【文档说明】北京市西城区2020届高三诊断性考试（5月）数学试题（word版含答案）.doc，共(13)页，779.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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西城区高三诊断性测试数学2020.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．01．设集合3Axx，2,BxxkkZ，则AB=（A）0,2（B

）2,2（C）2,0,2（D）2,1,0,1,202．若复数z满足i1iz，则在复平面内z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限03．下列函数中，值域为R且区间(0,)上单调递增的是（A）3yx

（B）yxx（C）1yx（D）yx04．抛物线24xy的准线方程为（A）1x（B）1x（C）1y（D）1y05．在ABC中，若::4:5:6abc，则其最大内角的余弦值为（A）18（B）14（C）310（D）3506．设0.23a，3log2b，0.2log3c

，则（A）acb（B）abc（C）bca（D）bac07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A）6（B）4（C）3（D）208．若圆22420xyxya与x轴，y轴均有公共

点，则实数a的取值范围是（A）(,1]（B）(,0]（C）[0,)（D）[5,)09．若向量a与b不共线，则“0ab”是“2abab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件10．设函数()(1)

exfxx．若关于x的不等式()1fxax有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（A）(0,e]（B）2(0,e]（C）2e1,2（D）2e11,2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题

共5小题，每小题5分，共25分．11．设平面向量(1,2)a，(,2)kb满足ab，则b____．12．若双曲线2221(0)16xyaa经过点(2,0)，则该双曲线渐近线的方程为____．

13．设函数2()sin22cosfxxx，则函数()fx的最小正周期为____；若对于任意xR，都有()fxm成立，则实数m的最小值为____．14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖

．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．甲获奖乙获奖丙

获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×○○√丙的猜测×√×√丁的猜测○○√×15．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，4PAAB，,,EFH分别是棱,,PBBCPD的中点，对于平面

EFH截四棱锥PABCD所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面的面积等于46；②截面是一个五边形；③截面只与四棱锥PABCD四条侧棱中的三条相交．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出

必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE平面ABCD，DEBF∥，且22DEBF．（Ⅰ）求证：平面BCF∥平面A

DE；（Ⅱ）求钝二面角DAEF的余弦值．17．（本小题满分14分）从①前n项和2()nSnppR，②13nnaa，③611a且122nnnaaa这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．在数列na中，11a，_______，其中*nN．（Ⅰ）求

na的通项公式；（Ⅱ）若1,,nmaaa成等比数列，其中*,mnN，且1mn，求m的最小值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分14分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到

了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，„，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进

行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”

种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽

率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，右焦点为F，点(

,0)Aa，且1AF．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点,MN，直线,MANA分别与直线4x交于点P，Q，求PFQ的大小．20．（本小题满分15分）设函数()ecosxfxax，其中aR．（Ⅰ）已知函数()fx为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若1a

，证明：当0x时，()2fx；（Ⅲ）若()fx在区间[0,π]内有两个不同的零点，求a的取值范围．21．（本小题满分14分）设N为正整数，区间[,1]kkkIaa（其中kaR，1,2,,kN）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100

]x，存在k使得kxI；②对任意1,2,,kN，存在[0,100]x，使得ixI（其中1,2,,1,1,,ikkN）．（Ⅰ）判断(1,2,,)kakN能否等于1k或12k；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N的最小值；（Ⅲ）研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最

大值；若不在在，说明理由．西城区高三诊断性测试数学参考答案2020.5一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．C2．A3．B4．D5.A6.B7.D8.A9.A10.D二、填空题：本大题

共5小题，每小题5分，共25分.11．2512．2yx13．π，2114．乙，丁15．②③注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程

，请参照评分标准给分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//DEBF，DE平面ADE，BF平面ADE，所以//BF平面ADE.„„„„„„3分同理，得//BC平面ADE.又因为BCBFB，BC平面BCF，BF平面BCF，

所以平面//BCF平面ADE.„„„„„„6分（Ⅱ）由DE平面ABCD，底面ABCD为正方形，得,,DADCDE两两垂直，故分别以,,DADCDE为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，„„„„„„7分则(0,0,0)D，(0,0,2)E，(

2,2,1)F，(2,0,0)A，所以(2,0,2)AE，(0,2,1)AF.„„„8分设平面AEF的法向量(,,)xyzn，由0AEn，0AFn，得220,20,xzyz令1y，得(2,1,2)n.„„„„„„

11分平面DAE的法向量(0,1,0)m.设钝二面角DAEF的平面角为，则1|cos||cos,|||||||3mnmnmn，ABCFEDyxz所以1cos3，即钝二面角DAEF的余弦值为13

.„„„„„„14分17．（本小题满分14分）解：选择①：(Ⅰ)当1n时，由111Sa，得0p.„„„„„„2分当2n≥时，由题意，得21(1)nSn，„„„„„„3分所以121nnnaSSn（2n≥）.„„„„„„

5分经检验，11a符合上式，所以21()nannN*.„„„„„„6分(Ⅱ)由1,,nmaaa成等比数列，得21nmaaa，„„„„„„8分即2(21)1(21)nm.„„„„„„9

分化简，得22112212()22mnnn，„„„„„„11分因为m，n是大于1的正整数，且mn，所以当2n时，m有最小值5．„„„„„„14分选择②:(Ⅰ)因为13nnaa，所以13nnaa．„„

„„„„2分所以数列{}na是公差3d的等差数列．„„„„„„4分所以1(1)32()naandnnN*.„„„„„„6分(Ⅱ)由1,,nmaaa成等比数列，得21nmaaa，„„„„„„8分即2(32)

1(32)nm.„„„„„„9分化简，得22223423()33mnnn，„„„„„„11分因为m，n是大于1的正整数，且mn，所以当2n时，m取到最小值6．„„„„„„14分选择③：

(Ⅰ)由122nnnaaa，得121nnnnaaaa.所以数列{}na是等差数列．„„„„„„2分又因为11a，61511aad，所以2d．„„„„„„4分所以1(1)21()naan

dnnN*.„„„„„„6分(Ⅱ)因为1,,nmaaa成等比数列，所以21nmaaa，„„„„„„8分即2(21)1(21)nm.„„„„„„9分化简，得22112212()22mnnn，„„„„„„11分因为

m，n是大于1的正整数，且mn，所以当2n时，m有最小值5．„„„„„„14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子”，„„„„„„1分由

图表，得(0.41.24.06.04.41.20.4)0.051a，解得2.4a.„„„„„„2分由图表，知“C级”种子的频率为(0.41.22.4)0.050.2，„„„„3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为0.2.因为事件M与事件“

从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C级”种子”为对立事件，所以事件M的概率()10.20.8PM.„„„„„„5分（Ⅱ）由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为(4.41.20.4)0.050.3，恰好

是“B级”康乃馨的概率为(4.06.0)0.050.5，恰好是“C级”的概率为(0.41.22.4)0.050.2.„„„„„„7分随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40，且(20)0.20.20.04PX，(25)0.20.50.

50.20.2PX，(30)0.50.50.30.20.20.30.37PX，(35)0.30.50.50.30.3PX，(40)0.30.30.09PX.„„„„„„9分所以X的分布列为：X202530

3540P0.040.20.370.30.09„„„„„„10分故X的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX.„„„„„„11分（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变

大了.„„14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得1,21,caac解得2a，1c，„„„„„3分从而223bac，所以椭圆C的方程为22143xy．„5分（Ⅱ）当直线l

的斜率不存在时，有3(1,)2M，3(1,)2N，(4,3)P，(4,3)Q，(1,0)F，则(3,3)FP，(3,3)FQ，故0FPFQ，即90PFQ．„„„„6分当直线l的斜率存在时，设:(1)lykx

，其中0k．„„„„„„7分联立22(1),3412,ykxxy得2222(43)84120kxkxk．„„„„„„8分由题意，知0恒成立，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则21228

43kxxk，212241243kxxk．„„„„9分直线MA的方程为11(2)2yyxx．„„„„„„10分MPAFNxyOQ令4x，得1122Pyyx，即112(4,)2yPx．„„„„„„11分同理可得

222(4,)2yQx．„„„„„„12分所以112(3,)2yFPx，222(3,)2yFQx．因为121249(2)(2)yyFPFQxx212124(1)(1)9(2)(2)kxxxx

2121212124[()1]92()4kxxxxxxxx22222222241284(1)434394121644343kkkkkkkkk22222224[(412)8(43)]9(412)164(43)kkk

kkkk0，所以90PFQ．综上，90PFQ.„„„„„„14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）函数()fx为偶函数，所以(π)(π)ff，即ππe1e1aa，„„„„„„2分解得

0a.验证知0a符合题意.„„„„„„4分（Ⅱ）()esinxfxx.„„„„„„6分由0x，得e1x，sin[1,1]x，„„„„„„7分则()esin0xfxx，即()fx在(0,)上为增

函数.故()(0)2fxf，即()2fx.„„„„„„9分（Ⅲ）由()ecos0xfxax，得cosexxa.设函数cos()exxhx，[0,π]x，„„„„„„10分则sincos()exxxhx.„„„„„„11分令()0hx，得3π4x.随着x变

化，()hx与()hx的变化情况如下表所示：x3π(0,)43π43π(,π)4()hx0()hx↗极大值↘所以()hx在3π(0,)4上单调递增，在3π(,π)4上单调递减.„„„„„„13分又因为(0)1h，π

(π)eh，3π43π2()e42h，所以当3ππ42[e,e)2a时，方程cosexxa在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间3π[0,)4与3π(,π]4上各有一个解.即所求实数a的取值范围为3ππ42[e,e)2.„„„„„„15分21．

（本小题满分14分）解：(Ⅰ)ka可以等于1k，但ka不能等于12k.„„„„„„3分(Ⅱ)记ba为区间[,]ab的长度，则区间[0,100]的长度为100，kI的长度为1.由①，得100N≥.„„„„„„6分又因为1[0,1]I，2[1,2]I，，100[99,100]I显

然满足条件①，②.所以N的最小值为100.„„„„„„8分(Ⅲ)N的最大值存在，且为200.„„„„„„9分解答如下：（1）首先，证明200N≤.由②,得12,,,NIII互不相同，且对于任意k，[0,100]

kI.不妨设12naaa.如果20a≤，那么对于条件②，当1k时，不存在[0,100]x，使得ixI(2,3,,)iN.这与题意不符，故20a.„„„„„„10分如果111kkaa≤，那么11kkkIII，这与条件②中“存在[0,100]x，使得ixI(

1,2,,1,1,)ikkN”矛盾，故111kkaa.所以4211aa，6412aa，，200198199aa，则2001100a.故12200[0,100]III.若存在201I，这与条件②中“存在[0,100]x，使得ix

I(1,2,,200)i”矛盾，所以200N≤.„„„„„„12分（2）给出200N存在的例子.令1100(1)2199kak，其中1,2,,200k，即12200,,,aaa为等差数列，公差10

0199d.由1d，知1kkII，则易得122001201[,]22III，所以12200,,,III满足条件①.又公差10011992d，所以100(1)199kkI，100(1)199ikI(1,

2,,1,1,)ikkN.（注：100(1)199k为区间kI的中点对应的数）所以12200,,,III满足条件②.综合（1）（2）可知N的最大值存在，且为200.„„„„„„14分欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org