【文档说明】人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.4.3第2课时正弦定理(1)》(含解析).doc，共(8)页，210.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第2课时正弦定理(1)学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．2．借助利用正弦定理求解三

角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养.正弦定理思考：如图，在Rt△ABC中，asinA，bsinB，csinC各自等于什么？[提示]asinA＝bsinB＝csinC＝c.1．在△ABC中，下

列式子与sinAa的值相等的是()A.bcB.sinBsinAC.sinCcD.csinC2C[由正弦定理得，asinA＝csinC，所以sinAa＝sinCc.]2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，

则b等于()A．52B．103C.1033D．56B[由正弦定理得，b＝asinBsinA＝10×3212＝103.]3．在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________．2[AC边上的高为ABsinA＝csinA＝2sin4

5°＝2.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝3，A＝π3，则C＝________.π2[由正弦定理得：3sinπ3＝3sinB，所以sinB＝12.又a>b，所以A>B，所以B＝π6，所以C＝π－π3＋π6＝π2.]定理证明【例1】在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证

明]如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，CDa＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴asinA＝bsinB.3同理，bsinB＝csinC.故asinA＝bsinB＝csinC.1．本例

用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．2．要证asinA＝bsinB，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提

高我们的分析解题能力．1．如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明asinA＝2R.[证明]连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝BCA′B＝a2

R，∴sinA＝a2R，即asinA＝2R.用正弦定理解三角形4【例2】已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.[思路探究]①角A，B，C满足什么关系；②105°可拆分成哪两个特殊角的和；③由正弦定理如何求得b，c的

值．[解]∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理得：c＝asinCsinA＝102.b＝asinBsinA＝10·sin105°sin30°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)．∴B＝105°，b＝5(6＋2)，c＝102.1．正弦定理实际上是

三个等式：asinA＝bsinB，bsinB＝csinC，asinA＝csinC，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．2．适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边．(2

)已知三角形的任意两边与其中一边的对角．2．已知B＝30°，b＝2，c＝2，求A，C，a.[解]由正弦定理得：sinC＝c·sinBb＝2sin30°2＝22，∵c>b,0°<C<180°，∴C＝45°或135°.当C＝45°时，A＝10

5°，a＝bsinAsinB＝2sin105°sin30°＝3＋1，当C＝135°时，A＝15°，a＝bsinAsinB＝2sin15°sin30°＝3－1.5三角形形状的判断[探究问题]1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．[提示]如图，连

接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2RsinA，即asinA＝2R，同理bsinB＝2R，csinC＝2R，所以asinA＝bsinB＝csinC＝2R.2．由asinA＝2

R，bsinB＝2R，csinC＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？[提示]由asinA＝2R，bsinB＝2R，csinC＝2R可以得到的变形：sinA＝a2R，a＝2RsinA；sinB＝b2R，b＝2RsinB；sinC＝c2R，c＝2R

sinC．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．【例3】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.[解]法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得asinA＝bsinB＝csi

nC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝22.∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△AB

C是等腰直角三角形．法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，6得asinA＝bsinB＝csinC，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sin

BcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形．(变条件)将本例题条件“sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acosC”其它

条件不变，试判断△ABC的形状．[解]∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sinAcosC.∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴c

osA＝0，A＝π2，即△ABC是直角三角形．1．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．2．注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如ab＝sinAsinB等.1．正弦定理的表示形式：asinA＝bsinB＝cs

inC＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，7c＝ksinC(k＞0)．2．正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．3．利用正弦定理可以实现三角

形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．1．判断正误(1)正弦定理不适用直角三角形．()(2)在△ABC中，bsinA＝asinB总成立．

()(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．()[答案](1)×(2)√(3)√2．在△ABC中，若sinA>sinB，则有()A．a<bB．a≥bC．a>bD．a，b的大小无法判定C[因为asinA＝bsinB，所以ab＝sinAsinB.因为在

△ABC中，sinA>sinB>0，所以ab＝sinAsinB>1，所以a>b.]3．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．不等边三角形B[由正弦定理知c＝2RsinC，a＝2RsinA，

故sinC＝2sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB＝cosAsinB，即sin(A－B)＝0，所以A＝B.故△ABC为等腰三角形．]84．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分

别为a，b，c，已知a＝2，b＝3，B＝60°，那么A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°C[由asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝2×323＝22，∴A＝45°或135°.又∵a<b，∴A<B，∴A

＝45°.]5．已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形．[解]由正弦定理及已知条件有3sinA＝2sin45°，得sinA＝32.∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－

45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝2sin75°sin45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝2sin15°sin45°＝6－22.综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝6＋

22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.