【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.4.3《不同函数增长的差异》学案-2019人教A版.docx，共(11)页，454.753 KB，由小喜鸽上传

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4.4.3不同函数增长的差异学习目标1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1

)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长增长后果会存在一个x

0，当x>x0时，有ax>kx>logax1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(√)2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(√)3．函数12logyx衰减的速度越来越慢．(√)4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任

意x∈R恒有ax>2x(a>1)．(×)一、几类函数模型增长差异的比较例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×106

3.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．答案y2解析从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数

函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．反思感悟常见的函数模

型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模

型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．跟踪训练1有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.011.392.052.122.41现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接

近的一个是()A．v＝log2tB．12logt＝vC．v＝2t－1D．v＝2t－2答案A解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越慢，排除C和D，故选A.二、函数模型的选择问题例2某人对东北

一种松树生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7解据表中数据作出散点图如图．由图可以看出用一次

函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．不妨将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来刻画h与t的关系．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．反思感悟不同函数模型的

选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律．跟踪训练2(1)某地

区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是()A．y＝0.2xB．y＝110(x2＋2x)C．y＝

2x10D．y＝0.2＋log16x答案C解析对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题

意；对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符

合题意．(2)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，

y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．解用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量更多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函

数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．三、指数函数、对数函数与二次函数模型的比较例3函数f(x)＝2x(x>0)和g(x)＝x2(x>0)的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<

x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)求点A，B的坐标；(3)结合函数图象，判断f(3)，g(3)，f(2019)，g(2019)的大小．解(1)C1对应的函数为g(x)＝x2，C2对应的函数为f(x)＝2x.(

2)因为f(2)＝4，g(2)＝4，f(4)＝16，g(4)＝16，所以A(2,4)，B(4,16)．(3)由图象和(2)可知，当0<x<2时，f(x)>g(x)，当2<x<4时，f(x)<g(x)，当x>4时，f(x)>g(x)，所以f(2019)>g(2019)，f(3

)<g(3)，又因为g(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以g(2019)>g(3)，故f(2019)>g(2019)>g(3)>f(3)．反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数

函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50B．y＝100

0xC．y＝50x2D．y＝11000ex答案D解析指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，故选D.2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y1525456585105y2529245218919685177149y356.106.616

.957.27.4则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，直线型函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2答案C解析通过指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢

，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律，故选C.3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则

下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是()答案B4．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．(填序号)①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.考点

建立函数模型解决实际问题题点建立函数模型解决实际问题答案①5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年

年底该地区的农民人均年收入为________元．(精确到个位)(附：1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59)答案4500解析根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3000×1.0

6x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3000×1.067≈4500.1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型.2．方法归纳：把实际问题转化为数学问题．3．常见误区：实际问题应有定义域并作答．1．

下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6xB．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案B解析D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．2．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国

，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是()A．指数函数：y＝2tB．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2考点建立函数模型解决实际问题题点指数函数模型的应用答案A解析由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数模型．3．如图所示是某条公共汽车路

线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是()A．①反映了建议(2)，③反映

了建议(1)B．①反映了建议(1)，③反映了建议(2)C．②反映了建议(1)，④反映了建议(2)D．④反映了建议(1)，②反映了建议(2)答案B解析建议(1)是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即

平行于原图象．故①反映了建议(1)；建议(2)是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议(2)．故答案为B.4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()考点三种函数模型增长的差异题

点三种函数模型增长速度的差异答案D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．5．能使不等式log2x<x2

<2x一定成立的x的取值区间是()A．(0，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2)D．(4，＋∞)考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案D6．某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱

中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________________．答案y＝22－11100x(0≤x≤200)解析流速为22200＝11100，x分钟可流11100x，则y＝22－11100x(0≤x≤200)．7．工厂生产

某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为___万件．考点函数模型的应用题点指数、对数型函数模型的应用答案1.75解析由题意有1＝0.5

a＋b，1.5＝0.25a＋b，解得a＝－2，b＝2，∴y＝－2×0.5x＋2，∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．8．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678„y1248163264128

256„y21491625364964„y3011.58522.3222.5852.8073„其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．答案y1解析从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是随x的增大越来越

大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化．9.函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比

较．解(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当0<x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．10．某企业常年生产

一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2012年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝12l

ogx＋a.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，从2016年起，年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量．解(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，

若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f(x)＝12logx＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．由已知得a＋b＝4，3a＋b＝7，解得

a＝1.5，b＝2.5，所以f(x)＝1.5x＋2.5，x∈N*.(2)2019年预计年产量为f(8)＝1.5×8＋2.5＝14.5，2019年实际年产量为14.5×(1－30%)＝10.15(万件)．11.高为H，满缸水量为V的

鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()考点三种函数模型增长的差异题点三种函数模型增长速度的差异答案B解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.12．四人赛跑，假设他们跑过的

路程：fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去(不考虑其他因素)，最终跑在

最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x答案D解析显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.13．近几

年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_______．答案y＝

180(1＋x)10解析1年后的价格为180＋180·x＝180(1＋x)(万元)，2年后的价格为180(1＋x)＋180(1＋x)·x＝180(1＋x)(1＋x)＝180(1＋x)2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1＋x)10万元．14．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙

中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n＝________；若再过m秒甲桶中的水量只有a4升，则m＝________.答案－15ln25解析∵5秒后两桶的水量相等，则ae5n＝a2⇒e5n＝12⇒n＝15ln12＝－15

ln2，若k秒后甲桶水量为a4，则aenk＝a4，enk＝14⇒nk＝ln14⇒－15ln2·k＝－2ln2，∴k＝10，∴m＝10－5＝5.15．以下四种说法中，正确的是()A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度

快B．对任意的x>0，xn>logaxC．对任意的x>0，ax>logaxD．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax答案D解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不

确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0<a<1时，显然不成立．a>1，n>1时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>1”，则结论不成立．16．某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有

奖金；②年销售额x(万元)在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求y关于x的函数解析式；(2)若某营销人员争取

年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x所在的范围．解(1)由题意知y＝logax是增函数，∴a>1，又当x∈[8,64]，y∈[3,6]，∴loga8＝3，loga64＝6，∴a＝2，∴y＝

0，0≤x<8，log2x，8≤x≤64，10%x，x>64.(2)由题意得log2x≥4，10%x≤10，解得16≤x≤100，∴年奖金y∈[4,10](万元)时，年销售额x的取值范围为[16,100]．