【文档说明】高中数学必修第一册第三章3.2.1第1课时《函数的单调性》学案-2019人教A版.docx，共(11)页，404.816 KB，由小喜鸽上传

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3．2函数的基本性质3．2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．知识点一增函数与减函数

的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x

2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1

，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？答案(1)不是；(2)不能．知识点二函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)

的单调区间．特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I.(3)遵循最简原则，单调区

间应尽可能大．1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(×)2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(√)3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数

y＝f(x)是增函数．(×)4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(√)一、函数单调性的判定与证明例1根据定义，研究函数f(x)＝axx－1在x∈(－1,1)上的单调性．解当a＝0

时，f(x)＝0，在(－1,1)上不具有单调性，当a≠0时，设x1，x2为(－1,1)上的任意两个数，且x1<x2，所以f(x1)－f(x2)＝ax1x1－1－ax2x2－1＝ax1x2－1－ax2

x1－1x1－1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1因为x1，x2∈(－1,1)且x1<x2，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以x2－x1x1－1x2－1>0，当a>0时

，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－1,1)上单调递减，当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－1,1)上单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(－1,1)上不具有单调性；当a>0时，f(x)在

(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤跟踪训练1求证：函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．证明对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，有f(x1)－

f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(－∞，0)上是增函数．对于任意

的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，有f(x1)－f(x2)＝x2－x1x2＋x1x21x22.∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0.∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)＝1x2在(0，＋∞)上是减函数．二、求单

调区间并判断单调性例2(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其

中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．(2)作出函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x>1的图象，并指出函数f(x)的单调区间．解f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，

x>1的图象如图所示，由图可知，函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x>1的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调递增区间为[2，＋∞)．反思感悟(1)函数单调区间的两种求法①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．②定义法．即先求出定义域，

再利用定义法进行判断求解．(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是

增函数，要么是减函数，不能二者兼有．跟踪训练2(1)函数y＝1x－1的单调递减区间是________．答案(－∞，1)，(1，＋∞)解析方法一y＝1x－1的图象可由y＝1x的图象向右平移一个单位得到，如图，所以单调减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．方法二函

数f(x)＝1x－1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1x1－1－1x2－1＝x2－x1x1－1x2－1.因为x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以

f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．(2)函数y＝|x2－2x

－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)

．三、单调性的应用例3(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，－3]解析f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口

方向向上，对称轴为x＝1－a，∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，∴4≤1－a，∴a≤－3，∴a的取值范围是(－∞，－3]．(2)若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(

2a－1)，则a的取值范围是________．答案23，＋∞解析因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)，所以1－a<2a－1，即a>23，所以所求a的取值范围是23，＋∞.延伸探究在本例(2)中，若将定义域R改为(－1,1)，其他条

件不变，则a的范围又是什么？解由题意可知－1<1－a<1，－1<2a－1<1.解得0<a<1.①因为f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(1－a)<f(2a－1)，所以1－a<2a－1，即a>23.②

由①②可知，23<a<1，即所求a的取值范围是23，1.反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．

(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．跟踪训练3已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a的取值范围．解函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．由图象可知函数在

(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．1．函数y＝6x的减区间是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)，(0，＋∞)D．(－∞，

0)∪(0，＋∞)答案C2．函数f(x)在R上是减函数，则有()A．f(3)<f(5)B．f(3)≤f(5)C．f(3)>f(5)D．f(3)≥f(5)答案C解析因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上()A．递

减B．递增C．先减后增D．先增后减答案C解析因为y＝|x＋2|＝x＋2，x≥－2，－x－2，x<－2.作出y＝|x＋2|的图象，如图所示，易知函数在[－3，－2)上为减函数，在[－2，0]上为增函数．4．若f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[3，＋∞

)，则a的值是________．答案－1解析∵f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2的单调增区间为[2－a，＋∞)，∴2－a＝3，∴a＝－1.5．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f12的实数x的取值范围为________．答案－1，12解析由题设得

－1≤x≤1，x<12，解得－1≤x<12.1．知识清单：(1)增函数、减函数的定义．(2)函数的单调区间．2．方法归纳：数形结合法．3．常见误区：函数的单调区间不能用并集．1．如图是定义在区间[－5,

5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A．函数在区间[－5，－3]上单调递增B．函数在区间[1,4]上单调递增C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D．函数在区间[－5,5]上没有单调性答案C解析单调区间不能用“∪”连接．2．下列函数中

，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝1xD．y＝－|x＋1|答案B解析y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．3．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有()A．k>12B．k>－12C．k<12D．k<－12

答案C4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是()A．f(a)>f(2a)B．f(a2)<f(a)C．f(a2＋a)<f(a)D．f(a2＋1)<f(a2)答案D解析因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a

2＋1>a2，所以f(a2＋1)<f(a2)．故选D.5．已知函数y＝ax和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()A．减函数且f(0)<0B．增函数且f(0)<0C．减函数且f(0)>0D．增函数且f(0)>0答案A解析因为y＝ax

和y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，所以a<0，b<0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a<0，故选A.6．已知函数f(x)＝2x＋1，x≥1，5－x，x<1，则f(x)的单调递减区间是________．答案(－∞，1)解析当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f

(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)．7．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，1上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，2]解析因为二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的图象的对称轴为直线x＝a－12，又

函数f(x)在区间12，1上是增函数，所以a－12≤12，解得a≤2.8．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________．考点函数单调

性的应用题点利用单调性解抽象函数不等式答案1，32解析由题意，得－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，x－2<1－x，解得1≤x<32，故满足条件的x的取值范围是1，32.9．已知函数f(x)＝2－xx＋1，证明：函数f(x)

在(－1，＋∞)上为减函数．证明任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2－x1x1＋1－2－x2x2＋1＝3x2－x1x1＋1x2＋1.因为x2>x1>－1，所以x2－x1>

0，(x1＋1)(x2＋1)>0，因此f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．解y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2

x＋1，x<0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x<0的图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．11．若函数f(x)在区间(a，b)上是增

函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函数B．必是减函数C．是增函数或减函数D．无法确定单调性答案D解析函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞

，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．12．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x1<0，则()A．f(3)<f(2)<f(1)B．f(1)<f(2)<f(3)C．f(2)<f(1)

<f(3)D．f(3)<f(1)<f(2)答案A解析对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有fx2－fx1x2－x1<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)<f

(2)<f(1)．故选A.13．已知函数f(x)＝x2，x>1，4－a2x－1，x≤1.若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________．答案[4,8)解因为f(x)是R上的增函数，所以

4－a2>0，4－a2－1≤1，解得4≤a<8.14．函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．答案[－3,0]解析①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，∴a＝0满足条件；②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x

＋1，对称轴为x＝－a－32a，∴a<0，－a－32a≤－1，解得－3≤a<0.由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3,0]．15．已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x<0，若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，

2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－2，＋∞)答案A解析画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2.16．已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解设1<x1<x2，所以x1x2>1

.因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－x2－ax2＋a2＝(x1－x2)1＋ax1x2<0.因为x1－x2<0，所以1＋ax1x2>0，即a>－x1x2.因为1

<x1<x2，x1x2>1，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.所以a的取值范围是[－1，＋∞)．