【文档说明】高考数学（理科）考前抢分必做 压轴大题突破练（四）含答案.doc，共(4)页，63.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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压轴大题突破练(四)函数与导数(2)1.已知函数f(x)＝12x－sinx，x∈R.(1)试求函数f(x)的递减区间；(2)试求函数f(x)在区间[－π，π]上的最值.解(1)求导数得：f′(x)＝12－cosx，令f′(x)<0，即1

2－cosx<0，得－π3＋2kπ<x<π3＋2kπ，k∈Z，∴函数f(x)在区间(－π3＋2kπ，π3＋2kπ)，k∈Z上为减函数.(2)由(1)知，函数f(x)在区间(－π，－π3)，(π3，π)上为增函数，在区间(－π3，π3)上为减函数，∴函数f(x)在x＝－π3处取极大值f(－π3

)＝32－π6，在x＝π3处取极小值f(π3)＝π6－32，∵f(－π)＝－π2，f(π)＝π2，∴函数f(x)在区间[－π，π]上的最大值为f(π)＝π2，最小值为f(－π)＝－π2.2.已知函数f(x)＝alnx＋x2－1.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)

若f(x)＞(a＋1)lnx＋ax－1在(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围.解(1)由题意得，f′(x)＝ax＋2x(x＞0)，∴f′(1)＝a＋2，又f(1)＝0，∴切线方程是y＝(a＋2)(x－1)，即(a＋2)x－y－a－2

＝0.(2)由f(x)＞(a＋1)lnx＋ax－1得，ax＜x2－lnx，∵x＞1，∴a＜x－lnxx恒成立.令g(x)＝x－lnxx，则g′(x)＝x2＋lnx－1x2，令h(x)＝x2＋lnx－1，则h′

(x)＝2x＋1x＞0，∴h(x)在(1，＋∞)上递增，而h(1)＝0，∴当x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(1，＋∞)上递增，∴g(x)＞g(1)＝1，∴当a≤1时，a＜g(x)恒成立，∴a的

取值范围是(－∞，1].3.(2016·课标全国乙)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1＋x2<2.(1)解f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).①设a＝0

，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点.②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.又f(1)＝－e，f(2)＝a，取

b满足b<0且b<lna2，则f(b)>a2(b－2)＋a(b－1)2＝ab2－32b>0，故f(x)存在两个零点.③设a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a).若a≥－e2，则l

n(－2a)≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上单调递增.又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.若a<－e2，则ln(－2a)>1，故当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0；当x∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0，因此

f(x)在(1，ln(－2a))上单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)上单调递增.又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，＋∞).(2)证明不妨设x1<x2.由(1)知，x1∈(－∞

，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)上单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2

，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.设g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)，所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x

)<0，从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.4.已知函数f(x)＝lnx－12ax2(a∈R).(1)若f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)讨论函数f(x)在

区间[1，e2]上零点的个数.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝lnx－12ax2.∴f′(x)＝1x－ax＝1－ax2x，由于直线x－2y＋1＝0的斜率为12，∴12×1－4a2＝－1，

∴a＝54.(2)由(1)知f′(x)＝1x－ax＝1－ax2x.当a≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a>0时，由f′(x)>0，得x<1a，由f′(x)<0，得x>1a，∴f(x

)在(0，1a)上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减.综上所述：当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1a)，单调递减区间为(1a，＋∞).(3)由(2)可知，当a<0时，f(x)在区间[1，e

2]上单调递增，∵f(1)＝－12a>0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点.当a＝0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，∵f(1)＝－12a＝0，∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点.当a>0时，①若1a≤1，

即a≥1时，f(x)在区间[1，e2]上单调递减，∵f(1)＝－12a<0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点.②若1<1a<e2，即1e4<a<1时，f(x)在[1，1a]上单调递增，在[1a，e2]上单调递减，∵f(1)＝－12

a<0，f(1a)＝－12lna－12，f(e2)＝2－12ae4.若－12lna－12<0，即a>1e时，f(x)在区间[1，e2]上没有零点；若－12lna－12＝0，即a＝1e时，f(x)在区间[1，e2]上有一个零点；若－12

lna－12>0，即a<1e时，由f(e2)＝2－12ae4>0得a<4e4，此时f(x)在区间[1，e2]上有一个零点.由f(e2)＝2－12ae4≤0，得a≥4e4，此时f(x)在区间[1，e2]上有两个零点.③若1a≥e2即0<a≤

1e4时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，∵f(1)＝－12a＜0，f(e2)＝2－12ae4>0，∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点.综上所述，当0≤a<4e4或a＝1e时，f(x)在区间[1，e2]上有一个零点

；当4e4≤a<1e时，f(x)在区间[1，e2]上有两个零点；当a<0或a>1e时，f(x)在区间[1，e2]上没有零点.