【文档说明】高中必修第一册《5.5 三角恒等变换》PPT课件-统编人教A版.ppt，共(27)页，1.208 MB，由小喜鸽上传

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第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换课程目标1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法．3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简

单的应用．数学学科素养1.逻辑推理：三角恒等式的证明；2.数据分析：三角函数式的化简；3.数学运算：三角函数式的求值.自主预习，回答问题阅读课本225-226页，思考并完成以下问题1.半角公式是什么？2.辅助角公式是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问

题。1．半角公式知识清单2.辅助角公式asinx＋bcosx＝(其中tanθ＝ba)．a2＋b2sin(x＋θ)1．已知180°＜α＜360°，则cosα2的值等于()A．－1－cosα2B．1－co

sα2C．－1＋cosα2D．1＋cosα2解析：∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，∴cosα2＜0，故应选C.答案：C.小试牛刀2．2sinθ＋2cosθ＝()A．sinθ＋π4B．2

2sinθ＋3π4C．22sinθ＋π4D．2sinθ＋π4解析：原式＝22sinθ×22＋cosθ×22＝22sinθcosπ4＋cosθsinπ4＝22sinθ

＋π4.答案：C3．函数f(x)＝2sinx＋cosx的最大值为．解析：f(x)＝22＋12sin(x＋θ)＝5sin(x＋θ)≤5.答案：54．已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－35，cosθ＜0，则tanθ2的值等于．解析：由sinθ＝－35，cosθ＜0得

cosθ＝－45，∴tanθ2＝sinθ2cosθ2＝2sinθ2cosθ22cos2θ2＝sinθ1＋cosθ＝－351＋－45＝－3.答案：-3题型分析举一反三题型一化简求值问题【例1】设5π＜θ＜6π，cosθ2＝a，则

sinθ4等于()A．1＋a2B．1－a2C．－1＋a2D．－1－a2解析：∵5π＜θ＜6π，∴θ2∈5π2，3π，θ4∈5π4，3π2.又cosθ2＝a，∴sinθ4＝－1－cosθ22＝－1－a

2.答案：D解题方法（利用半角公式化简求值）1．化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观

察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算

．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．221cos1cossin,cos.2222[跟踪训练一]1．已知sinα＝－45，π＜α＜3π2，求sinα2，cosα2，tanα2的值．解析：∵π＜α＜3π2，sinα＝－45，∴cosα＝－35，且π2＜α

2＜3π4，∴sinα2＝1－cosα2＝255，cosα2＝－1＋cosα2＝－55，tanα2＝sinα2cosα2＝－2.题型二三角恒等式的证明【例2】求证：cos2α1tanα2－tanα2＝14si

n2α.证明：法一：用正弦、余弦公式．左边＝cos2αcosα2sinα2－sinα2cosα2＝cos2αcos2α2－sin2α2sinα2cosα2＝cos2αsinα2cosα2cos2α2－sin2α2＝cos2αsinα2cos

α2cosα＝sinα2cosα2cosα＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝cos2αtanα21－tan2α2＝12cos2α·2tanα21－tan2α2＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右边，∴原式成立．解

题方法（三角恒等式证明的常用方法）三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消

除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．[跟踪训练

二]1．求证：2sinxcosx（sinx＋cosx－1）（sinx－cosx＋1）＝1＋cosxsinx.证明：左边＝2sinxcosx2sinx2cosx2－2sin2x22sinx2cosx2＋2sin2x2＝2sinxcosx4sin

2x2cos2x2－sin2x2＝sinx2sin2x2＝cosx2sinx2＝2cos2x22sinx2cosx2＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立.题型三三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例3】已知函数f(x)＝cosπ3＋xcos

π3－x－sinxcosx＋14.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．解析：(1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin2x＋14＝

12cosx－32sinx12cosx＋32sinx－12sin2x＋14＝14cos2x－34sin2x－12sin2x＋14＝1＋cos2x8－3－3cos2x8－12sin2x＋14＝12(cos2x－sin2x)＝22cos2x＋

π4.∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为22.(2)由2kπ－π≤2x＋π4≤2kπ，k∈Z，得kπ－58π≤x≤kπ－π8，k∈Z.函数f(x)的单调递增区间为kπ－5

π8，kπ－π8，k∈Z.解题方法（应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤）应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤运用和、差、倍角公式化简↓统一化成f(x)＝asinωx＋bcosωx＋k的形式↓利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，研究其性质1．已知函数f(x)

＝23cos2x＋sin2x－3＋1(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x∈－π4，π4，求f(x)的值域．[跟踪训练三]解析：f(x)＝sin2x＋3(2

cos2x－1)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.(2)由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－5π6≤2x≤2kπ

＋π6(k∈Z)，∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12(k∈Z)．(3)∵x∈－π4，π4，∴2x＋π3∈

－π6，5π6，∴sin2x＋π3∈－12，1.∴f(x)∈[0，3].