【文档说明】人教版高中数学必修第二册同步讲解第10章《章末复习课》(含解析).doc，共(8)页，231.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1随机事件的关系与性质【例1】(1)下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B

为必然事件，其中，真命题是()A．①②④B．②④C．③④D．①②(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特2等奖、一

等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：①P(A)，P(B)，P(C)；②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(1)B[对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥

事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．故选B.](2)[解]①P(A)＝11000

，P(B)＝101000＝1100，P(C)＝501000＝120.故事件A，B，C的概率分别为11000，1100，120.②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M

＝A∪B∪C.∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501000＝611000.故1张奖券的中奖概率为611000.③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1

－P(A∪B)＝1－11000＋1100＝9891000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891000.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率

的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．31．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是51

2，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？[解]法一：从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有P(A)＝13，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝51

2，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23，解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.法二：设红球有n个，则n12＝13，所以n＝4，即红球有4个．又得到

黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个．又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12

－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是312＝14，212＝16，312＝14.古典概型【例2】袋中有形状、大小都相同的4个小球，(1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；(2)若4个小球颜色相同，标号分别

为1,2,3,4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；4(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．[解](1)设取出的2只球颜色不同为事件A.试验的样本空间Ω＝{(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2

)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A)＝56.(2)试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件A，则A包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,

4)，共4个，所以P(A)＝46＝23.(3)试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16

个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝616＝38.求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确求出试验的样本空间，样本空间的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m

，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．[解](1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．a⊥b，即m－

3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，所以事件a⊥b的概率为236＝118.5(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，其概率

为636＝16.相互独立事件的概率【例3】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对

5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．[解](1)设A表示事件“观众

甲选中3号歌手”，观众甲选出3名歌手的样本空间Ω＝{(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)}，事件A包含2个样本点，则P(A)＝23，设B表示事件“观众乙选中3号歌手”，观众乙选出3名歌手的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3

,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，事件B包含6个样本点，则P(B)＝610＝35.∵事件A与B相互独立，A与B相互独立，则A·B表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝

23×25＝415.即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是415.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝P(B)＝35，依题意，A，B，C相互独立，A，B，C相互独立，且ABC，ABC，ABC，ABC彼此互斥．6又P(X＝2)＝P(ABC)＋P(

ABC)＋P(ABC)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P(X＝3)＝P(ABC)＝23×35×35＝1875，∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝3375＋1875＝1725.相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转

化为几个彼此互斥的简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数为奇数”为事件B，则事件A，

B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34D[P(A)＝12，P(B)＝12，P(A)＝12，P(B)＝12.A，B中至少有一件发生的概率为1－P(A)·P(B)＝1－12×12＝34

，故选D.]概率统计的综合应用【例4】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，„，[80,90)，[90,100]．7(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．[解](1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频

率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，

记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，

(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10个样本点．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即(B1，B2)，故所求的概率为110.破解概率与统计图表综合问题的三个步

骤第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取．第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化．第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取

后，结合古典概型的概率公式进行运算．4．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从8各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品

进行检测．地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150

，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取2件商品，试验的

样本空间Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1

，C2)，共15个样本点．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来

自相同地区的概率为415.