【文档说明】人教版高中数学必修第二册同步讲解第7章《7.2.2复数的乘、除运算》(含解析).doc，共(8)页，165.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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17.2.2复数的乘、除运算学习目标核心素养1.掌握复数的乘法和除法运算．(重点、难点)2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3．了解共轭复数的概念．(难点)1.通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养．2．借助复数的乘除运算

，提升数学运算的素养.1．复数的乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？[提

示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z

3思考2：|z|2＝z2，正确吗？[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.2．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)1．复数(3＋2i)i等于()A．－2－3

iB．－2＋3i2C．2－3iD．2＋3iB[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]2．已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝()A．1－2iB．2－iC．2＋iD．1＋2iD[3＋i1－i＝3＋i1＋i1－i1＋i＝2＋4i2＝1

＋2i.]复数代数形式的乘法运算【例1】(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)计算：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4

i)(3－4i)；③(1＋i)2.(1)B[z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以a＋1<0，1－a>0，解得a<－1，故选B.](2)[解]①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)

＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25.③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常

用公式3(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2B．i2(1－i)C．(

1＋i)2D．i(1＋i)(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是．(1)C(2)5[(1)A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－

i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.]复数代数形式的除法运

算【例2】(1)3＋i1＋i＝()A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i(2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z为()A．3＋5iB．3－5iC．－3＋5iD．－3－5i(1)D(2)A[(1)3＋

i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i.(2)∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝11＋7i2－i＝11＋7i2＋i2－i2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.]41．两个复数代数形式的除法运算步

骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)1i＝－i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i.2.(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，

则复数z1z2对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)计算：1＋i1－i8.(1)B[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以z1z2＝－2－ii＝－1＋2i，对应的点在第二象限．](2)解：法一：1＋i1－i8＝

1＋i1－i24＝2i－2i4＝(－1)4＝1.法二：因为1＋i1－i＝1＋i21－i1＋i＝2i2＝i，所以1＋i1－i8＝i8＝1.复数运算的综合问题[探究问题]51．若z

＝z，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z＝z⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．2．若z≠0且z＋z＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？[提示]z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．3．三个

实数|z|，|z|，z·z具有怎样的关系？[提示]设z＝a＋bi，则z＝a－bi，所以|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋－b2＝a2＋b2，z·z＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝|z|2＝z·z.

【例3】(1)已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z等于()A.14B.12C．1D．2(2)已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.[思路探究]可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．(1)A

[法一：∵z＝3＋i1－3i2＝－3i2＋i1－3i2＝i1－3i1－3i2＝i1－3i＝i1＋3i4＝－34＋i4，∴z＝－34－i4，∴z·z＝14.法二：∵z＝3＋i1－3i2，∴|z|＝3＋i1－3i2＝|3＋i||1－3i2|＝

24＝12，6∴z·z＝14.](2)[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i.又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a

，又|z|＝5，所以a2＋b2＝5.解得a＝±1，b＝±2.所以z＝1＋2i或－1－2i，所以z＝1－2i或－1＋2i，即z＝±(1－2i)．1．在题设(1)条件不变的情况下，求zz.[解]由例题(1)的解析可知z＝－34

＋i4，z＝－34－i4，z·z＝14，∴zz＝z2z·z＝－34＋i4214＝12－32i.2．把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求z.[解]设z＝a＋bi，则z＝a－bi，由例题(2)的解可知a＝－2b，

由|z|＝a2＋b2＝5b2＝5，得b＝1，a＝－2；或b＝－1，a＝2.所以z＝－2－i，或z＝2＋i.1．由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数．2．注意共

轭复数的简单性质的运用．1．复数代数形式的乘法运算类似于多项式的乘法，同时注意i2＝－1的应用.2．复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z·z＝|z|2解题．73．记住几个常用结论：(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．

(2)(1±i)2＝±2i.(3)若z＝z⇔z是实数；若z＋z＝0，则z是纯虚数；z·z＝|z|2＝|z|2.1．判断正误(1)实数不存在共轭复数．()(2)两个共轭复数的差为纯虚数．()(3)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0

.()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知复数z＝2－i，则z·z的值为()A．5B.5C．3D.3A[z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.]3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C.2D.3C[因为z(1＋i)＝2i，

所以z＝2i1＋i＝2i1－i2＝1＋i，故|z|＝12＋12＝2.]4．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝a＋2i1－i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．[解]z1

＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i,z2＝a＋2i1－i＝a＋2i1＋i1－i1＋i＝a＋ai＋2i－22＝a－22＋a＋22i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有

a－22＝－b－1，a＋22＝－1－b，解得a＝－2，b＝1.8