【文档说明】高考数学（理科）考前抢分必做 压轴大题突破练（一）.doc，共(4)页，72.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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压轴大题突破练压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1.在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的

方程；(2)过(1)中轨迹E上的点P(1，2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点.试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是

，请说明理由.解(1)依题意，得|MA|＝|MB|.∴动点M的轨迹E是以A(1，0)为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)∵P(1，2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，∴y21＝4

x1，①y22＝4x2，②由①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴直线CD的斜率为kCD＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2.③设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，则直线PC方程为y－2＝

k(x－1)，由y2＝4x，y＝kx－k＋2，得ky2－4y－4k＋8＝0.由2＋y1＝4k，求得y1＝4k－2，同理可求得y2＝－4k－2.∴kCD＝4y1＋y2＝44k－2＋－4k－2＝－1，∴直

线CD的斜率为定值－1.2.如图所示，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点

，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.(1)解依题意，得b＝1.因为e＝ca＝32，又a2－c2＝b2，所以a2＝4.所以椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)证明设点P的坐标为(x0，y

0)，x0≠0，因为P是椭圆上异于A，B的任意一点，所以x204＋y20＝1.因为PQ⊥y轴，Q为垂足，所以点Q坐标为(0，y0).因为M为线段PQ的中点，所以Mx02，y0.又点A的坐标为(0，1)，可得直线AM的方程

为y＝2y0－1x0x＋1.因为x0≠0，所以y0≠1，令y＝－1，得Cx01－y0，－1.因为点B的坐标为(0，－1)，点N为线段BC的中点，所以Nx021－y0，－1.所以向量NM→＝x02－x021－y0，y

0＋1.又OM→＝x02，y0，所以OM→·NM→＝x02x02－x021－y0＋y0(y0＋1)＝x204－x2041－y0＋y20＋y0＝x204＋y20－x2041－y0＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0.所以OM⊥MN.3.椭圆E：x2a2＋y2b2＝1

(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝22.设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PF1F2的周长为2(2＋1).(1)求椭圆E的方程；(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；(3)求证：以PN为直径的圆恒过点

F2.(1)解设F1(－c，0)，F2(c，0)，则ca＝22，2a＋2c＝22＋1，解得a＝2，c＝1.∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)解由x22＋y2＝1，y＝kx＋m⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋

2(m2－1)＝0.设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)，则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1＝|－k＋m|k2＋1，d2＝|k＋m|k2＋1，则d1·d2＝m2－k2k2＋1＝

k2＋1k2＋1＝1.(3)证明∵x0＝－2km1＋2k2＝－2km，∴y0＝kx0＋m＝－2k2m＋m＝m2－2k2m＝1m，∴P(－2km，1m).又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2，2k＋m)，PF2→＝(1＋2km，－1m)，F2N→＝(1，2k＋

m).∴PF2→·F2N→＝(1＋2km，－1m)·(1，2k＋m)＝1＋2km－1m(2k＋m)＝1＋2km－2km－1＝0.∴PF2→⊥F2N→，∴以PN为直径的圆恒过点F2.4.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴长

为2，离心率为22，过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程；(2)求OA→·OB→的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.(1)解由题意知b＝1，e＝ca＝22，得a

2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故所求椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(2)解设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ>0得0≤k2<12.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2

＝8k21＋2k2，x1x2＝8k2－21＋2k2，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝10k2－21＋2k2＝5－71

＋2k2.∵0≤k2<12，∴72<71＋2k2≤7，故所求范围是[－2，32).(3)证明由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上，直线AN：y－y1＝y1＋y2x1－x2(x－x1).令y＝0得：x＝x1－y1x1－x2y1＋y2＝x1y2＋x2y1y1＋y2＝2kx1x2－2

kx1＋x2kx1＋x2－4＝2x1x2－2x1＋x2x1＋x2－4＝16k2－41＋2k2－16k21＋2k28k21＋2k2－4＝1，故直线AN恒过定点(1，0).