【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.1第三课时《两角和与差的正切公式》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(35)页，3.785 MB，由小喜鸽上传

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第三课时两角和与差的正切公式课标要求素养要求1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.从公式间的联系入手，引导学生对公式变形，

感悟数学抽象的作用，提升逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究如图所示，每个小正方形的边长为1，tanα＝12，tanβ＝13，∠COD＝α－β.问题能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值.提示能；利用两角和与差的正切公式可求tan(α－β)，tan(α＋β)的值.1.

两角和与差的正切公式注意公式中的符号名称简记符号公式使用条件两角和的正切公式T(α＋β)tan(α＋β)＝__________________α，β，α＋β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ

≠±1两角差的正切公式T(α－β)tan(α－β)＝__________________tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ2.两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋t

anβ＝______________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝__________________.tanαtanβ＝__________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝_____________________

_.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝__________________.tanαtanβ＝__________________tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α＋β)1－tanα＋tanβtan（α＋β

）tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α－β)tanα－tanβtan（α－β）－1教材拓展补遗[微判断]1.存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立.()2.对任意的α，β∈R，tan(α

＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立.()提示两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z).3.tanπ2＋π3能根据公式tan(α－β)直接展开.()提示π2的正切

值不存在.√××[微训练]1.若tanα－π4＝16，则tanα＝________.解析tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4·tanπ4＝16＋11－16＝75.答案75答案－32.已知tanα

＝2，则tanα＋π4＝________.解析tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝－3.解析原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝3.3.tan75°－tan15°1＋tan75°·tan15°＝________.答案3[微思考]你能借

助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α＋β)与tan(α－β)吗？提示tan(α＋β)＝sin（α＋β）cos（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosα＋sinβcosβ1－sinαsinβco

sαcosβ＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ类似地可以推导tan(α－β)，也可用－β代替tan(α＋β)中的β，tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]＝tanα＋tan（－β）1－tanαtan（－β）＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.＝(

)答案A题型一公式的正用、逆用、变形用【例1】(1)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）tanα＝17.tanβ注意角的

变换，即：β＝（α＋β）－αA.17B.16C.57D.56答案－1解析原式＝1－tan60°tan75°tan60°＋tan75°＝1tan（60°＋75°）＝1tan135°＝－1.(2)1－3tan75°3＋tan75°＝________；解析∵tan23°＋tan37°＝tan6

0°(1－tan23°tan37°)，∴原式＝3－3tan23°tan37°＋3tan23°tan37°＝3.(3)求值：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝________.公式的变形应用答案3规律方法探究公式T(α±β)的逆用及变形

应用的解题策略(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tanπ4来代换，以达到化简求值的目的，如1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α；3tanα＋31－tanα＝3tanα＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了

“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式.【训练1】求值：(1)1＋tan15°1－tan15°；(2)tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°；(3)(1＋tan1

8°)(1＋tan27°).解(1)1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan15°tan45°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.(2)由tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ的变形tanα＋t

anβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1.(3)(1＋tan18°)(1＋tan27°

)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＝2.题型二条件求值问题【例2】(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为()A.－3B.－

1C.1D.3答案A解析由题意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝31－2＝－3.答案C解析∵α为第二象限角，∴cosα<0，cosα＝－32，∴tanα＝－33.(2)已知sin__

α＝12，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tanβ的值为()符号的选取是关键A.－3B.3C.－33D.33tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）·tanα＝－3＋331＋（－3）·（－33）＝－33.规律方法给值求

值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α

)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.【训练2】已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π3＝13.求tanα＋π3的值.解tanα＋π3＝tan（α＋β）

－β－π3＝tan（α＋β）－tanβ－π31＋tanα＋βtanβ－π3＝35－131＋35·13＝29.题型三给值求角问题【例3】(1)解析tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝13－21－13×（

－2）＝－1，∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝3π4，∴C＝π－(A＋B)＝π4.在△ABC中，tanA＝13，tanB＝－2，则角C＝________；在△ABC中，注意隐含条件A＋B＋C＝π答案π4(2)若α，β均为钝角，且(1－t

anα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.解∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－

1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈π2，π，∴α＋β∈(π，2π).∴α＋β＝7π4.规律方法探究利用公式T(α±β)求角的步骤(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值.(2)确定所求角的范围(范围讨论的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围

找出角.答案C【训练3】已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于()A.π8B.π4C.38πD.π2解析∵tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1－tan（α＋β）·tan（α－β）＝3＋2

1－3×2＝－1，∴2α＝－π4＋kπ(k∈Z)，∴α＝－π8＋12kπ(k∈Z).又∵α为锐角，∴α＝π2－π8＝3π8.1.通过诱导公式、同角的三角函数关系式以及两角和与差的公式的综合应用，提升学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.2.公式T(α±β)的逆用时，一方

面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等.要特别注意tan(π4＋α)＝1＋tanα1－tanα，tan(π4－α)＝1－tanα1＋tanα.3.只要见到tanα±tanβ，tanα

tanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.二、素养训练1.已知α，β为任意角，则下列等式：①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；③cosπ2＋

α＝－sinα；④tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.其中恒成立的等式有()A.2个B.3个C.4个D.1个解析①②③恒成立.答案B答案C2.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ＝()A.2B.1C.1

2D.4解析∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝4，∴21－tanαtanβ＝4，∴tanαtanβ＝12.解析tanα＝tanα－5π4＋5π4＝15＋11－15×1＝32.3.tan

α－5π4＝15，则tanα＝________.答案324.求值：1－tan75°1＋tan75°＝________.解析原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝t

an(－30°)＝－33.答案－33解析tan11π12＝－tanπ12＝－tanπ4－π6＝－1－331＋33＝－2＋3.5.求值：tan11π12＝________.答案－2＋3三、审题答题示范(六)给值求值、求角【典型示例】(12分)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，

以Ox轴为始边的两个锐角为α，β①，A，B两点的横坐标分别是210和255②.看到②想到任意角的三角函数的定义，可得cosα＝210.cosβ＝255，从而先求得sinα＝7210，sinβ＝55.联想解题看到①想到α

、β的范围，可求α＋2β的范围.它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知(1)求tan(α＋β)③的值；α＋2β④的值.看到③想到和角公式，从而求tanα、tanβ.(2)求看到④想到求α＋2β的某一三角函数值.满分示范解(1)由题意可得cos

α＝210，cosβ＝255.2分由于α，β为锐角，所以sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.从而tanα＝7，tanβ＝12，4分所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ

＝7＋121－72＝－3.6分(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan（α＋β）＋tanβ1－tan（α＋β）tanβ＝－3＋121＋32＝－1.8分又0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋2β<3π2，

10分从而α＋2β＝3π4.12分满分心得1.解决此类问题思路是(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数各角入手)；(3)将已知条件代入，化简求值.2.在求角时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做

到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.3.若角的范围是0，π2，选正、余弦均可；若角的范围为(0，π)，选余弦函数；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数.