【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.4.1《正弦函数、余弦函数的图象》学案-2019人教A版.docx，共(12)页，972.600 KB，由小喜鸽上传

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5.4三角函数的图象与性质5.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．知识点一正弦函数的图象1．正弦曲线的定义正弦函数

y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法：①利用单位圆上点T(x0，sinx0)画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．(2)五点法：①画出正弦曲线在[0,2π]上的图

象的五个关键点(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)．思考为什么把y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、向右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变？答案由公式sin(x＋2kπ)

＝sinx，k∈Z可得．知识点二余弦函数的图象1．余弦曲线的定义余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．2．余弦函数图象的画法(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度即可，这是由于cosx＝sinx＋π2

.(2)用“五点法”：画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．1．正弦函数的图象向左右是

无限伸展的．(√)2．正弦函数y＝sinx的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．(√)3．函数y＝sinx的图象向右平移π2个单位得到函数y＝cosx的图象．(×)4．函数y＝cosx的图象关于x轴对称．(×)一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识例1

(1)下列叙述正确的个数为()①y＝sinx，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cosx，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．A．0B．1个C．2个D．3个答案D解析分别画出函数y＝sinx，x∈[0

,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．(2)函数y＝sin|x|的图象是()答案B解析y＝sin|x|＝sinx，x≥0，－sinx，x<0，结合选项可知选

B.反思感悟解决正、余弦函数图象的注意点对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．跟踪训练1关于三角函数的图象，有下列说法：①y＝sin

x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确的序

号是________．答案②④解析对②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．二、用“五点法”作简图例2用“五点法”作出下列函数的简图：(1

)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．解(1)列表：x0π2π3π22πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．(2)列表：x0π2π3π22πcosx10－1012＋c

osx32123描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图．反思感悟作形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练2利用“五点法”作出函数y＝1－sinx(0≤x≤2π)的简图．解(1)取值列表：x0π2π3π22πsinx010

－101－sinx10121(2)描点连线，如图所示．三、正弦(余弦)函数图象的应用例3利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合．(1)sinx≥12；(2)cosx≤12.解(1)作出正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图

象可以得到满足条件的x的集合为π6＋2kπ，5π6＋2kπ，k∈Z.(2)作出余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为π3＋2kπ，5π3＋2kπ，k∈Z.反思感悟用三角

函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集．跟踪训练3在[0,2π]上，使cosx≤－12成立的x的取值集合为______

__．答案x2π3≤x≤4π3解析画出y＝cosx在[0,2π]上的简图，如图所示．由于cosx＝－12时，x＝2π3或x＝4π3.由图象可知，在[0,2π]上，使cosx≤－12成立的角x的取值集合为

x2π3≤x≤4π3.根据函数图象求范围典例函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．答案(1,3)解析用数形结合法判断k的取值范围．f(x

)＝3sinx，0≤x≤π，－sinx，π<x≤2π.图象如下图所示．结合图象可知1<k<3.[素养提升]关于方程根的个数问题，往往运用数形结合的方法构造函数，转化为函数图象交点的个数问题来解决．1．函数y＝－sinx，x∈－π2，3π2的简图是()答案D解析函数y＝

－sinx与y＝sinx的图象关于x轴对称，故选D.2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象()A．重合B．形状相同，位置不同C．关于y轴对称D．形状不同，位置不同答案B解析根据正弦曲线的作法可知函数y＝sinx，x∈[0

,2π]与y＝sinx，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．3．用“五点法”画函数y＝2－3sinx的图象时，首先应描出五点的横坐标是()A．0，π4，π2，3π4，πB．0，π2，π，3π2，2πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3答案B

解析所描出的五点的横坐标与函数y＝sinx的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B.4．不等式cosx<0，x∈[0,2π]的解集为________．答案π2，3π2解析由函数y＝cosx的图象可

知，不等式cosx<0，x∈[0,2π]的解集为π2，3π2.5．函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－14的交点有________个．答案2解析作y＝cosx，x∈[0,2π]的图象及直线y＝－14(图略)，知两函数图象有

两个交点．1．知识清单：(1)通过单位圆画正弦函数图象；(2)通过平移得余弦函数的图象；(3)五点法作图；(4)函数图象的应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象．1．用

五点法画y＝3sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点()A.π6，32B.π2，3C．(π，0)D．(2π，0)答案A解析五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π2，2π.2．函数y＝sin(－x)

，x∈[0,2π]的简图是()答案B解析由y＝sin(－x)＝－sinx可知，其图象和y＝sinx的图象关于x轴对称．3．函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2交点的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象(如图所示)，可知其与

直线y＝2只有1个交点．4．在[0,2π]内，不等式sinx<－32的解集是()A．(0，π)B.π3，4π3C.4π3，5π3D.5π3，2π答案C解析画出y＝sinx，x∈[0,2π]的草图如下．因为sinπ3＝32，所以sinπ

＋π3＝－32，sin2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sinx＝－32的x＝4π3或5π3.可知不等式sinx<－32的解集是4π3，5π3.故选C.5．如图中的曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sinx|B．y＝s

in|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sinx|答案C解析排除法，可知C正确．6．用“五点法”画出y＝2sinx在[0,2π]内的图象时，应取的五个点为________．答案(0,0)，π2，2，(π，0)，3π2，－2，(2π，0)解析可结合函数y＝

sinx的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．7．函数y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标为________．答案π2，4，3π2，4解析由y

＝cosx＋4，y＝4得cosx＝0，当x∈[0,2π]时，x＝π2或3π2，∴交点为π2，4，3π2，4.8．函数y＝12logsinx的定义域是________．答案{x|2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z}解

析由12logsinx≥0知0<sinx≤1，由正弦函数图象(图略)知2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z.9．用“五点法”作下列函数的简图．(1)y＝3sinx(x∈[0,2π])；(2)y＝sin

x－π2x∈π2，5π2.解(1)列表如下：x0π2π3π22π3sinx030－30描点连线如图：(2)列表如下：xπ2π3π22π5π2sinx－π2010－10描点连线如图：10．根据y＝cosx的图象解不等式：－32≤cosx≤12，x∈[0，2π]．解函数y

＝cosx，x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为xπ3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.11．如图所示，函数y＝cosx|tanx|0≤x<3π2且x≠π2的图象是(

)答案C解析当0≤x<π2时，y＝cosx·|tanx|＝sinx；当π2<x≤π时，y＝cosx·|tanx|＝－sinx；当π<x<3π2时，y＝cosx·|tanx|＝sinx，故其图象为C.12．方程sinx＝x10的根的个数是()A．7B．

8C．9D．10答案A解析在同一坐标系内画出y＝x10和y＝sinx的图象如图所示．根据图象可知方程有7个根．13．函数y＝2cosx，x∈[0,2π]的图象和直线y＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是____．答案4π解析如图所示，将余弦

函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.14．函数y＝sinx＋2|sinx|在[0,2π]上的图象若与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________，若与直线y＝k

有四个不同的交点，则k的取值范围是________．答案1<k<30<k<1解析y＝sinx＋2|sinx|＝3sinx，0≤x≤π，－sinx，π<x≤2π，由题意在同一坐标系中作出两函数的图象如

图所示，若有两个不同的交点，则1<k<3.若有四个不同的交点，则0<k<1.15．已知函数f(x)＝|sinx|，x∈[－2π，2π]，则方程f(x)＝12的所有根的和等于()A．0B．πC．－πD．－2π答

案A解析若f(x)＝12，即|sinx|＝12，则sinx＝12或sinx＝－12.因为x∈[－2π，2π]，所以方程sinx＝12的4个根关于x＝－π2对称，则对称的2个根之和为－π，则4个根之和为－2π，由对称性可得sinx＝－12的四个根之和为2π.综上，方程f(

x)＝12的所有根的和等于0.故选A.16．若方程sinx＝1－a2在x∈π3，π上有两个实数根，求a的取值范围．解在同一直角坐标系中作出y＝sinx，x∈π3，π的图象，y＝1－a2的图象，由图象可知，当32≤1－a2<1，即当－1<a≤1－3时，y＝sinx，x∈π3

，π的图象与y＝1－a2的图象有两个交点，即方程sinx＝1－a2在x∈π3，π上有两个实根．