【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册分层练习4.3.1《第2课时等比数列的性质及应用》（解析版）.doc，共(6)页，80.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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4．3.1第二课时等比数列的性质及应用(习题课)[A级基础巩固]1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：选A由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项

是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7等于()A.56D．65C.23D．32解析：选D法一：设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得a25＝6.∴a

5＝6，a4＋a6＝6q＋6q＝5.解得q＝26，∴a5a7＝1q2＝622＝32.法二：设公比为q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1.∵a2·a8＝a4·a6＝6，∴a4·a6＝6，a4＋a6＝5，则a4＝3，a6＝2或

a4＝2，a6＝3(舍)．∴q2＝a6a4＝23，∴a5a7＝1q2＝32.3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100B．－100C．10000D．－1

0000解析：选C∵a3a8a13＝a38，∴lg(a3a8a13)＝lga38＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝a28＝10000，故选C.4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝1解析：选B由题意，可得a1·a

2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝a23，所以a53＝1，得a3＝1.5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2B．4C．8

D．16解析：选C等比数列{an}中，a3a11＝a27＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a，b，则

2a＝3＋b，a－62＝3b，解得a＝3，b＝3或a＝15，b＝27.所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.解析：由

题意得a4＝12，a5＝32，∴q＝a5a4＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝12＋32×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面

积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a210＝21122＝211＝2048.答案：20489

．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.解：法一：由条件得a7q－4＋a7＋a7q4＝28，①a7q－5·a7·a7q5＝512，②由②得a37＝512，即a7＝8.将其代入①得2q8－5q4＋

2＝0.解得q4＝12或q4＝2，即q＝±142或q＝±42.法二：∵a3a11＝a2a12＝a27，∴a37＝512，即a7＝8.于是有a3＋a11＝20，a3a11＝64，即a3和a11是方程x2－20x＋

64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.因此a3＝4，a11＝16或a3＝16，a11＝4.又∵a11＝a3·q8，∴q＝±a11a318＝±418＝±42或q＝±1418＝±142.10．在正项等比数

列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解：∵a1a5＝a23，a3a7＝a25，∴由题意，得a23－2a3a5＋a25＝36，同理得a23＋2a3a5＋a25＝100，∴a3－a52＝36，

a3＋a52＝100.即a3－a5＝±6，a3＋a5＝10.解得a3＝2，a5＝8或a3＝8，a5＝2.分别解得a1＝12，q＝2或a1＝32，q＝12.∴an＝2n－2或an

＝26－n.[B级综合运用]11．设各项为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝()A．230B．210C．220D．215解析：选C∵a

1·a2·a3·…·a30＝230，∴a301·q1＋2＋3＋…＋29＝a301·q29×302＝230，∴a1＝2－272，∴a3·a6·a9·…·a30＝a103·(q3)9×102＝(2－272×22)10×(2

3)45＝220.12．各项均为正数的等比数列{an}满足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记数列{an}的前n项积为Tn，则满足Tn＞1的最大正整数n的值为()A．11B．12C．13D．14解析：选B∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2，∴

a6a7＞1，a6－1a7－1＜0，∵a1＞1，∴a6＞1，a7＜1，由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1，∵a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝a27＜1，∴T13＜1

，∴n的最大值为12，故选B.13．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.解析：因为{an}为等比数列，所以a

1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝l

n(e5)10＝lne50＝50.答案：e55014．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{bn}的通项公式．解：依题意a25＝a1a17，即(a1＋4d)2＝

a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因为d≠0，所以a1＝2d，数列{abn}的公比q＝a5a1＝a1＋4da1＝3，所以abn＝a13n－1，①又abn＝a1＋(bn－1)d＝bn＋12a1，②由①②得a1·3n－1＝bn＋1

2·a1.因为a1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.[C级拓展探究]15．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的1

4倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.b1＝15(a0＋4b0

)，a1＝34a0＋14b1＝15(4a0＋b0)；b2＝15(a1＋4b1)，a2＝34a1＋14b2＝15(4a1＋b1)；…；bn＝15(an－1＋4bn－1)，an＝15(4an－1＋bn－1)．∴an－bn＝35(an－1－bn－1)

＝…＝35(a0－b0)·35n－1.∵a0－b0＝15，∴an－bn＝15·35n.依题意知15·35n<1%，n∈N*，解得n≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.