【文档说明】高中必修第一册《5.4 三角函数的图象与性质》ppt课件-统编人教A版.ppt，共(36)页，1.395 MB，由小喜鸽上传

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第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简

单问题.数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究

正、余弦函数的性质.自主预习，回答问题阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1.周期函数、周期、最小正周期等的含义？2.怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？3.通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。1.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个,使得当x取定义域内的值时,都有,那么函数f(x)就叫做周期函数,叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所

有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)记f(x)=sinx,则由sin(2kπ+x)=sinx(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立,余弦函数同理也是这样,所以正弦函数、

余弦函数都是周期函数,都是它们的周期,最小正周期为.非零常数T每一个f(x+T)=f(x)非零常数T最小的正数最小正数2kπ(k∈Z且k≠0)2π知识清单函数名称图象与性质y=sinxy=cosx图象探究1:是不是所有的周期函数都有最小正周期?提示:并非所有周期函数都有最小正周期.例如,对于

常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,最小正数不存在,所以常数函数没有最小正周期.2.正、余弦函数的性质定义域值域周期性最小正周期为最小正周期为奇偶性函数函数单调性在[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上;在[2kπ+π2,2kπ

+32π](k∈Z)上在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上对称轴x=kπ+π2(k∈Z)x=kπ(k∈Z)RR[-1,1]2π奇偶递增递减递增递减[-1,1]2π探究2:正弦函数(余弦函数)是不是定义域上的单调函数?提示:正弦函数(余弦函数)在其

定义域上不是单调函数.探究3:正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点吗?提示:是.对称中心(kπ,0)(k∈Z)(kπ+π2,0)(k∈Z)最值x=时,ymax=1;x=时,ymin=-1x=时,ymax=1;x=时,ymin=-12kπ+π2(k∈Z

)2kπ-π2(k∈Z)2kπ(k∈Z)2kπ+π(k∈Z)1．判断正误(1)存在x∈R满足sinx＝2.()(2)函数y＝cos2x在π2，π上是减函数．()(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅在x＝0时取得最

大值1.()答案：(1)×(2)×(3)×小试牛刀2．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：f(x)＝sin2

x－π2＝－sinπ2－2x＝－cos2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为2π2＝π的周期函数，故选B.答案：B3．函数y＝sinx和y＝cosx都是减函数的区间是()A.2kπ＋π2，2kπ＋π(k

∈Z)B.2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)C.2kπ＋π，2kπ＋3π2(k∈Z)D.2kπ＋3π2，2kπ＋2π(k∈Z)解析：由y＝sinx是减函数得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，由

y＝cosx是减函数得2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，所以2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故选A.答案：A4．已知函数f(x)＝sin2x＋3π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．

函数f(x)的最小正周期为πB．函数f(x)是偶函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称D．函数f(x)在区间0，π2上是增函数解析：f(x)＝sin2x＋3π2＝－cos2x，最小正周期

为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，故B正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，C错误，D正确．答案：C题型分析举一反三题型一正、余弦函数的周期性【例1】求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)

y=2sin(126x),x∈R;(4)y=|cosx|,x∈R.解析:(1)因为3cos(x+2π)=3cosx,所以由周期函数的定义知,y=3cosx的最小正周期为2π.(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin

2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.(3)因为1sin(4)sin2sin262626xxx,所以由周期函数的定义知,

2sin26xy的最小正周期为4π.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cosx|的最小正周期为π.解题方法（求函数最小正周期的常用方法）(1)定义法，即利用周期函数的定

义求解．(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．[跟踪训练一]1.(

1)函数y=2sin(3x+π6),x∈R的最小正周期是()(A)π3(B)2π3(C)3π2(D)π(2)函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为.B解析:(2)作出y=|sin2x|(x∈R)的图象(如图所示)

.由图象可知,函数y=|sin2x|(x∈R)的最小正周期为π2.答案:(2)π2题型二正、余弦函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2sin2x;(2)f(x)=sin(34x+3π2);(3)f(x)=sin|x|;(4)f(x)=1cosx+cos1x.解析:(1)

显然x∈R,f(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-f(x),所以f(x)=2sin2x是奇函数.(3)显然x∈R,f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以函数f(x)=sin|x|是偶函数.(4)由1cos0,cos10,xx得cosx=

1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.(2)因为x∈R,f(x)=sin(34x+3π2)=-cos34x,所以f(-x)=-cos(-34x)=-co

s34x=f(x),所以函数f(x)=sin(34x+3π2)是偶函数.解题方法（判断函数奇偶性的方法）判断函数奇偶性的方法(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原

点对称;②f(-x)与f(x)的关系;(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.[跟踪训练二]1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()(A)y=sin(2x+π2)(B)y=cos(2x+π2)(C)y=sin(2x+π4

)(D)y=2sin(x+π4)解析:A中,y=sin(2x+π2),即y=cos2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+π2)=-sin2x,是奇函数,T=2π2=π,故选B.2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且

当x∈0，π2时，f(x)＝sinx，则f5π3=()A．－12B．1C．－32D．32解析：因为f(x)的最小正周期为T＝π，所以f5π3＝f5π3－2π＝f－π3，又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以f

5π3＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝32.答案：D题型三正、余弦函数的单调性【例3】求函数y=sin(12x+π3)的单调区间.解析:当-π2+2kπ≤12x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-5π3+4k

,π3+4k](k∈Z).当π2+2kπ≤12x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[π3+4k,7π3+4k](k∈Z).解题方法（求单调区间的步骤）(1)用“基本函数法”

求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数y＝sinx(或y＝cosx)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x的不等式

．(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，

值得注意的是k∈Z这一条件不能省略．[跟踪训练三]1．求函数y＝2sinπ4－x的单调增区间．解析：y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，令z＝x－π4，则y＝－2sinz，求y＝－2sin

z的增区间，即求y＝sinz的减区间，所以π2＋2kπ≤z≤3π2＋2kπ(k∈Z)，即π2＋2kπ≤x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得3π4＋2kπ≤x≤7π4＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sinπ4－

x的单调增区间是3π4＋2kπ，7π4＋2kπ(k∈Z)．解析：cos－23π5＝cos－6π＋7π5＝cos7π5，cos－17π4＝cos－6π＋7π4＝cos7π4

，∵π＜7π5＜7π4＜2π，且函数y＝cosx在[π，2π]上单调递增，∴cos7π5＜cos7π4，即cos－23π5＜cos－17π4.题型四正弦函数、余弦函数单调性的应用【例4】比较下列各组中函数值的大小：（1）cos－

23π5与cos－17π4；(2)sin194°与cos160°.解析：sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜

70°＜90°，且函数y＝sinx在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin14°＜sin70°.从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.解题方法（比较两个三角函数值的大小）(1)比较两个同名三角函数

值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．(3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．[跟踪训练四]1．下列结论正确的是()

A．sin400°>sin50°B．sin220°<sin310°C．cos130°>cos200°D．cos(－40°)<cos310°解析：由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋2

0°)＝－cos20°，因为当0°<x<90°时，函数y＝cosx是减函数，所以cos50°<cos20°，所以－cos50°>－cos20°，即cos130°>cos200°.答案：C题型五正、余弦函数的值域与最值问题解析:(1

)由x∈[0,π2]可得x+π6∈[π6,2π3],函数y=cosx在区间[π6,2π3]上单调递减,所以函数的值域为[-12,32].【例5】求下列函数的值域:(1)y=cos(x+π6),x∈[0,π2];(2)y=cos2x-4cosx+5.解析:(2)y=cos2x

-4cosx+5,令t=cosx,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(,当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].解题方法（三角函数的值域问题解题思路）三角函数的值域

问题的两种类型,一是化为y=Asin(ωx+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角函数的有界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题.[跟踪训练五]1

.函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为.解析:(1)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2=-2(sinx-54)2+98.故当sinx=1时

,ymax=1;当sinx=-1时,ymin=-9,故y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].解析:由题意a≠0,当a>0时,1,3,abab所以2,1,ab此时g(x)=-sin(2x+π3),其最大值为1

.当a<0时,3,1,abab所以2,1.ab此时g(x)=-sin(-2x+π3),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.2.设f(x)=acosx+b的最大值是1,

最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+π3)的最大值为.