【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册提高练习3.3.1《抛物线及其标准方程》（解析版）.doc，共(8)页，432.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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3.3.1抛物线及其标准方程-B提高练一、选择题1．（2020·海南琼山中学高二月考）抛物线的焦点为椭圆22149xy的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为（）A．245xyB．245yxC．2413xyD．2413yx【答案】A【解析】由22149xy知29a，

24b，所以25c，椭圆的下焦点为0,5，设抛物线的方程为22xpy，则25p，所以抛物线的方程为245xy，故选：A2．（2020·福建莆田一中高二期中）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物

面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m，镜深0.25m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（）A．0.5米B．1米C．1.5米D．2米【答案】B【解析】若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的

轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程22xpy集光板端点1,0.25A，代入抛物线方程可得24p，所以抛物线方程24xy，故焦点坐标是0,1F.所以容器灶圈应距离集光板顶点1m.故选：B3.如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,

过抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线,垂足为B.若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是()A.y2=xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x【答案】D【解析】设直线l交x轴于点C.∵AB⊥l,

l⊥x轴,∴AB∥x轴,可得∠BFC=∠ABF=60°,Rt△BCF中,|CF|=|BF|cos60°=p,解得|BF|=2p,由AB⊥y轴,可得3+=2p,∴p=2,∴抛物线的标准方程是y2=4x.4．（2020·乌市一中高

二月考）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，点M在棱AB上，且13AM，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线11AD的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线【答案】B【解析】

如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，作PQAD，垂足为Q，则PQ平面11ADDA，过Q作11QRAD，则11AD平面PQR，则PR为点P到直线11AD的距离，由题意得2221PRPQRQ，

由已知得221PRPM，所以PQPM，即P到点M的距离等于P到AD的距离，所以根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B5．（多选题）（2020·山东高三期末）已知点1,0F为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为（）A．24yxB

．24xyC．22221cossinxy（02）D．22221cossinxy（02）【答案】AD【解析】A.24yx，抛物线的焦点为1,0F，满足；B.24xy，抛物线的焦点为0,1F，不满足；C.22221cossinxy（02

），焦点为22cossin,0，或220,sincos或曲线表示圆不存在焦点，02，则22cossincos21，均不满足；D.22221cossinxy（02），双曲线的焦点为1,0F，满足；故选：AD.6.（多选题）

已知F是抛物线2:16Cyx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则（）A．C的准线方程为4xB．F点的坐标为0,4C．12FND．三角形ONF的面积为162（O为坐标原点）【答案】ACD【解析】如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准

线l与x轴交于点F，作MBl于点B，NAl于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为4x，F点的坐标为4,0，则4AN，8FF，在直角梯形ANFF中，中位线62ANFFBM，由抛物线的定义有6MFMB，结合题意，

有6MNMF，故6612FNFMNM，2212482ON，18241622QNFS△.故选：ACD.二、填空题7.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是_．【答案】【解

析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,∴.8.（2020·北京大兴区高二期末）已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程为33yx，且一个焦点在抛物线

28yx的准线上，则该双曲线的方程为__．【答案】2213xy【解析】双曲线的一条渐近线方程为33yx，33ba，①抛物线28yx的准线方程为2x，该双曲线一个焦点在抛物线28yx的准线上，2c，而22cab，224ab

，②由①②，得23a，21b，双曲线的方程为2213xy．9.（2020·江苏南京高二期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均

为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标．．．为___________.【答案】236145xy14013【解析】设桥拱所在抛物线方程22xp

y，由图可知，曲线经过20,5，代入方程22025p，解得：40p，所以桥拱所在抛物线方程280xy；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线21:142Cxpy，由图抛物线1C经过点

20,5A，则2201425p，解得185p，所以2136:145Cxy，点A即桥拱所在抛物线280xy与2136:145Cxy的交点坐标，设,,714Axyx由228036145714xyxyx

，解得：14013x，所以点A的横坐标为14013.10.（2020·山东泰安实验中学高二月考）以下四个命题:①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线;②抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是;③直线

l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p;④正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,则此正三角形的边长为4p.其中正确命题的序号是

.【答案】④【解析】①当定点F正好在定直线l上时,平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹不是抛物线,故①错;②当a>0时,整理抛物线方程得x2=y,p=.所以焦点坐标为,抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是,故②错;③当直线l不是过抛物

线焦点的直线时,直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p不成立,故③错;④设正三角形另外两个顶点的坐标分别为,由tan30°=,解得m=2p,故这个正三角形的边长为2m=4p,故④正确

.三、解答题11.（2020·上海徐汇·高二期末）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为2218844xy，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物

线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、0,8M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为8,0D．观测点4,0A实时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程（只需求出曲线方程即可，不必求范围）；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A测得离航

天器的距离为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解析】（1）设曲线方程为28yax，由题意可知，0648a，∴18a，∴曲线方程为2188yx；（2）设变轨点为,Cxy，根据题意可知22218844188xyyx，得24120yy，解得6y或2

y（不合题意，舍去），∴6y，得4x或4x（不合题意，舍去），∴C点的坐标为4,6，10AC，答：当观测点A测得离航天器的距离为10时，应向航天器发出变轨指令．12.（2020·全国高二课时练）已知M到点F(1,0)和直线x=

-1的距离相等,记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)过点F作相互垂直的两条直线l1,l2,曲线C与l1交于点P1,P2,与l2交于点Q1,Q2,试证明:.【解析】(1)∵点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,由抛物线的定义可知,点M的轨迹是抛物线,设方程为

y2=2px(p>0),∵=1,∴p=2.∴轨迹C的方程为y2=4x.(2)由题意知,l1,l2的斜率均存在且不为0.设l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,整理可得k2x-(2k2+4)x+k2=0,设P1,P2

的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=,∴|P1P2|=x1+x2+p=,以-代入,可得|Q1Q2|=4+4k2,∴.