【文档说明】人教版高中数学必修第二册同步讲解第6章《6.4.3第1课时余弦定理》(含解析).doc，共(7)页，167.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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16.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理学习目标核心素养1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2．掌握余弦定理的综合应用．(难点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理的应用，培养数学运算素养.1．

余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C变形cosA＝b2＋c2－a22bc

；cosB＝a2＋c2－b22ac；cosC＝a2＋b2－c22ab思考：在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？[提示]不一定．因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形．2．解三角形(1)一般

地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．2(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A.39B．83C．102D．73D[由余弦定理

得c＝92＋232－2×9×23×cos150°＝147＝73.]2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°C[由cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝12

0°.]3．在△ABC中，a＝1，b＝3，c＝2，则B＝________.60°[cosB＝c2＋a2－b22ac＝4＋1－34＝12，B＝60°.]4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cosC＝________.12[∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c

2＝a2＋b2－2abcosC，∴2cosC＝1.∴cosC＝12.]已知两边与一角解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝603cm，A＝π6，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC

＝910，则BC＝________.(1)60(2)4或5[(1)由余弦定理得：a＝602＋6032－2×60×603×cosπ63＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.]

已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．1．在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形.[解]根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×co

s45°＝8，∴b＝22，又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知三边解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝26

，b＝6＋23，c＝43，求A，B，C.[解]根据余弦定理，cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋232＋432－2622×6＋23×43＝32.∵A∈(0，π)，∴A＝π6，cosC＝a2＋b2－c22a

b＝262＋6＋232－4322×26×6＋23＝22，4∵C∈(0，π)，∴C＝π4.∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝712π，∴A＝π6，B＝712π，C＝π4.1．已知三边求角的基本思路是：

利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．2．已

知△ABC中，a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC中各角的度数．[解]已知a∶b∶c＝2∶6∶(3＋1)，令a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6k2＋[3＋1k]2－2k22×6k×3＋1k＝22，∵0°

<A<180°，∴A＝45°.cosB＝a2＋c2－b22ac＝2k2＋[3＋1k]2－6k22×2k×3＋1k＝12，∵0°<B<180°，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.余弦定理的综合应用

[探究问题]在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2＝a2＋b25成立吗？为什么？[提示]因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝a2＋b2－c22ab＝0，即cosC＝0，所以C＝π2，反之若C

＝π2，则cosC＝0，即a2＋b2－c22ab＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.[解]∵(a－c·cosB)·

sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由余弦定理可得：a－c·a2＋c2－b22ac·b＝b－c·b2＋c2－a22bc·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0

，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．1．(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA)·sinA”换为“acosA＋bcosB＝ccosC”其它条件不变，试判断三角形的形状．[解]由余弦定理知cosA＝

b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋

c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．2．(变条件)将例题中的条件“(a－ccosB)·sinB＝(b－ccosA

)·sinA”换为“lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B为锐角”判断△ABC的形状．[解]由lgsinB＝－lg2＝lg22，可得sinB＝22，又B为锐角，∴B＝45°.6由lga－lgc＝－lg2，得ac＝22，∴c＝2a.又∵b2＝a2＋c2－2acc

osB，∴b2＝a2＋2a2－22a2×22＝a2，∴a＝b，即A＝B.又B＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状

．1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形．(2)已知两边及一角解三角形．3．已知两边及其中一边所对角用余弦

定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．1．判断正误(1)余弦定理适用于任意三角形．()(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．()(3)在△ABC中，已知两边和它们的夹角，△ABC不唯一．()[答案](

1)√(2)√(3)×2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A.π3B.π6C.π4D.π127B[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝72＋432－1322×7×43＝32，所以C＝π6，故选B

.]3．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．等腰三角形[∵a＝2bcosC＝2b·a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－c2a，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，∴△ABC为等腰三角形．]4．在

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝3a，则cosA＝________.13[由B＝C,2b＝3a，可得b＝c＝32a，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32a×32a＝13.]5．在△ABC中，已知a

＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．[解]5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，∴x1＝35，x2＝－2(舍去)，∴cosC＝35.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16，∴c＝

4，即第三边长为4.