【文档说明】人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.4.3第3课时正弦定理(2)》(含解析).doc，共(9)页，175.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第3课时正弦定理(2)学习目标核心素养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)2．能根据条件，判断三角形解的个数．3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)1.通过三角形个数判断的学习，体现了数学运算和

逻辑推理的素养．2．借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.1．正弦定理及其变形(1)定理内容：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为外接圆半径)．(2)正弦定理的常见变形：①sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；②asinA＝bsinB＝csinC＝a

＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R；③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；④sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.思考：在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算

怎么用上述条件)?[提示]可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB－cosAsinB＝0.2．三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：2(1)S△ABC＝

12bcsinA＝12acsinB＝12absinC，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．(2)S△ABC＝12ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△

ABC的周长．1．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形B[由正弦定理可得sinA＝sinC⇒a2R＝c2R，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b

＝2，则这个三角形有()A．一解B．两解C．无解D．无法确定A[由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为()A．3B．33C．6D．63B[由S＝12absinC＝12×4×3×3

2得S＝33，故选B.]三角形解的个数的判断【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝6，A＝30°.[解](1)a＝10，b＝20，a<b，A＝

80°<90°，3讨论如下：∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝103，∴a<bsinA，∴本题无解．(2)a＝23，b＝6，a<b，A＝30°<90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，∴bsinA<a<b，∴三角形有两解．由正

弦定理得sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝asinC1sinA＝23sin90°sin30°＝

43；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝asinC2sinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝43；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝23.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一

边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.1．△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则

x的取值范围是．(2,22)[由asinB<b<a，得22x<2<x，∴2<x<22.]三角形的面积【例2】在△ABC中，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.[思路探究]根据C＝

π4及cosB2＝255.利用sinA＝sin(B＋C)求出sinA的4值．然后利用正弦定理asinA＝csinC求出c值．利用S＝12acsinB求解．[解]∵cosB2＝255，∴cosB＝2cos2B2－1＝35.∴B∈0，π2，∴sinB＝45

.∵C＝π4，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210.∵asinA＝csinC，∴c＝asinCsinA＝27210×22＝107.∴S＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角

形的面积公式为S＝12ab·sinC＝12ac·sinB＝12bc·sinA.2．(1)在△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝.(2)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于．(1)23(2

)32或34[(1)∵cosC＝13，∴C∈(0°，90°)，∴sinC＝1－132＝223，又S△ABC＝12absinC＝12·32·b·223＝43，5∴b＝23.(2)由正弦定理得sinC＝AB·sinBAC＝3×121＝32，又∵C∈(0°，18

0°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32或34.]正弦定理的综合应用[探究问题]1．你能用坐标法证明S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12a

csinB吗？[提示](以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcosC，bsinC)．过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsinC，所以△ABC的面积S＝12·BC·AE

＝12·a·bsinC＝12absinC.同理可得S＝12bcsinA，S＝12acsinB.故S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？[提示](1)在△ABC中

，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；A＋B2＝π2－C2⇒sinA＋B2＝cosC2.(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>π2，A＋C>π2，B＋C>π2；A＋B>π2

⇔A>π2－B⇔sinA>cosB，cosA<sinB.【例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sinA，6sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C.(1)求C的大小；(2)若c＝23，A＝π6，求△ABC的面

积.[思路探究](1)由m·n＝－sin2C，利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解．[解](1)由题意，m·n＝sinAcosB＋sinBcosA＝－sin2C，即sin(A＋B)＝－sin2C，sinC＝－2sinCcosC.由0<C

<π，得sinC>0.所以cosC＝－12.C＝2π3.(2)由C＝2π3，A＝π6，得B＝π－A－C＝π6.由正弦定理，bsinB＝csinC，即bsinπ6＝23sin2π3，解得b＝2.所以△ABC的面

积S＝12bcsinA＝12×2×23×sinπ6＝3.(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝－sin2C”换为“若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC

的形状．[解]∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝12或cosB＝32(舍去)．∵0<B<π，

∴B＝π3.∵a＋c＝2b.7由正弦定理，得sinA＋sinC＝2sinB＝2sinπ3＝3.∴sinA＋sin2π3－A＝3，∴sinA＋sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3.化简得32sinA＋32cosA＝3，∴sinA＋π6＝1.∵0<A<2π3，∴π

6<A＋π6<5π6，∴A＋π6＝π2.∴A＝π3，C＝π3.∴△ABC是等边三角形．借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．1．已知两

边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根

据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值．2．结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用．1．判断正误8(1)在△ABC中，A＝30°，a＝2，b＝23，则B＝60°.()(2)在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC，

但无法确定具体值．()(3)由两边和一角就可求三角形的面积．()[答案](1)×(2)×(3)×2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝3，B＝60°，则△ABC的面积为()A.12B.32C．1D.3B[∵a＝1，b＝3，B＝60°，∴由正弦

定理可得：sinA＝asinBb＝1×323＝12，∵a＜b，A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，∴S△ABC＝12ab＝12×1×3＝32.故选B.]3．在△ABC中，A＝2π3，a＝3c，则bc＝.

1[由asinA＝csinC得sinC＝csinAa＝13×32＝12，又0<C<π3，所以C＝π6，B＝π－(A＋C)＝π6.所以bc＝sinBsinC＝sinπ6sinπ6＝1.]4．在△ABC中，若b＝5，B＝

π4，tanA＝2，则sinA＝，a＝.255210[由tanA＝2，得sinA＝2cosA，由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝255，∵b＝5，B＝π4，由正弦定理asinA＝bsinB，9得a＝bsinAsinB＝2522＝210.]5．在△ABC中，

若a∶b∶c＝1∶3∶5，求2sinA－sinBsinC的值．[解]由条件得ac＝sinAsinC＝15，∴sinA＝15sinC.同理可得sinB＝35sinC.∴2sinA－sinBsinC＝2×15sinC－3

5sinCsinC＝－15.