【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册分层练习5.1.1-5.1.2《第2课时导数的几何意义》（解析版）.doc，共(7)页，100.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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5.1.15.1.2第二课时导数的几何意义[A级基础巩固]1．设曲线y＝f(x)在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线()A．垂直于x轴B．垂直于y轴C．既不垂直于x轴也不垂直于y轴D．方向不能确定解析：选B由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的

斜率为0，故切线与y轴垂直．2．设f(x)存在导函数，且满足Δx→0limf1－f1－2Δx2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2解析：选BΔx→0limf1－f1－2Δx2Δx＝Δ

x→0limf1－2Δx－f1－2Δx＝f′(1)＝－1.3．曲线y＝13x3－2在点1，－53处切线的倾斜角为()A．1B.π4C.5π4D．－π4解析：选B∵y′＝Δx→0lim13x＋Δx3－2－13x3－2Δx＝Δx→0limx2＋xΔ

x＋13Δx2＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为π4，故选B.4．(多选)设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为

()A．(1,0)B．(2,8)C．(－1，－4)D．(－2，－12)解析：选ACf′(x)＝limΔx→0x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2Δx＝limΔx→03x2＋1Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝3x2＋1.由

于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x20＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．5．过正弦曲线y＝sinx上的点π2，1的切线与y

＝sinx的图象的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选D由题意，y＝f(x)＝sinx，则f′π2＝Δx→0limsinπ2＋Δx－sinπ2Δx＝Δx→0limcosΔx－1Δx.当Δx

→0时，cosΔx→1，∴f′π2＝0.∴曲线y＝sinx的切线方程为y＝1，且与y＝sinx的图象有无数个交点．6．曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.解析：∵y′|x＝1＝Δx→0lima1＋Δx

2－a×12Δx＝Δx→0lim2aΔx＋aΔx2Δx＝Δx→0lim(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.答案：17．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．解析：由y＝f(x)的图象及导数的几

何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．答案：②8．已知曲线f(x)＝x，g(x)＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．解析：由y＝xy＝

1x，得x＝1，y＝1，∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f(x)＝x，得f′(x)＝Δx→0lim1＋Δx－1Δx＝Δx→0lim11＋Δx＋1＝12，∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝12(x－1)．即x－2y＋1＝0.答案：x－2y＋1＝09．已知

抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则y′|x＝x0＝Δx→0limx0＋Δx2－x20Δx＝

2x0＝1，所以x0＝12，所以切点坐标为12，14，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为728.10．已知直线l：y＝4x＋a和曲

线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点的坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，∵ΔyΔx＝x0＋Δx3－2x0＋Δx2＋3－x30－2x20＋3Δx＝(Δx)2＋(3x0－2)Δ

x＋3x20－4x0.∴Δx→0limΔyΔx＝3x20－4x0，即f′(x0)＝3x20－4x0，由导数的几何意义，得3x20－4x0＝4，解得x0＝－23或x0＝2.∴切点的坐标为－23，4927或(

2,3)，当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，∴a＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5，当a＝12127时，切点为－23，4927；当a＝－5时，切点为(2,3)．[B级综合运用]11．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝

x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为()A.13B．23C．－23D．－13解析：选D∵y′|x＝1＝Δx→0lim1＋Δx3－13Δx＝3，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×ab＝－1，∴ab

＝－13.12.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()A．0<f′(a)<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)B．0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)C．0<f′(a＋1)<f′(a)<f(a＋1)－

f(a)D．0<f(a＋1)－f(a)<f′(a)<f′(a＋1)解析：选Bf′(a)，f′(a＋1)分别为曲线f(x)在x＝a，x＝a＋1处的切线的斜率，由题图可知f′(a)>f′(a＋1)>0，而f(a＋1)－f(a)＝fa＋1－faa＋1－a表示(a，

f(a))与(a＋1，f(a＋1))两点连线的斜率，且在f′(a)与f′(a＋1)之间．∴0<f′(a＋1)<f(a＋1)－f(a)<f′(a)．13．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)

≥0，则f1f′0的最小值为________．解析：由导数的定义，得f′(0)＝Δx→0limfΔx－f0Δx＝Δx→0limaΔx2＋bΔx＋c－cΔx＝Δx→0lim(a·Δx＋b)＝b.又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，则Δ＝b2－4ac≤0，a>

0，所以ac≥b24，所以c>0.所以f1f′0＝a＋b＋cb≥b＋2acb≥2bb＝2.答案：214．已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．解：∵f′(x)＝Δx

→0limΔyΔx＝Δx→0limax＋Δx2＋1－ax2＋1Δx＝2ax，∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.∵g′(x)＝Δx→0limΔyΔx＝Δx→0limx＋Δx3＋bx＋Δx－x3＋bxΔx＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率

k2＝3＋b.∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得a＝3，b＝3.[C级拓展探究]15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：∵ΔyΔx＝x＋Δx2＋1－x2－1Δx＝2x＋Δx，∴y′＝Δx→0limΔyΔx＝Δx→0lim(2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜

式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，∴a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，即x20－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)

能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．