【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册6.4.1《平面几何中的向量方法》学案 (含详解).doc，共(6)页，159.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】6.4.1平面几何中的向量方法（人教A版）1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象

，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；难点：如何将几何问题化归为向

量问题.一、预习导入阅读课本38-39页，填写。1.向量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由____________________________表示出来．(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”①建立平面几

何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面____________________________；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误

的打“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有AB→·BC→＝0.()(2)若AB→∥CD→，则直线AB与CD平行．()(3)向量AB→，CD→的夹角就是直线AB，CD的夹角．()2、在四边形ABCD中，AB→·BC→＝0，BC→＝AD→，则四边形ABCD是()A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方

形3．已知|a|＝23，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．10B．10C．2D．224．平面上有三个点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)(x≠0)，若AB→⊥B

C→，则满足条件的x，y的关系式是____________．题型向量在几何中的应用例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：222222ACBDABBCCDDA．例2如图所示，在正方形ABCD中，E，

F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.跟踪训练1．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12.求证：点E，O，F在同一直线上．2、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD

＝DA＝12AB，求证：AC⊥BC.1．已知△ABC，＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形2．在四边形ABCD中，那么四边形ABCD为()A．平行四边形B．

菱形C．长方形D．正方形3．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为两边的三角形的面积C．以a，b为两

边的三角形的面积D．以b，c为邻边的平行四边形的面积4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．

求证：AF⊥DE(利用向量证明)．答案小试牛刀1.(1)×(2)×2．C.3．C.4.y2＝8x(x≠0).自主探究例1【答案】见解析．【解析】证明：不妨设ABa，ADb，则ACa+b，DBa-b，2||AB|a|2，2||AD|b|2．得2||ACACAC

(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理2||DB|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得2||AC2||DB2(|a|2+|b|2)=2(2||AB2||AD)．所以，平行四边形两条对角线的平方和

等于四条边的平方和．例2【答案】见解析．【解析】证明法一：设AD―→＝a，AB―→＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又DE―→＝DA―→＋AE―→＝－a＋12b，AF―→＝AB―→＋BF―→＝b＋12a，所以AF―→·DE―→＝b＋12a·

－a＋12b＝－12a2－34a·b＋12b2＝－12|a|2＋12|b|2＝0.故AF―→⊥DE―→，即AF⊥DE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(

1,0)，F(2,1)，AF―→＝(2,1)，DE―→＝(1，－2)．因为AF―→·DE―→＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF―→⊥DE―→，即AF⊥DE.跟踪训练1．【答案】见解析．【解析】证明：设AB

―→＝m，AD―→＝n，由CEED＝AFFB＝12，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴FO―→＝FA―→＋AO―→＝13BA―→＋12AC―→＝－13m＋12(m＋n)＝16m＋12n，OE―→＝OC―→＋CE―→＝12AC―→＋13CD―→＝12(m＋n)－13m＝16m＋12n.∴FO―

→＝OE―→.又O为FO―→和OE―→的公共点，故点E，O，F在同一直线上．2、【答案】见解析．【解析】证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝12AB，故可设AD→＝e1，DC→＝e2，|e1|＝|e2|，则AB→＝2e2.∴A

C→＝AD→＋DC→＝e1＋e2，BC→＝AC→－AB→＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.而AC→·BC→＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e21－e22＝|e1|2－|e2|2＝0，∴AC→⊥BC→，即AC⊥BC.证法二：如图，建立直角坐标系，设CD＝1，则A(0,

0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴BC→＝(－1,1)，AC→＝(1,1)．∴BC→·AC→＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.∴AC⊥BC.当堂检测1-3.ABA4.212.5.【答案】见解析．【解析】