【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.1第二课时《两角和与差的正弦、余弦公式》导学案-2019人教A版.doc，共(13)页，535.000 KB，由小喜鸽上传

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第二课时两角和与差的正弦、余弦公式课标要求素养要求1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角差(和)的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简.理清两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系，熟悉公式的特征，完善知识结构，

重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.教材知识探究乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关

注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.问题1.你能用类比的方法，由cos(α－β)推导出cos(α＋β)吗？2.两角和与差的正弦公式如何推导出来？提示1.因为α＋β＝α－(－β)，所以cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]，然后利用两角差的余弦公式即可得到.2.sin(

α＋β)＝cosπ2－（α＋β）＝cosπ2－α－β，sin(α－β)＝cosπ2－（α－β）＝cosπ2－α＋β然后再利用两角差的余弦公式与诱导公式得到结论.1.三类公式理清公式的结构

特征、避免混淆公式公式简记适用范围cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__βC(α＋β)α，β都是任意角sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__βS(α＋β)sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin

__βS(α－β)2.S(α＋β)，C(α＋β)叫做和角公式，S(α－β)，C(α－β)叫做差角公式.教材拓展补遗[微判断]1.sin(α＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立.(×)提示提示当α＝β＝0时，公式成立.2.sin(α－β)＝sinα－sinβ恒成立.(×)提示根据公式不能恒成

立.3.sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝32.(×)提示sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin30°＝12.4.cos71°sin11°－sin71°cos11°＝－32.(√)[微训练]1.cos75°＝________.解析cos75°＝cos(30°

＋45°)＝cos30°·cos45°－sin30°sin45°＝6－24.答案6－242.若sinα＝35，α∈(0，π2)，则sin(α＋π6)＝________.解析易得cosα＝45，故sin(α＋π6)＝sinαcosπ6＋cosαsinπ6＝4＋3310

.答案4＋3310[微思考]1.试推导公式sin(α＋β)与sin(α－β).提示(1)sin(α＋β)＝cosπ2－（α＋β）＝cosπ2－α－β＝cosπ2－αcosβ＋sinπ2－αsinβ＝sinαcos

β＋cosαsinβ.(2)法一sin(α－β)＝cosπ2－（α－β）＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－αcosβ－sinπ2－αsinβ＝sinαcosβ－cos

αsinβ.法二用－β代替sin(α＋β)中的β，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinα·cos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.2.和(差)角公式中，α，β都是

任意角，如果α为特殊角，你能从和(差)公式推导出诱导公式吗？提示任举一例，推导sinπ2＋α＝cosα.解析sinπ2＋α＝sinπ2cosα＋cosπ2sinα＝1·cosα＋0·sinα＝cosα.题型一公式的正用和逆用注意变角、转化为特

殊角的和与差【例1】求值：(1)sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝________；(2)sin15°＋sin75°＝________；(3)已知α，β为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，则sin(α＋β)的值为________sin(α－β)的值为_____

___.解析(1)sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin(20°＋40°)＝sin60°＝32.(2)sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋sin45°

cos30°＋cos45°·sin30°＝2sin45°cos30°＝62.(3)∵α，β都是锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，∴cosα＝1－sin2α＝1－552＝255，cosβ＝1－s

in2β＝1－10102＝31010.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝55×31010＋255×1010＝22.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝55×31010－255×1

010＝210.答案(1)32(2)62(3)22210规律方法探究解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的

项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.【训练1】(1)化简：sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝________；解析原式＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.答

案12(2)求值：sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°＝________.解析原式＝sin（15°－8°）＋cos15°sin8°cos（15°－8°）－sin15°sin8°＝si

n15°cos8°－cos15°sin8°＋cos15°sin8°cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝sin15°cos15°＝sin（45°－30°）cos（

45°－30°）＝6－246＋24＝2－3.答案2－3题型二给值求值【例2】已知π4<α<3π4，0<β<π4，cosπ4＋α＝－35，sin3π4＋β＝513，求sin(α＋β

)的值.观察角π4＋α＋3π4＋β＝π＋(α＋β)结合诱导公式即可解因为π4<α<3π4，所以π2<π4＋α<π.因为cosπ4＋α＝－35，所以sinπ4＋α＝45.因为0<β<π4，所以3π4<3π4＋β<π.因为sin

3π4＋β＝513，所以cos3π4＋β＝－1213.因为3π4＋β＋π4＋α＝π＋α＋β，所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]＝－sin3π4＋β＋π4＋α＝－

sin3π4＋βcosπ4＋α－cos3π4＋βsinπ4＋α＝－513×－35－－1213×45＝6365.规律方法给值求值的解题策略(

1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.(2)此类问题中，角的范围不容

忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.【训练2】已知0<α<π2<β<π，sinα＝35，sin(α＋β)＝35，则sinβ＝________.解析由0<α<π2<β<π，得π2<α＋β<3π2，又sinα＝35，sin(α＋β

)＝35，∴cosα＝45，cos(α＋β)＝－45，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝35×45－(－45)×35＝2425.答案2425题型三给值求角选择角的哪个三角函数是解题的关键【例3】已知sinα－β2＝55，sin

β－α2＝1010，且α－β2∈0，π2，β－α2∈0，π2，求α＋β2的值.解(1)∵α－β2∈0，π2，β－α2∈0，π2，∴0<α＋β2<π，

cosα－β2＝255，cosβ－α2＝31010.∴cosα＋β2＝cosα－β2＋β－α2＝cosα－β2cosβ－α2－sinα－β2sinβ－α2＝255×3101

0－55×1010＝22，∴α＋β2＝π4.规律方法已知三角函数值求角的方法已知三角函数值求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为0，π2，选正弦函数和余弦

函数都可；若角的范围是－π2，π2，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.【训练3】设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，求α＋β的值.解∵π2<α<π，π2<β<π且sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255

，sinβ＝1010，且π<α＋β<2π，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－255·－31010－55·1010＝325－210＝22，∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝7π4.一、素养落地1.通过运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简，提升学生

的逻辑推理、数学运算素养.2.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin3π2－α＝sin3π2·cosα－cos3π2sinα＝－cosα.3.使用和差公式时不

仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin

(－α)＝－sinα.二、素养训练1.sin7°cos37°－sin83°sin37°的值为()A.－32B.－12C.12D.32解析原式＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(－30°)＝－sin30°＝－12.答案B2.已知cos(α＋β)

＝45，cos(α－β)＝－45，则cosαcosβ的值为()A.0B.45C.0或45D.0或±45解析cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－45，两式相加可得2cosαcosβ＝0，即cosαcosβ＝

0.答案A3.求值：12cosπ12＋32sinπ12＝________.解析原式＝sinπ6cosπ12＋cosπ6sinπ12＝sinπ6＋π12＝sinπ4＝22.答案224.函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈R

)的值域是________.解析∵f(x)＝212sinx－32cosx＝2sinx－π3.∴f(x)∈[－2，2].答案[－2，2]5.化简：sinπ4－3xcosπ3－3x－cosπ6

＋3x·sinπ4＋3x.解原式＝sinπ4－3xcosπ3－3x－sinπ3－3x·cosπ4－3x＝sinπ4－3x－π

3－3x＝sinπ4－π3＝sinπ4cosπ3－cosπ4sinπ3＝22×12－22×32＝2－64.基础达标一、选择题1.sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是()A.－32B.－12

C.12D.32解析原式＝－sin65°sin55°＋sin25°sin35°＝－cos25°cos35°＋sin25°sin35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos60°＝－12.答案B2.sin

20°cos10°－cos160°sin10°＝()A.－32B.32C.－12D.12解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.答案D

3.函数f(x)＝cosx＋π4－cosx－π4是()A.周期为π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为π的奇函数D.周期为2π的奇函数解析因为f(x)＝cosx＋π4－cosx－π4＝22cos

x－22sinx－22cosx＋22sinx＝－2sinx，所以函数f(x)的最小正周期为2π1＝2π.又f(－x)＝－2sin(－x)＝2sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D.答案D4.若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)s

inβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A.1B.－1C.0D.±1解析sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα＝0，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝

sinαcos2β＋cosαsin2β＋sinαcos2β－cosαsin2β＝2sinαcos2β＝0.答案C5.若锐角α，β满足cosα＝45，cos(α＋β)＝35，则sinβ的值是()A.1725B.35C.725D.15解析∵cosα＝45，co

s(α＋β)＝35，α，β∈0，π2，∴0<α＋β<π2，∴sinα＝35，sin(α＋β)＝45.∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝45×45－35×35＝725.

答案C二、填空题6.已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ＝________.解析由已知得cos(α＋β)＝0，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β)＝±1.答案±1

7.求值：cosπ12－sinπ12＝________.解析原式＝222cosπ12－22sinπ12＝2sinπ4cosπ12－cosπ4sinπ12＝2sinπ4－π12＝2sinπ6＝2

2.答案228.化简：sin22°＋cos45°sin23°cos22°－sin45°sin23°＝________.解析原式＝sin（45°－23°）＋cos45°sin23°cos（45°－23°）－sin45°sin23°＝sin45

°cos23°cos45°cos23°＝1.答案1三、解答题9.已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin2α的值.解因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝

1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－（1213）2＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2（α＋β）＝－1－（－35）2＝－45.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋

β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665.10.若0<α<π2，－π2<β<0，cos5π4＋α＝－13，cosπ4－β2＝33，求cosα＋β2的

值.解∵cos5π4＋α＝－13，∴cosπ4＋α＝13.∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴sinπ4＋α＝223.∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.又cosπ4－β2＝33

，∴sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.能力提升

11.求f(x)＝cosx＋cos(x＋π3)，(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间.解f(x)＝cosx＋cosxcosπ3－sinxsinπ3＝32cosx－32sinx＝3(32cosx－12sinx)＝3cos(x＋π6).

(1)T＝2π.(2)由－π＋2kπ≤x＋π6≤2kπ(k∈Z)得－7π6＋2kπ≤x≤－π6＋2kπ(k∈Z)，即f(x)的单调递增区间为[－7π6＋2kπ，－π6＋2kπ](k∈Z).12.已知函数f(x)＝Asinx＋π3，

x∈R，且f5π12＝322.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈0，π2，求fπ6－θ.解(1)∵f(x)＝Asinx＋π3，且f5π1

2＝322，∴Asin5π12＋π3＝322，即Asin3π4＝322，∴A＝3.(2)由(1)知f(x)＝3sinx＋π3，∵f(θ)－f(－θ)＝3，∴3sinθ＋π3－3sin－θ＋π3＝3，展开得3

12sinθ＋32cosθ－332cosθ－12sinθ＝3，化简得sinθ＝33.∵θ∈0，π2，∴cosθ＝63.fπ6－θ＝3sin

π6－θ＋π3＝3sinπ2－θ＝3cosθ＝6.