【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册教案：6.3.1《平面向量基本定理》 .doc，共(6)页，142.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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格致课堂【新教材】6.3.1平面向量基本定理教学设计（人教A版）本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得

到初步的体现，具有承前启后的作用。课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使

其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式

教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入已知平面内一向量是该平面内两个不共线向量b，的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？格致课堂根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：=要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进

一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究平面向量基本定

理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=.注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条

件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量.四、典例分析、举一反三题型一正确理解向量基底的概念例1例1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组

：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④【答案】B【解析】①AD→与AB→不共线；②DA→＝－BC→，则DA→与BC→共线；③CA→与DC→不共线；④OD

→＝－OB→，则OD→与OB→共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且

不共线．此外，一个平面的基底一旦确格致课堂定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e

2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e2＋e1【答案】B.【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．题型二用基底表示向量例2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC―→＝a，BD―→＝b，试用基底a，b

表示AB―→，BC―→.【答案】AB―→＝12a－12b，BC―→＝12a＋12b.【解析】由题意知，AO―→＝OC―→＝12AC―→＝12a，BO―→＝OD―→＝12BD―→＝12b.所以AB―→＝AO―→＋OB―→

＝AO―→－BO―→＝12a－12b，BC―→＝BO―→＋OC―→＝12a＋12b.解题技巧：(用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥

CD，M，N分别是DA，BC的中格致课堂点，且DCAB＝k，设AD―→＝e1，AB―→＝e2，以e1，e2为基底表示向量DC―→，BC―→，MN―→.2、【答案】DC―→＝ke2.BC―→＝e1＋(k－1)e

2.MN―→＝k＋12e2.【解析】法一：∵AB―→＝e2，DCAB＝k，∴DC―→＝kAB―→＝ke2.∵AB―→＋BC―→＋CD―→＋DA―→＝0，∴BC―→＝－AB―→－CD―→－DA―→＝－AB―→＋DC―→＋AD―→＝e1＋(k－1)e2.又MN―→＋NB―→＋BA―→＋AM―→＝

0，且NB―→＝－12BC―→，AM―→＝12AD―→，∴MN―→＝－AM―→－BA―→－NB―→＝－12AD―→＋AB―→＋12BC―→＝k＋12e2.法二：同法一得DC―→＝ke2，BC―→＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC

，由MN―→＝12(MB―→＋MC―→)得MN―→＝12(MA―→＋AB―→＋MD―→＋DC―→)＝12(AB―→＋DC―→)＝k＋12e2.题型三平面向量基本定理的应用例3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值

．【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.【解析】设BM―→＝e1，CN―→＝e2，格致课堂则AM―→＝AC―→＋CM―→＝－3e2－e1，BN―→＝BC―→＋CN―→＝2e1＋e2.∵A，P，M和

B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP―→＝λAM―→＝－λe1－3λe2，BP―→＝μBN―→＝2μe1＋μe2.故BA―→＝BP―→＋PA―→＝BP―→－AP―→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA―→＝BC―→＋CA―→

＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP―→＝45AM―→，BP―→＝35BN―→，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目

标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC中，AD→＝13AB→，AE→

＝14AC→，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.【答案】AP→＝311a＋211b．【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝13AE，连接DM，则DM//BE.设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.格致课堂又AE＝14AC，∴AC＝12t，EC＝

9t，∴在△DMC中，CECM＝CPCD＝911，∴CP＝911CD，∴DP＝211CD，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)＝13AB→＋211－13AB→＋AC→＝311AB→＋211AC→＝311a＋21

1b．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题.教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共

线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.6.3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理例1例2例3注意：