanαtanβ2.两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan__αtan__β).tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β).tanαtan

β＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan__αtan__β).tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β).tanαtanβ＝tanα－tanβtan（α－β）－1

教材拓展补遗[微判断]1.存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立.(√)2.对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立.(×)提示两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z).3.tan

π2＋π3能根据公式tan(α－β)直接展开.(×)提示π2的正切值不存在.[微训练]1.若tanα－π4＝16，则tanα＝________.解析tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋t

anπ41－tanα－π4·tanπ4＝16＋11－16＝75.答案752.已知tanα＝2，则tanα＋π4＝________.解析tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝－

3.答案－33.tan75°－tan15°1＋tan75°·tan15°＝________.解析原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.答案3[微思考]你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α＋β)与tan(α－β)吗？提示tan(α＋β)＝sin（α＋β）cos（α

＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosα＋sinβcosβ1－sinαsinβcosαcosβ＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ类似地可以推导tan(α－β)，也可用－β代替tan(α＋β)中的β，tan(α－

β)＝tan[α＋(－β)]＝tanα＋tan（－β）1－tanαtan（－β）＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.题型一公式的正用、逆用、变形用【例1】(1)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tan__β＝(

)注意角的变换，即：β＝（α＋β）－αA.17B.16C.57D.56解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝17.答案A(2)1－3tan75°3＋tan7

5°＝________；解析原式＝1－tan60°tan75°tan60°＋tan75°＝1tan（60°＋75°）＝1tan135°＝－1.答案－1(3)求值：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝________.公式的变形应用解析∵tan23°

＋tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)，∴原式＝3－3tan23°tan37°＋3tan23°tan37°＝3.答案3规律方法探究公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”

的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tanπ4来代换，以达到化简求值的目的，如1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α；3tanα＋31－tanα＝3tanα＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·

tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.【训练1】求值：(1)1＋tan15°1－tan15°；(2)tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°；(3)(1＋tan18°)(1＋tan27°).解(1)1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°

1－tan15°tan45°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.(2)由tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－

tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1.(3)(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°t

an27°)＋tan18°·tan27°＝2.题型二条件求值问题【例2】(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为()A.－3B.－1C.1D.3解析由题意知tanα＋tanβ＝3，

tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝31－2＝－3.答案A(2)已知sin__α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tanβ的值为()符号的选取是关键A.－3B.

3C.－33D.33解析∵α为第二象限角，∴cosα<0，cosα＝－32，∴tanα＝－33.tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）·tanα＝－3＋331＋（－3）·（－33）＝－33.答案C规律方法给值

求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函

数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.【训练2】已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π3＝13.求tanα＋π3的值.解tanα＋π3＝tan（α＋β）－β－π3＝tan（α＋β）－ta

nβ－π31＋tan()α＋βtanβ－π3＝35－131＋35·13＝29.题型三给值求角问题【例3】(1)在△ABC中，tanA＝13，tanB＝－2，则角C＝________；在△ABC中，注意隐

含条件A＋B＋C＝π解析tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝13－21－13×（－2）＝－1，∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝3π4，∴C＝π－(A＋B)＝π4.答案π4(2)若α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.解∵(1－tan

α)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈π2，π，∴α＋β∈(π，2π).∴α＋β＝7π4.规律方法探究利用公式T(

α±β)求角的步骤(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值.(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角.【训练3】已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于()A.π8B.π4C.38

πD.π2解析∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）·tan（α－β）＝3＋21－3×2＝－1，∴2α＝－π4＋kπ(k∈Z)，∴α＝－π8＋12kπ(k∈Z).又∵α为锐角，∴α＝π2－π8＝3π8.答案

C一、素养落地1.通过诱导公式、同角的三角函数关系式以及两角和与差的公式的综合应用，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.2.公式T(α±β)的逆用时，一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换

.如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等.要特别注意tan(π4＋α)＝1＋tanα1－tanα，tan(π4－α)＝1－tanα1＋tanα.3.只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.二、素养训练1

.已知α，β为任意角，则下列等式：①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；③cosπ2＋α＝－sinα；④tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.其中恒成立的等式有()A.

2个B.3个C.4个D.1个解析①②③恒成立.答案B2.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ＝()A.2B.1C.12D.4解析∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4，∴21－tanαtanβ

＝4，∴tanαtanβ＝12.答案C3.tanα－5π4＝15，则tanα＝________.解析tanα＝tanα－5π4＋5π4＝15＋11－15×1＝32.答案324.求

值：1－tan75°1＋tan75°＝________.解析原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－33.答案－335.求值：tan11π12＝_______

_.解析tan11π12＝－tanπ12＝－tanπ4－π6＝－1－331＋33＝－2＋3.答案－2＋3三、审题答题示范(六)给值求值、求角【典型示例】(12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy

中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β①，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是210和255②.(1)求tan(α＋β)③的值；(2)求α＋2β④的值.联想解题看到①想到α、β的范围，可求α＋2β的范围.看到②想到任意角的三角函数的定义，可得cosα＝2

10.cosβ＝255，从而先求得sinα＝7210，sinβ＝55.看到③想到和角公式，从而求tanα、tanβ.看到④想到求α＋2β的某一三角函数值.满分示范解(1)由题意可得cosα＝210，cosβ＝255.2分由于α

，β为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.从而tanα＝7，tanβ＝12，4分所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－72＝－3.6分(2)因为tan

(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan（α＋β）＋tanβ1－tan（α＋β）tanβ＝－3＋121＋32＝－1.8分又0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋2β<3π2，10分从而α＋2β＝3π4.12分满分心得1.解决此类问题思路是(1)先化简所求

式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数各角入手)；(3)将已知条件代入，化简求值.2.在求角时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.3.若角的范围是0，π2，选正、余弦均可；若角的范围为(0，π)，选余

弦函数；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数.基础达标一、选择题1.若tanπ4＋α＝2，则tanα的值为()A.13B.－13C.23D.－23解析tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝

2，解得tanα＝13.答案A2.已知A＋B＝45°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为()A.1B.2C.－2D.不确定解析(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B

)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2.答案B3.A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是()A.钝角三角形B.锐角三角

形C.直角三角形D.无法确定解析∵tanA＋tanB＝53，tanA·tanB＝13，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝52，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－52，∴C为钝角.答案A4.已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，

那么tan(α＋π4)＝()A.1318B.1322C.322D.518解析tanα＋π4＝tan（α＋β）－β－π4＝25－141＋25×14＝322，故选C.答案C5.下列式子结果为3的是()①tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°；②2

(sin35°cos25°＋cos35°·cos65°)；③1＋tan15°1－tan15°；④1－tan15°1＋tan15°.A.①②B.③C.①②③D.②③④解析对于①利用正切的变形公式可得原式＝3；对于②原式可化为2(sin

35°cos25°＋cos35°sin25°)＝2sin60°＝3.对于③原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan60°＝3.对于④原式＝13＝33，故选C.答案C二、填空题6.已知tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，

则tanα＋β2＝________.解析tanα＋β2＝tan[(α－β2)＋(β－α2)]＝12－131－12×（－13）＝17.答案177.已知A，B都是锐角，且tanA＝13，sinB＝55，则A＋B＝___

_.解析∵B为锐角，sinB＝55，∴cosB＝255，∴tanB＝12，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝13＋121－13×12＝1.∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4.答案π48.已知sinα＋cosαsinα－cosα

＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析由条件知sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，则tanα＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α

)＝tan[(β－α)－α]＝tan（β－α）－tanα1＋tan（β－α）tanα＝－2－21＋（－2）×2＝43.答案43三、解答题9.已知tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，试求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.

解由已知有tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝－3.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－（－3）＝34.∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)＝sin2（α＋β）－3sin（α＋β）cos（α＋β）

－3cos2（α＋β）sin2（α＋β）＋cos2（α＋β）＝tan2（α＋β）－3tan（α＋β）－3tan2（α＋β）＋1＝（34）2－3×34－3（34）2＋1＝－3.10.已知tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α

<π2，π<β<3π2，求tan(α＋β)及α＋β的值.解∵tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝56，tanαtanβ＝16，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝561－16

＝1.又∵0<α<π2，π<β<3π2，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝5π4.能力提升11.已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值.解因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，所以tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan（

α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）tan（α－β）＝2＋31－2×3＝－1，tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tan（α＋β）－tan（α－β）1＋tan（α＋β）tan（α－β）＝2－31＋2×

3＝－17，所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan2α＋tan2β＝－1－17＝－87.12.已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.解∵tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝

tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12＋－171－12×－17＝13<1.∵α∈(0，π)，∴0<α<π4，0<2α<π2.又tanβ＝－17<0，β∈(0，π)，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0.又tan(2α－β)＝tan[(α－

β)＋α]＝tan（α－β）＋tanα1－tan（α－β）tanα＝12＋131－12×13＝1，∴2α－β＝－3π4.