【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册教案：6.4.3《余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理》 .doc，共(7)页，76.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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格致课堂【新教材】6.4.3余弦定理、正弦定理教学设计（人教A版）第2课时正弦定理教材开门见山地提出“三角形的边与角之间有什么数量关系呢？”运用由特殊到一般的归纳思想方法，从直角三角形出发，得到CcBbAasinsinsin，并以等边三角形加以验证，进而提出“对其他三角形是否成立呢？”这样设置

符合学生的认知。教材中对正弦定理的证明采用了构造向量投影相等的思路。同时设置了两个例题说明正弦定理的应用.课程目标1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的问题；2、通过对特殊三角形边角间数

量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律；3、通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识；通过对正弦函数的学习体会数学的对称美，和谐美.数学学科素养1.数学抽象：正弦定理及其变

形、三角形面积公式；2.逻辑推理：用正弦定理及其变形解决相关问题；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，使学生学会运用由特殊到一般的思想方法发现数学规律.重点：正弦定理的内容，对

正弦定理的证明及基本运用；难点：正弦定理的探索及证明.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。格致课堂教学工具：多媒体。一、情景导入提问：角与边之间是否存在定量关系？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本4

5-48页，思考并完成以下问题1、直角三角形中的边角关系是怎样的？2、什么是正弦定理？3、正弦定理可进行怎样的变形？4、已知三角形的两边及内角怎样求其面积？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.正弦

定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．2．正弦定理的变形(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝a2R，sinB＝b

2R，sinC＝c2R；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.3．正弦定理应用解三角形(1)已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；(2)已

知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．4、三角形的面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示a边上的高)．格致课堂(2)S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.四、典例分析、举一反三题型一已

知两角及一边解三角形例1在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c，B.【答案】B＝45°.b＝102，c＝52＋56.【解析】因为A＝30°，C＝105°，所以B＝45°.因为asinA＝bsinB＝csinC，所以b＝asinBsi

nA＝10sin45°sin30°＝102，c＝asinCsinA＝10sin105°sin30°＝52＋56.解题技巧（已知两角及一边解三角形问题的基本方法）(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最

后由正弦定理求第三边；(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练一1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝105°，C＝45°，c＝2，则b＝()A．1B.2C.3D．22．在△ABC中，若

tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.【答案】1、A.2、102．【解析】1、在△ABC中，∵A＝105°，C＝45°，∴B＝180°－A－C＝180°－105°－45°＝30°.由正弦定理bsinB＝csinC，得bsin30°＝2sin45°，解得b＝1.

故选A.2、因为tanA＝13，所以sinA＝1010.由正弦定理知AB＝BCsinA·sinC＝10sin150°＝102.题型二已知两边及一边的对角解三角形例2在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，求b，B，C.格致课堂【答案】b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1

，B＝15°，C＝120°.【解析】∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝6×sin45°2＝32，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝csinBsinC＝6sin75°sin60°＝3＋1.当C＝120°时，B＝15°，b＝csinBsi

nC＝6sin15°sin120°＝3－1.∴b＝3＋1，B＝75°，C＝60°或b＝3－1，B＝15°，C＝120°.解题技巧：(已知两边及一边的对角解三角形的方法)(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大

边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．跟踪训练二1．△ABC中，B＝45°，b＝2，a＝1，则角A＝________.2．在△ABC中，a＝1

，b＝3，A＝30°，求边c的长．【答案】1、30°.2、1或2.【解析】1、由正弦定理得，1sinA＝2sin45°，解得sinA＝12，所以A＝30°或A＝150°.又因b>a，所以B>A，则A＝30°.

2、由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝32.∵a<b，∴B>A＝30°，∴B为60°或120°.①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.此时，c＝a2＋b2＝1＋3＝2.②当B＝120°时，C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.

综上知c＝1或2.题型三正弦定理在边角互化中的应用例3在△ABC中，已知b＋c＝1，C＝45°，B＝30°，则b＝________.格致课堂【答案】2－1.【解析】由正弦定理知bsinB＝csinC，所以，b＋csinB＋sinC＝bsinB，b＝b＋cs

inB＋sinC·sinB＝sin30°sin45°＋sin30°＝2－1.例4在△ABC中，cosAa＝cosBb＝cosCc，试判断△ABC的形状；【答案】等边三角形.【解析】(化边为角)根据正弦定理，得到cosA

sinA＝cosBsinB＝cosCsinC，整理为1tanA＝1tanB＝1tanC.∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．解题技巧（正弦定理应用技巧）利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处

理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段．正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用．再判断三角形形状时(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分

解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的

有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．跟踪训练三1、在△ABC中，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B等于()A．1B.12C．－1D．－122．在△ABC中，

acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC的形状．【答案】1、A.2、等腰三角形.【解析】1、由正弦定理，可得sinAcosA＝sin2B，即sinAcosA＝1－cos2B，所以sinAcosA＋cos2B＝1

.2、法一：(化角为边)∵acosπ2－A＝bcosπ2－B，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·a2R＝b·b2R.∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．格致课堂法二：(化边为角)∵acosπ2－A＝bcosπ2－B

，∴asinA＝bsinB.由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B(A＋B＝π不合题意舍去)，故△ABC为等腰三角形.题型四与三角形面积有关问题例5在△ABC中，已知B＝30°，AB＝23，AC＝2，求△ABC的面积．【答案】

23或3.【解析】由正弦定理，得sinC＝AB·sinBAC＝32，又AB·sinB<AC<AB，故该三角形有两解：C＝60°或120°.∴当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝12AB·AC＝23；当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12AB·AC·sin

A＝3.∴△ABC的面积为23或3.解题技巧（三角形面积公式应用技巧）(1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值．(2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是S△

ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式．跟踪训练四1．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则A的大小为()A．60°或120°B．6

0°C．120°D．30°或150°2．在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，A＝30°，c＝3，则△ABC的面积为________．【答案】1、A.2、34.【解析】1、由S△ABC＝12b

csinA得32＝12×2×3×sinA，格致课堂所以sinA＝32，故A＝60°或120°，故选A.2、在钝角△ABC中，由a＝1，A＝30°，c＝3，利用正弦定理可知C＝120°，得到B＝30°，利用面

积公式得S△ABC＝12×1×3×12＝34.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本48页练习，52页习题6.4的7、10题.通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好，学生能够根据以前学过的相关知识，在老师的指引下证明出正弦定理，能掌握正弦

定理的计算方法，能够理解够理解公式中不同量的意义，但是在运用过程中我们发现，学生往往容易忽略解的情况问题，很多学生的出来两个解，但是没用通过以前学的知识“大边对大角”来舍去不符合题意的情况。6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理1.正

弦定理例1例2例3变形：2.三角形面积公式例4例5