【文档说明】高中数学必修第一册第五章5.4.2第1课时《周期性与奇偶性》学案-2019人教A版.docx，共(10)页，277.820 KB，由小喜鸽上传

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5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时周期性与奇偶性学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求常见三角函数的的周期.3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心．知识点一周期性1．函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域

为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x

)的最小正周期．思考周期函数的周期是否唯一？答案不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且n≠0)．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y

＝cosx(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.知识点二正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．思考判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶

性的方法吗？答案若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数．1．函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．(×)2．正弦函数y＝sinx的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)3

．余弦函数y＝cosx是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条．(√)一、三角函数的周期问题例1求下列函数的周期：(1)y＝sin2x＋π4；(2)y＝|sinx|.解(1)方法一(定义法)y＝sin2x＋π4＝sin2x＋π4＋2π＝sin2x＋

π＋π4，所以周期为π.方法二(公式法)y＝sin2x＋π4中ω＝2，T＝2πω＝2π2＝π.(2)作图如下：观察图象可知周期为π.反思感悟求三角函数周期的方法(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ

是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．跟踪训练1利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y＝cosx2，x∈R；(2)y＝sin13x－π4，x∈R.解(1)因为cos12(x＋4π)＝cosx2＋2π＝cosx2，由周期

函数的定义知，y＝cosx2的周期为4π.(2)因为sin13x＋6π－π4＝sin13x＋2π－π4＝sin13x－π4，由周期函数的定义知，y＝sin13x－π4的

周期为6π.二、三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝sinxcosx；(2)f(x)＝cosx1－sinx；(3)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.解(1)函数的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－

f(x)，∴f(x)＝sinxcosx为奇函数．(2)函数应满足1－sinx≠0，∴函数的定义域为xx≠2kπ＋π2，k∈Z，显然定义域不关于原点对称，∴f(x)＝cosx1－sinx为非

奇非偶函数．(3)由1－cosx≥0，cosx－1≥0，得cosx＝1，∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．当cosx＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．∴f(x)＝1－cosx＋cosx－1既是奇函数又是偶

函数．反思感悟(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则

．跟踪训练2下列函数中周期为π2，且为偶函数的是()A．y＝sin4xB．y＝cos14xC．y＝sin4x＋π2D．y＝cos14x－π2答案C解析显然周期为π2的有A和C，又因为y

＝sin4x＋π2＝cos4x是偶函数，故选C.三、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，

则f5π3等于()A．－12B.12C．－32D.32答案D解析f5π3＝f5π3－π＝f2π3＝f2π3－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.延伸探究1．若本

例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f5π3的值．解f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－32.2．若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f－176π的值．解因为f(x)的最小正周期是π2，

所以f－176π＝f－3π＋π6＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12.反思感悟三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋

φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asinωx(Aω≠0)或y＝Acosωx(Aω≠0)其中的一个．跟踪训练

3已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈0，π2时，f(x)＝1－sinx，求当x∈52π，3π时f(x)的解析式．解x∈52π，3π时，3π－x∈0，π2，因为x∈0，π2时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)

＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈52π，3π.1．下列函数中，周期为π2的是()A．y＝sinxB．y＝sin2

xC．y＝cosx2D．y＝cos4x答案D2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案A解析由于x∈R，且f(－x)＝sinx＝－sin(－x

)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．3．已知函数f(x)＝sinπx－π2－1，则下列命题正确的是()A．f(x)是周期为1的奇函数B．f(x)是周期为2的偶函数C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数答案B解析f(x)＝sin

πx－π2－1＝－cosπx－1，从而函数为偶函数，且T＝2ππ＝2.4．函数f(x)＝3sinπx2－π4，x∈R的最小正周期为________．答案4解析由已知得f(x)的最小正周期T＝2ππ2＝4.5．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝

________.答案－3解析由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.1．知识清单：(1)周期函数的概念，三角函数的周期；(2)三角函数的奇偶性；(3)

周期性、奇偶性的应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝2π|ω|.1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是()A．y＝sinx2B．y＝cosx2C．y＝cosxD．y＝cos2x答

案D解析A中函数是奇函数，B，C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是()答案B解析由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周

期为2.故选B.3．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于()A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线x＝π2对称答案B解析y＝4sin(2x－π)＝－4sin2x是奇函数，其图象关于原点对称．4．函数y＝sin

－x2＋π2的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数也是偶函数答案B解析y＝sin－x2＋π2＝sinπ2－x2＝cosx2，故为偶函数．5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可

以是()A.π4B.π2C．πD.3π2答案C解析要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.6．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)＝________.答案3解析∵

函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，∴f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3.7．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②存在φ，使f(x)是偶函数；③存在φ

，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．答案①④解析当φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数，当φ＝π2时，f(x)＝cosx是偶函数．8．若f(x)为奇函数，

当x>0时，f(x)＝cosx－sinx，当x<0时，f(x)的解析式为_______．答案f(x)＝－cosx－sinx解析x<0时，－x>0，f(－x)＝cos(－x)－sin(－x)＝cosx＋sinx，因为f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－cosx－sinx

，即x<0时，f(x)＝－cosx－sinx.9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝lg(sinx＋1＋sin2x)；(2)f(x)＝sin3x4＋3π2.解(1)因为1＋sin2x>sin2x，所以1＋sin2x>

|sinx|≥－sinx，所以sinx＋1＋sin2x>0，所以函数f(x)的定义域为R.f(－x)＝lg[sin(－x)＋1＋sin2－x]＝lg(－sinx＋1＋sin2x)＝lg1sinx＋1＋sin2x＝－lg(sinx＋1

＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，x∈R.又f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝

sin3x4＋3π2是偶函数．10．已知函数y＝12sinx＋12|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解(1)y＝12sinx＋12|sinx|

＝sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，0，x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.11．设f(x)是定义域为R，最小正周期为3π2的函数

，若f(x)＝cosx，－π2≤x≤0，sinx，0<x≤π，则f－15π4的值等于()A．1B.22C．0D．－22答案B解析f－15π4＝f3π2×－3＋3π4＝f3π4＝sin3π4＝22.12．函数y＝cos

k4x＋π3(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A．10B．11C．12D．13答案D解析因为T＝2πk4＝8πk≤2，所以k≥4π，又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.13．已知函数f(x)＝2sinx＋π4＋φ是奇函数，则φ∈－π2

，π2时，φ的值为________．答案－π4解析由已知π4＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－π4(k∈Z)，又∵φ∈－π2，π2，∴k＝0时，φ＝－π4符合条件．14．已知函数f(x)＝co

sx2＋π3，则f(x)的最小正周期是______；f(x)的对称中心是______．答案4π2kπ＋π3，0，k∈Z解析由f(x)＝cosx2＋π3，得T＝2π12＝4π；令x2＋π3＝kπ＋π2，求得x＝2kπ＋π3，k∈Z，可得f(x)的对称中心是

2kπ＋π3，0，k∈Z.15．函数y＝sinx2的最小正周期是________．答案2π解析∵y＝sinx2的最小正周期为T＝4π，而y＝sinx2的图象是把y＝sinx2的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，∴y＝sinx2的最小正周期为T＝2π.16．已知函数

f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－1fx(f(x)≠0)．(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．(1)证明∵f(x＋2)＝－1fx，∴f(x＋4)＝－1fx＋2＝

－1－1fx＝f(x)，∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，(2)解∵4是f(x)的一个周期．∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝－1f－1＋2＝－1f

1＝15.