【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.5.1第二课时《两角和与差的正弦、余弦公式》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(31)页，3.866 MB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-115683.html

以下为本文档部分文字说明：

第二课时两角和与差的正弦、余弦公式课标要求素养要求1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角差(和)的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简.理清两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系，熟悉公式的特征，完善知识结构，重点提升学生的数学抽象、逻

辑推理、数学运算素养.教材知识探究乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它

在生活中随处可见，类比可以推动创新.问题1.你能用类比的方法，由cos(α－β)推导出cos(α＋β)吗？2.两角和与差的正弦公式如何推导出来？提示1.因为α＋β＝α－(－β)，所以cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]，然后利用两角差的余弦公式即可得到.2.sin(α＋β)＝cos

π2－（α＋β）＝cosπ2－α－β，sin(α－β)＝cosπ2－（α－β）＝cosπ2－α＋β然后再利用两角差的余弦公式与诱导公式得到结论.1.三类公式理清公式的结构特征、避免混淆公式公式简记适用范

围cos(α＋β)＝_______________________C(α＋β)α，β都是任意角sin(α＋β)＝_______________________S(α＋β)sin(α－β)＝________________

_______S(α－β)2.S(α＋β)，C(α＋β)叫做和角公式，S(α－β)，C(α－β)叫做差角公式.cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ教材拓展补遗[微判断]1.sin(α

＋β)＝sinα＋sinβ一定不成立.()提示提示当α＝β＝0时，公式成立.2.sin(α－β)＝sinα－sinβ恒成立.()提示根据公式不能恒成立.提示sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝sin30

°＝12.3.sin13°cos17°＋cos13°sin17°＝32.()4.cos71°sin11°－sin71°cos11°＝－32.()[微训练]1.cos75°＝________.解析cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°·

cos45°－sin30°sin45°＝6－24.答案6－24解析易得cosα＝45，故sin(α＋π6)＝sinαcosπ6＋cosαsinπ6＝4＋3310.2.若sinα＝35，α∈(0，π2)，则sin(α＋π6)

＝________.答案4＋3310[微思考]1.试推导公式sin(α＋β)与sin(α－β).提示(1)sin(α＋β)＝cosπ2－（α＋β）＝cosπ2－α－β＝cos

π2－αcosβ＋sinπ2－αsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)法一sin(α－β)＝cosπ2－（α－β）＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－αcosβ－sinπ2－αsinβ＝sinα

cosβ－cosαsinβ.法二用－β代替sin(α＋β)中的β，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinα·cos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.2.和(差)角公式中，α

，β都是任意角，如果α为特殊角，你能从和(差)公式推导出诱导公式吗？解析sinπ2＋α＝sinπ2cosα＋cosπ2sinα＝1·cosα＋0·sinα＝cosα.提示任举一例，推导sinπ2＋α＝cosα.公式的正用和逆用题型一【例1】求值：(1)sin20

°cos40°＋cos20°sin40°＝________；(2)sin15°＋sin75°＝________；(3)已知α，β为锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，则sin(α＋β)的值为________sin(α－β)的值为________.

注意变角、转化为特殊角的和与差(2)sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)解析(1)sin20°cos40°＋cos20°sin40°＝sin(20°＋40°)＝sin60°＝32.＝sin45°co

s30°－cos45°sin30°＋sin45°cos30°＋cos45°·sin30°＝2sin45°cos30°＝62.(3)∵α，β都是锐角，且sinα＝55，sinβ＝1010，∴cosα＝1－sin2α＝1－552＝255，∴

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝55×31010＋255×1010＝22.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝55×31010－255×1010＝210.cosβ＝1－sin2β＝1－10102＝31010.答案(1)32(2)62(3)2

2210规律方法探究解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形

式进行约分，解题时要逆用或变用公式.【训练1】(1)化简：sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝________；解析原式＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝12.答

案12(2)求值：sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°＝________.解析原式＝sin（15°－8°）＋cos15°sin8°cos（15°－8°）－sin15°sin8°＝sin15°cos8°－cos15°sin8°＋cos15°sin8°cos15°c

os8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝sin15°cos15°＝sin（45°－30°）cos（45°－30°）＝6－246＋24＝2－3.答案2－3求sin(α＋β)的值.题

型二给值求值【例2】已知π4<α<3π4，0<β<π4，观察角π4＋α＋3π4＋β＝π＋(α＋β)结合诱导公式即可cosπ4＋α＝－35，sin3π4＋β＝513，解因为π4<α<3π4，所以π2<π4＋α<π.因为cosπ4＋α＝

－35，所以sinπ4＋α＝45.所以sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]＝－sin3π4＋β＋π4＋α＝－sin3π4＋βcosπ4＋α－cos

3π4＋βsinπ4＋α因为0<β<π4，所以3π4<3π4＋β<π.因为sin3π4＋β＝513，所以cos3π4＋β＝－1213.因为3π4＋β＋π4＋α＝π＋α＋β，＝－513×－35－－1213×4

5＝6365.规律方法给值求值的解题策略(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；②当条

件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.【训练2】已知0<α<π2<β<π，sinα＝35，sin(α＋β)＝35，则sinβ＝________.解析由

0<α<π2<β<π，得π2<α＋β<3π2，又sinα＝35，sin(α＋β)＝35，∴cosα＝45，cos(α＋β)＝－45，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α

＋β)·sinα＝35×45－(－45)×35＝2425.答案2425题型三给值求角【例3】已知sinα－β2＝55，sinβ－α2＝1010，且α－β2∈0，π2，β－α2∈

0，π2，求α＋β2的值.解(1)∵α－β2∈0，π2，β－α2∈0，π2，∴0<α＋β2<π，cosα－β2＝255，cosβ－α2＝31010.选择角的哪个三角函数是解题的关键＝cosα

－β2cosβ－α2－sinα－β2sinβ－α2∴cosα＋β2＝cosα－β2＋β－α2＝255×31010－55×1010＝22，∴α＋β2＝π4.规律方法已知三角函数值求角的方法已知三角函数值

求角，在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围为0，π2，选正弦函数和余弦函数都可；若角的范围是－π2，π2，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.【训练3】设α

，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，求α＋β的值.解∵π2<α<π，π2<β<π且sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，且π<α＋β<2π，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαs

inβ＝－255·－31010－55·1010＝325－210＝22，∵π<α＋β<2π，∴α＋β＝7π4.一、素养落地1.通过运用两角和与差的正、余弦公式进行求值、化简，提升学生的逻辑推理、数

学运算素养.2.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin3π2－α＝sin3π2·cosα－cos3π2sinα＝－cosα.3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公

式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α

)＝－sinα.答案B二、素养训练1.sin7°cos37°－sin83°sin37°的值为()A.－32B.－12C.12D.32解析原式＝sin7°cos37°－cos7°sin37°＝sin(－30°)＝－sin3

0°＝－12.答案A2.已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cosαcosβ的值为()A.0B.45C.0或45D.0或±45解析cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45，c

os(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－45，两式相加可得2cosαcosβ＝0，即cosαcosβ＝0.解析原式＝sinπ6cosπ12＋cosπ6sinπ12＝sinπ6＋π12＝sinπ4＝22.3.求值：12cosπ12＋32sinπ1

2＝________.答案22答案[－2，2]4.函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈R)的值域是________.解析∵f(x)＝212sinx－32cosx＝2sinx－π3.∴f(x)∈[－2，2].5.化简：sinπ4－3xcosπ3－3

x－cosπ6＋3x·sinπ4＋3x.解原式＝sinπ4－3xcosπ3－3x－sinπ3－3x·cosπ4－3x＝sin

π4－3x－π3－3x＝sinπ4－π3＝sinπ4cosπ3－cosπ4sinπ3＝22×12－22×32＝2－64.