【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第三册7.3《离散型随机变量的数字特征》同步精讲（解析版）.doc，共(13)页，825.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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7.3离散型随机变量的数字特征（精讲）思维导图常见考法考法一分布列均值与方差【例1-1】（2020·广东高二期末）已知随机变量X的分布列是X123P1213a则2EXa（）A．53B．73C．72D．236【答案】C【解析】由分布列的性质可得1112

3a，得16a，所以，11151232363EX，因此，11517222266362EXaEXEX.故选：C.【例1-2】．（2020·湖南长沙市·长郡中学高二月考）随机变量X的分布列如表所示，若13EX，则32DX

（）X101P16abA．9B．7C．5D．3【答案】C【解析】1()3EX，由随机变量X的分布列得：1161163abb，解得13a，12b，2221111115()(1)(0)(1)3633329DX

．5(32)9()959DXDX．故选：C．【一隅三反】1．（2021·江西高二期末（理））已知随机变量X的分布列为：设21YX，则Y的数学期望EY的值是（）X-101P1216aA．16B．13C．23D．23【答案】C【解析】由题意，

根据分布列的性质，可得11126a，解得13a，所以随机变量X的期望为11111012636EX，又由21YX，所以随机变量Y的期望为12212()163EYEX

故选：C.2．（2020·防城港市防城中学高二期中（理））已知X的分布列为：X－101P1216a设21YX，则Y的数学期望EY的值是（）A．16B．23C．1D．2936【答案】B【解析】由题意，根据分布列的性质，可得11126a，解得13a，所以随机变量X的期

望为11111012636EX，又由21YX，所以随机变量Y的期望为12212()163EYEX故选：B.3．（多选）（2020·山东聊城市·高二期末）若随机变量X服从两点分布，其中104PX，E

X，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（）A．1PXEXB．414EXC．316DXD．414DX【答案】ABC【解析】因为随机变量X服从两点分布，且104PX，所以314PX，13301444EX，所以

1PXEX，故A正确；341414144EXEX，故B正确；223133301444416DX，故C正确；2341416316DXDX，故D不正确.故选：

ABC4．（多选）（2020·江苏扬州市·高二期末）已知随机变量的分布列是－101p1212p2p随机变量的分布列是123P1212p2p则当p在0,1内增大时，下列选项中正确的是（）A．EEB．

VVC．E增大D．V先增大后减小【答案】BC【解析】对于A，2，()()2EE，故A错误；对于B，2，()()VV，故B正确；对于C，11()22Ep

，当p在(0,1)内增大时，()E增大，故C正确；对于D，113()2322222pppE，2221111315()()()()(2)22222222244pppppVp

，当p在(0,1)内增大时，()V单调递增，故D错误．故选：BC．考法二实际应用中的分布列与均值【例2】（2020·广东佛山市·佛山一中高二期中）2019年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年

纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、

医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以160,1

80、180,200、200,220、220,240、240,260、260,280、280,300分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x的值；（2）在年平均销售量为220,240、240,260、260,280、280,300的四组大型农贸市

场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在240,260、260,280、280,300的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从240,260、260,280、280,300这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记

恰有家在240,260组，求随机变量的分布列与期望和方差.【答案】（1）0.0075；（2）年平均销售量在240,260、260,280、280,300的农贸市场中应各抽取3、2、1家；（3）分布列见解析，32E，920D.【

解析】（1）由频率和为1，即0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x，解得0.0075x；（2）年平均销售量在220,240的农贸市场有0.01252010025（家），同理可求年平均销售量

240,260、260,280、280,300的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为11125151055，从年平均销售量在240,260的农贸市场中应抽取11535（家），从年平均销售量在260,280

的农贸市场中应抽取11025（家）从年平均销售量在280,300的农贸市场中应抽取1515（家），即年平均销售量在240,260、260,280、280,300的农贸市场中应各抽取3、2、1家；（3）由（2）知，从240,260、260

,280、280,300的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家，所以随机变量的可能取值分别为0、1、2、3，则0333361020CCPC，1233369120CCPC，2133

369220CCPC，3033361320CCPC，的分布列如下表所示：0123P120920920120数学期望为199130123202020202E，方差为2

222313939319012322022022022020D.【一隅三反】1．（2020·山西朔州市·应县一中）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑

雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14、16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12、23；两

人滑雪时间都不会超过3小时.（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望E，方差D.【答案】（1）512；（2）分布列见解析，80E

，40003D.【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元，两人都付0元的概率为11114624P，两人都付40元的概率为2121233P，两人都付80元的概率为31112111426324P.则两人所

付费用相同的概率为12311152432412PPPP；（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0、40、80、120、160，则11104624P，121114043264P，

11121158046234612P，1112112026434P，1111604624P.所以，随机变量的分布列为04080120160P12414512141241151104080120160802441242

4E.222221151108040808080120801608024412424D40003.2．（2020·青铜峡市

高级中学）某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为(20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等七组.其频率分布直方图如图所示，已知[25,3

0)这组的参加者是6人．（I）根据此频率分布直方图求N；（II）组织者从(45,55)这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为X，求X的分布列、均值及方差.（Ⅲ）已知[35,40

)和[40,45)这两组各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率【答案】（I）40（II）见解析（Ⅲ）1635【解析】（I）[25,30)这组频

率为0.0350.15，所以6400.15N（II）(45,55)这组的参加者人数为(0.020.01)5406，1,2,3X，1242361(1)5CCPXC,2142363(2)5CCPXC,34361(3)5C

PXCX123P153515131()1232555EX2221312()(12)(22)(32)5555DX（Ⅲ）[35,40)这组的参加者人数为0.045408[4

0,45)这组的参加者人数为0.035406恰有1名数学老师的概率为1122112646242286+1635CCCCCCCC考法三均值方差做决策【例3】．（2020·全国高二单元测试）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，

且ξ，η的分布列为：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与

劣势．【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋

2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(

ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．【一隅三反】1．（2020·陕西西安市·长安一中）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝

玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，Nn）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频

数10201616151320以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.【

答案】（1）1080,16N80,16nnynn；（2）①分布列详见解析，()76EX，()44DX；②都有道理，理由详见解析.【解析】（1）当日需求量16n时，利润80y.当日需求量16n时，利润1

080yn.所以y关于n的函数解析式为1080,16N80,16nnynn.（2）①X可能的取值为60，70，80，并且600.1PX，700.2PX，800.7PX.X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望为()600.17

00.2800.776EX.X的方差为222()60760.170760.280760.744DX.②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润（单位：元），那

么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4EY.Y的方差为2222()5576.40.16576.40.27576.40.168576.4

0.54112.04DY由以上的计算结果可以看出，()()DXDY，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外，虽然()()EXEY，但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二：花店一

天应购进17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利涧（单位：元），那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为()550.1650.2750.16850.5476.4EY.由以上的计算结果可以看出，()(

)EXEY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.2．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中）甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽

成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天

数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工

资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a，当38a时，386228X，515010p==；当3

9a时，396234X，101505p==；当40a时，406240X，101505p==；当41a时，40617247X，202505p==；当42a时，40627254X，515010p

==，故X的所有可能取值为228、234、240、247、254，故X的分布列为：X228234240247254P110151525110故11121()228234240247254241.81055510EX.（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：380.

2390.3400.2410.2420.139.7，则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8元，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.