【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册6.3.5《平面向量数量积的坐标表示》学案 (含详解).doc，共(10)页，149.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】6.3.5平面向量数量积的坐标表示（人教A版）1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基

础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：

根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.一、预习导入阅读课本34-35页，填写。1、两向量的数量

积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？a·b=________________.即：______________________________________________.（2）a⊥b<

=>________________<=>________________.2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式（1）若a=(x,y)，则|a|=________________.（2）若A(x1,x2),B(x2,y2)，则两点

A、B间的距离为________________________________.（3）设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),a与b的夹角，则______________________.1．判断下列命

题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ＜0，则两向

量的夹角θ一定是钝角．2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－73．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是()A．{2,3}B．{－1,6}C．{2}D．{6}4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|

a＋b|＝________.题型一平面向量数量积的坐标运算例1(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB―→＝(1，－2)，AD―→＝(2,1)，则AD―

→·AC―→＝()A．5B．4C．3D．2跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0,0)，B(1,1)，则AB―→·AC―→＝________.2．在平行四边形ABCD中，AC―→＝(1,2)，BD―→＝(－3,

2)，则AD―→·AC―→＝________.题型二向量的模的问题例2(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于()A.5B.6C.17D.26(2)已知|a|＝213，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.

跟踪训练二1．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为________．2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.题型三向量的

夹角和垂直问题例3(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(c－b)·a＝152，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求c的坐标．跟踪训练三1

、已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.(1)求b与c；(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．题型四平面向量的数量积问题例4已知点A，B，C满足|AB―→|＝3，|BC―→|＝4，

|CA―→|＝5，求AB―→·BC―→＋BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→的值．跟踪训练四1、如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为________．1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b

＝1，则x＝()A．－1B．－12C.12D．12．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为()A.3B．3C．－3D．－33．设向量a＝(1，0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b|B．a·b＝22C．a－b与b垂直D．a∥b4．设

平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝4，BC＝2，D是AC边上一点，且DC→＝－34DA→，则BD→·AC→＝________.6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(

1，2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.答案小试牛刀1.(1)×(2)×(3)×2．D.3．C.4.2.自主探究例1【答案】(1)C．(2)A．【解析】(1)∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·

a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC―→＝AB―→＋AD―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD―→·AC―→＝(2,1)·(3，－1)＝5.跟踪训练一【答案】1、12、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC中，A(0,1

)，C(1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB―→＝(1,0)，AC―→＝(1，－1)，从而AB―→·AC―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC，BD相交于点O，则AD―→＝AO―→＋OD―→＝12AC―→＋12BD―→＝12

，1＋－32，1＝(－1,2)．又AC―→＝(1,2)，∴AD―→·AC―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.例2【答案】（1）A（2）a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，|a＋b|＝65.【解析】(1)∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，

解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝5.(2)设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①由a⊥b，解得2x－3y＝0.②由①②，解得x＝6，y＝4或x＝－6y＝－4.∴a＝

(6,4)或a＝(－6，－4)．∴a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)，∴|a＋b|＝65.跟踪训练二【答案】1、2＋3.2、82.【解析】1、2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ)，|2a－b|＝2cosθ－3

2＋2sinθ2＝4cos2θ－43cosθ＋3＋4sin2θ＝7－43cosθ，当且仅当cosθ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋3.2、∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6

,12)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋－82＝82.例3【答案】(1)C.(2)c＝521，－17.【解析】(1)∵a·b＝－2－8＝－10，∴得(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝152，∴c·

a＝－52.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝a·c|a|·|c|＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c的坐标为(x，y)，则a＋c＝(1＋x,2＋y)．∵(a＋c)∥b，∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即3x－

2y＝1.①又a＋b＝(3,5)，且(a＋b)⊥c，∴3x＋5y＝0.②联立①②，得方程组3x－2y＝1，3x＋5y＝0，解得x＝521，y＝－17.故c＝521，－17.跟踪训练三【答案】(1)

b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)3π4.【解析】(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(

－3，－4)，n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m，n的夹角为θ，则cosθ＝m·n|m||n|＝－3×7＋－4×1－32＋－42·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[

0，π]，∴θ＝3π4，即m，n的夹角为3π4.例4【答案】-25.【解析】[法一定义法]如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝π2，cosA＝35，cosC＝45，∴AB―→·BC―→＋BC―→·CA―→

＋CA―→·AB―→＝BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－25.[法二坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．∴AB―→＝(

－3,0)，BC―→＝(0,4)，CA―→＝(3，－4)．∴AB―→·BC―→＝－3×0＋0×4＝0，BC―→·CA―→＝0×3＋4×(－4)＝－16，CA―→·AB―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB―→·

BC―→＋BC―→·CA―→＋CA―→·AB―→＝0－16－9＝－25.跟踪训练四1、【答案】45.【解析】法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD―→＝

1，12，OE―→＝12，1.故cos∠DOE＝OD―→·OE―→|OD―→|·|OE―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD―→＝OA―→＋AD―→＝OA―→＋12OC―→，OE―→＝OC―→＋CE―→＝OC

―→＋12OA―→，∴|OD―→|＝52，|OE―→|＝52，OD―→·OE―→＝12OA―→2＋12OC―→2＝1，∴cos∠DOE＝OD―→·OE―→|OD―→||OE―→|＝45.当堂检测1-3.DDC4.5.5.－4.6.【答案】(1)c＝(2，4)或c＝(－2，－4)

．(2)π.【解析】(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝25，可得1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4，或x＝－2，

y＝－4.故c＝(2，4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×54＝0，整理得a·b＝－52，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1.又θ∈

[0，π]，∴θ＝π.