【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.4.3《正切函数的性质与图象》学案-2019人教A版.docx，共(12)页，336.297 KB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-115732.html

以下为本文档部分文字说明：

5.4.3正切函数的性质与图象学习目标1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.2.能借助单位圆画出y＝tanx的图象.3.掌握正切函数的性质．知识点函数y＝tanx的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域xx≠π2＋kπ，k∈Z值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在每个开区间－

π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上都是增函数对称性对称中心kπ2，0(k∈Z)思考正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋π2，k∈Z有公共点吗？答案没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲

线组成的．1．正切函数的定义域和值域都是R.(×)2．正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．(√)3．正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±π2，k∈Z.(×)4．正切函数是增函数．(×)一、正切函数的图象的画法例1我们

能用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图，类似地你能画出正切函数y＝tanx，x∈－π2，π2的简图吗？解三个关键点：－π4，－1，(0,0)，π4，1，两条平行线：x＝－π2，x＝π2.反思感悟“三

点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为kπ－π4，－1，(kπ，0)，kπ＋π4，1，其中k∈Z；两线分别为直线x＝kπ－π2和直线x＝kπ＋π2，其中k∈Z.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限

接近但不相交)．(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．二、正切函数的单调性及其应用例2(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：①tan2π7________tan10π7；②tan6π5____

____tan－13π5.答案①<②<解析①tan10π7＝tan3π7，且0<2π7<3π7<π2，又y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tan2π7<tan3π7，即tan2π7<tan10π7.②tan6π5＝tanπ5，tan

－13π5＝tan2π5，因为0<π5<2π5<π2，又y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ5<tan2π5，则tan6π5<tan－13π5.(2)求函数y＝tan1

2x＋π4的单调递增区间．解令z＝12x＋π4，则y＝tanz.由于函数y＝tanz在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是增函数，且z＝12x＋π4是增函数，由－π2＋kπ<12x＋π4<π2＋kπ，k∈Z，解得－3π2＋2kπ<x<π2＋2kπ，k∈Z.所以函

数y＝tan12x＋π4的单调递增区间为－3π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)．延伸探究求函数y＝3tan－12x＋π4的单调递减区间．解y＝3tan－12x＋π4可化为y＝－3tan

12x－π4，由kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－π2<x<2kπ＋3π2，k∈Z，故单调递减区间为2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．反思感悟(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角

化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－π2＋kπ<ωx＋φ<π2＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω

化为正值再求单调区间．跟踪训练1求函数y＝tan2x－π3的单调区间．解∵y＝tanx在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是增函数，∴－π2＋kπ<2x－π3<π2＋kπ，k∈Z，即－π12＋kπ2<x<5π12＋kπ2，k∈Z.∴函数y＝tan2

x－π3的单调递增区间是－π12＋kπ2，5π12＋kπ2(k∈Z)，无单调递减区间．三、正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)＝tanx2－π3.(1)求函数f(x)的定义域、最小

正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式－1≤f(x)≤3的解集．解(1)由x2－π3≠π2＋kπ(k∈Z)，得x≠5π3＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)的定义域是xx≠5π3＋2kπ，k∈Z.因为ω＝12，所以最小

正周期T＝πω＝π12＝2π.由－π2＋kπ<x2－π3<π2＋kπ(k∈Z)，得－π3＋2kπ<x<5π3＋2kπ(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间是－π3＋2kπ，5π3＋2kπ(k∈Z

)，无单调递减区间．由x2－π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ＋23π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是kπ＋23π，0，k∈Z.(2)由－1≤tanx2－π3≤3，得－π4＋kπ≤x2－π3≤π3＋

kπ(k∈Z)，解得π6＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ(k∈Z)．所以不等式－1≤f(x)≤3的解集是xπ6＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈Z.反思感悟解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是kπ2，0(k∈Z)，不存在对称轴．

(2)单调性：正切函数在每个－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练2关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②f

(x)的图象关于π2－φ，0对称；③f(x)的图象关于(π－φ，0)对称；④f(x)是以π为最小正周期的周期函数．其中不正确的说法的序号是________．答案①解析①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f(x)＝tanx，此时，f(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝tanx的

图象，可知y＝tanx关于kπ2，0(k∈Z)对称，令x＋φ＝kπ2得x＝kπ2－φ，分别令k＝1,2知②，③正确，④显然正确．1．函数y＝tan2x＋π4的最小正周期为()A．2πB．πC.π2

D.π4答案C解析根据周期公式计算得T＝πω＝π2，故选C.2．函数y＝tanx－π4的定义域是()A.xx≠π4B.xx≠－π4C.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠kπ＋3π4，k∈Z答案D解析由x－π4≠k

π＋π2(k∈Z)得x≠kπ＋3π4，k∈Z.3．函数y＝tanx＋π5的一个对称中心是()A．(0,0)B.π5，0C.4π5，0D．(π，0)答案C解析令x＋π5＝kπ2，得x＝kπ2－π5，k∈Z，所以

函数y＝tanx＋π5的对称中心是kπ2－π5，0，k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为4π5，0.4．函数y＝tan(π－x)，x∈－π4，π3的值域为________．

答案(－3，1)解析y＝tan(π－x)＝－tanx，在－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．5．比较大小：tan13π4________tan17π5.答案<解析因为tan13π4＝tanπ4，tan1

7π5＝tan2π5，又0<π4<2π5<π2，y＝tanx在0，π2内单调递增，所以tanπ4<tan2π5，即tan13π4<tan17π5.1．知识清单：(1)正切函数图象的画法；(2)正切函数的性质．2．方法归纳：三点两线法，整体代换，换元．3．常见误区：最小正周期T＝π|ω|，在

定义域内不单调，对称中心为kπ2，0(k∈Z)．1．函数f(x)＝2tan(－x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析f(－x)＝2tanx＝－f(x)，为奇函数．2．f(x)＝－tanx＋π4的单调减区间是()A.kπ－π2，kπ

＋π2，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈ZC.kπ－3π4，kπ＋π4，k∈ZD.kπ－π4，kπ＋3π4，k∈Z答案C解析令－π2＋kπ<x＋π4<π2＋kπ，k∈Z，解得－3π4＋kπ<x<π4＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为kπ－3π

4，kπ＋π4，k∈Z.3．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为π4.则ω的值是()A．1B．2C．4D．8答案C解析由题意可得f(x)的最小正周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4

.4．若f(x)＝tanx＋π4，则()A．f(0)>f(－1)>f(1)B．f(0)>f(1)>f(－1)C．f(1)>f(0)>f(－1)D．f(－1)>f(0)>f(1)答案A解析f(x)在kπ－π2<x＋π4<kπ＋π2

，k∈Z，即kπ－3π4<x<kπ＋π4，k∈Z上是增函数，且周期为π，∵f(1)＝f(1－π)，－34π<1－π<－1<0<π4，∴f(1－π)<f(－1)<f(0)，∴f(0)>f(－1)>f(1)．5．下列

关于函数y＝tanx＋π3的说法正确的是()A．在区间－π6，5π6上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于点π4，0成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称考点正切函数周期性与对称性题点正切函数周期性与对称性答案B解析令kπ－π2<x＋π3<k

π＋π2，k∈Z，解得kπ－5π6<x<kπ＋π6，k∈Z，显然－π6，5π6不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x＋π3＝kπ2，k∈Z，解得x＝kπ2－π3，k∈Z，任取k值不能得到x＝π4，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y＝tan

x＋π3的图象也没有对称轴，故D错误．故选B.6．函数y＝3tanωx＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________.答案±2解析T＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.7．函数y＝1－tanx的定义域为________．答案kπ－π2，kπ＋π4(k∈Z)8．函数y＝

2tan3x＋π4－5的单调递增区间是________．答案kπ3－π4，kπ3＋π12，k∈Z解析令kπ－π2<3x＋π4<kπ＋π2(k∈Z)，得kπ3－π4<x<kπ3＋π12(k∈Z)．9．设函数f(x)＝tanx3－π3.(1)求函数f(x)的最

小正周期、对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．解(1)∵ω＝13，∴最小正周期T＝πω＝π13＝3π.令x3－π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝π＋3kπ2(k∈Z)，∴f(x)的对称中心是π＋3kπ2，0(k∈Z)．(2)令x3－π3＝0，则x＝

π；令x3－π3＝π2，则x＝5π2；令x3－π3＝－π2，则x＝－π2.∴函数y＝tanx3－π3的图象与x轴的一个交点坐标是(π，0)，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－π2，x＝5π2，从而得到函数y＝f(x)在一个周期－π2，5π

2内的简图(如图).10．已知函数f(x)＝3tanπ6－x4.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f(π)与f3π2的大小．解(1)因为f(x)＝3tanπ6－x4＝－3tanx4－

π6，所以T＝πω＝π14＝4π.由kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2(k∈Z)，得4kπ－4π3<x<4kπ＋8π3(k∈Z)．因为y＝3tanx4－π6在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3t

anx4－π6在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π.单调递减区间为4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)．(2)f(π)＝3tanπ6－π4＝3tan－π12＝－3tanπ12，f3π2＝3

tanπ6－3π8＝3tan－5π24＝－3tan5π24，因为0<π12<5π24<π2，且y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ12<tan5π24，所以f(π)>f3π2.11．若f(n)＝tannπ3(n∈N*)，则f(1)＋f

(2)＋„＋f(2019)等于()A．－3B.3C．0D．－23答案C解析由题意可知，T＝ππ3＝3，f(1)＝3，f(2)＝－3，f(3)＝0⇒f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，故f(1)＋f(2)＋„＋f(2019)＝673×0＝

0.12．已知函数y＝tanωx在区间－π2，π2内是减函数，则()A．0<ω≤1B．－1≤ω<0C．ω≥1D．ω≤－1答案B解析∵y＝tanωx在－π2，π2内是减函数，∴ω<0且T＝πω≥π，∴－1≤ω<0.故选B.13．函数y＝－tan2x＋4tanx＋

1，x∈－π4，π4的值域为________．答案[－4,4]解析∵－π4≤x≤π4，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－π4时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝π4时，ymax＝4.故

所求函数的值域为[－4,4]．14．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为π6，0和5π6，0，且过点(0，－3)，则f(x)＝______，

f(x)≥3的x的取值范围为______．答案3tan32x－π42kπ3＋5π18，2kπ3＋π2(k∈Z)解析由题意可得f(x)的周期为T＝5π6－π6＝2π3＝πω，所以ω＝32，得f(x)＝Atan32x＋φ，它的图象过点π6，0，所以tan32

·π6＋φ＝0，即tanπ4＋φ＝0，所以π4＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－π4，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ＝－π4，于是f(x)＝Atan32x－π4，它的图象过点(0，－3

)，所以Atan－π4＝－3，得A＝3.所以f(x)＝3tan32x－π4.由3tan32x－π4≥3，所以tan32x－π4≥33，得kπ＋π6≤32x－π4<kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ3＋5π18≤x<2kπ3＋π2，k∈Z，所以满足f(x)≥3的x的取

值范围是2kπ3＋5π18，2kπ3＋π2(k∈Z)．15．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间π2，3π2内的图象是()答案D解析当π2<x<π，tanx<sinx，y＝2tanx<

0；当x＝π时，y＝0；当π<x<3π2时，tanx>sinx，y＝2sinx．故选D.16．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)ω>0，0<φ<π2，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2，且图象

关于点M－π8，0对称．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间；(3)求不等式－1≤f(x)≤3的解集．解(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝π2，即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)．因为函数y＝f(x)的图象关于点M

－π8，0对称，所以2×－π8＋φ＝kπ2，k∈Z，即φ＝kπ2＋π4，k∈Z.因为0<φ<π2，所以φ＝π4，故f(x)＝tan2x＋π4.(2)令－π2＋kπ<2x＋π4<π2＋kπ，k∈Z，得－3π4＋kπ<2x<kπ＋π4，k∈Z，即－3π8＋kπ2<x<π8＋k

π2，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为－3π8＋kπ2，π8＋kπ2，k∈Z，无单调递减区间．(3)由(1)知，f(x)＝tan2x＋π4.由－1≤tan2x＋π4≤3，得－π4＋kπ≤2x＋π4≤π

3＋kπ，k∈Z，即－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z.所以不等式－1≤f(x)≤3的解集为x－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z.