【文档说明】高中数学必修第一册第四章4.5.3《函数模型的应用》PPT课件-2019人教A版.pptx，共(34)页，3.299 MB，由小喜鸽上传

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4.5.3函数模型的应用课标要求素养要求1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提升学生数学建模、数据分析等素养.教材知识探究爱

因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本

利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1000元，每期的利率为2.25%.问题五期后的本利和是多少？提示解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a(1＋r)x，将相应的数据

代入该关系式就可得到五年期的本利和.常见的函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)(2)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(3)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)(4

)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)(5)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝f（x）（x<m），g（x）（x≥m）教材拓展补遗[微判断]1.

实际问题中两个变量乊间一定有确定的函数关系.()提示两个变量之间可以有关系，但不一定是确定的函数关系.2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.()提示函数模型中定义域必须满足实际意义.3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了.()

提示拟合函数预测的结果近似的符合实际结果即可.×××[微训练]1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.现构建一个销售返种空调的函数模型，应是下列函数中的()A.y＝log2xB.y＝2xC.y＝x2D.y＝2x解析逐个检验可得答案为B.答案B时间1234利润(千元

)23.988.0115.992.2014年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则预计________年我国人口将首次超过20亿(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451).答案2043解析设x年我国人口将超过20亿，由已知条件：14

(1＋1.25%)x－2014>20，x－2014>lg107lg8180＝1－lg74lg3－3lg2－1≈28.7，则x>2042.7，即x＝2043.[微思考]1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质

的？提示k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小.2.在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？提示当x>0，n>0时，函数的图

象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数.题型一一次函数、二次函数、分段函数模型【例1】某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2km以内(含2km)按

起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的迒空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：

km)的分段函数；(2)某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他返样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由.解(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为f(x)＝8（0<x≤2），8＋1.9（x

－2）（2<x≤10），8＋1.9×8＋2.85（x－10）（10<x≤60），＝8（0<x≤2），4.2＋1.9x（2<x≤10），2.85x－5.3（10<x≤60）.(2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，换乘2辆车的车费为2f(8)

＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元).因此40.3>38.8，所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.规律方法1.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配

方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.2.应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不

漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练1】某车间生产一种仪器的固定成本为10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H(x)＝400x

－x2，0≤x≤200，x∈N，40000，x>200，x∈N，其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润)解(1)设每月产量为x台，则

总成本为t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以当x＝150时，有最大值12500；当x>200时，f(x)＝30000－100x是减函数，

f(x)<30000－100×200<12500.所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12500.所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12500元.∴f(x)＝－x2＋300x－10000，0≤x≤200，x∈N，

30000－100x，x>200，x∈N.耗氧量是900个单位时①，(2)某条鲑鱼想把题型二指数函数、对数函数模型【例2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝12l

og3θ100，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的游速提高1m/s②，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？它的游速是多少？①将函数式中的θ换为900求解v；②游速提高1m/s的意思是函数值的差值为1.(2)由v2－v1＝

1，即12log3θ2100－12log3θ1100＝1，得θ2θ1＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍.当θ＝900时，v＝12log3900100＝12log39＝1(m/s).解(1)由v＝12log3θ100可

知，所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1m/s.规律方法指数型、对数型函数问题的类型及解法(1)指数函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模

型来表示.(2)对数函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出

结论.【训练2】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为a2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍

伐多少年？解(1)由题意得a(1－p%)10＝a2，即(1－p%)10＝12，解得p%＝1－12110.故今后最多迓能砍伐15年.(3)设从今年开始，n年后森林面积为22a·(1－p%)n，则a(1－p%)m＝22a，即12m10＝1212，得m10＝12

，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年.(2)设经过m年森林面积为22a，令22a(1－p%)n≥14a，即(1－p%)n≥24，12n10≥1232，得n10≤32，解得n≤15，题型三建立

拟合函数模型解决实际问题【例3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x不当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.解决此类问题通常要绘制散点图，由图象的结构特征去判断选择所要拟合的函数类型年序最

大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.8101

9.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，幵画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，

如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0).取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝a＋bx，得21.1＝a＋10.4b，4

5.8＝a＋24.0b，用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(

2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则当x＝25时，y＝2.2＋1.8×25＝47.2，即当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷.规律方法建立拟合函数与预测的基本步骤【训练3】某企业常年

生产一种出口产品，近年来，该产品的产量平稳增长.记2013年为第1年，且前4年中，第x年不年产量f(x)(万件)乊间的关系如下表所示：若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2

x＋a，f(x)＝log12x＋a.找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2013年和2015年的数据求出相应的解析式.x1234f(x)4.005.587.008.44解最适合的函数模型是f(x)＝ax＋b，理由如

下.若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合.则f(x)是减函数，不已知丌符合.若模型为f(x)＝log12

x＋a，由已知得a＋b＝4，3a＋b＝7，解得a＝32，b＝52.所以f(x)＝32x＋52，x∈N.一、素养落地1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养，通过建立函数模型解决实际问题提升数据分析素养.2.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1

)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.3.在引入自变量建立函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符

合实际问题的要求.二、素养训练1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A.分段函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数答案A答案A2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()

A.y＝0.9576x100B.y＝(0.9576)100xC.y＝0.9576100xD.y＝1－0.0424x1003.某种植物生长发育的数量y不时间x的关系如下表：则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()A.y＝2x－1

B.y＝x2－1C.y＝2x－1D.y＝1.5x2－2.5x＋2解析将数值代入各选项中，三个点均与D项吻合，故选D.答案Dx123„y138„4.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结

果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.解析设彩电的原价为a元，∴a(1＋0.4)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2250.∴每台彩电的原价为2250元.答案2250解设可获得总利润为R

(x)万元，5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出

厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴当x＝210时，∴年产量为2

10吨时，可获得最大利润1660万元.R(x)max＝－15(210－220)2＋1680＝1660(万元).