【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第二节 导数与函数的单调性 (含详解).ppt，共(40)页，439.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节导数与函数的单调性本节主要包括2个知识点：1.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间；2．利用导数解决函数单调性的应用问题.突破点(一)利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数的单调性与导数的关系函数y＝

f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是．单调递增单调递减常数函数2．由函数的单调性与导数的关

系可得的结论(1)函数f(x)在(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.当x∈(a，b)时，f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．(2)f′(x)>0(<0)在(a，b

)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增(减)的充分条件.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明或讨论函数的单调性判断函数单调性的三种方法定义法在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x

1)－f(x2)与0的大小关系来确定函数f(x)的单调性图象法利用函数图象的变化趋势直观判断，若函数图象在某个区间内呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；若函数图象在某个区间内呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数导数法利用导数判

断可导函数f(x)在定义域内(或定义域的某个区间内)的单调性[例1]已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋

a－1x.(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(3)当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈0，1－a2a时

，f′(x)<0；当x∈1－a2a，＋∞时，f′(x)>0，故f(x)在0，1－a2a上单调递减，在1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧]导数法证明或讨论函数f(x)在(a，b)内

单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论：当f′(x)>0时，函数f(x)在(a，b)内单调递增；当f′(x)<0时，函数f(x)在(a，b)内单调递减．[提醒]讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对

不等式解集的影响进行分类讨论．求函数的单调区间[例2]已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)的单调区间．[解]对

f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.所以f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因

x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x

)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．[方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2

)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．[方法

技巧](3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]函数f(x)＝(x－3)

ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：依题意得f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，所以f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.答案：

D2．[考点一]下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是()A．f(x)＝sin2xB．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－xD．f(x)＝－x＋lnx解析：对于A，f(x)＝sin2x的单调递增区间是kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)；对于B，f′

(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上为增函数；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>33或x<－33，∴函数f(x)＝x3－x在

－∞，－33和33，＋∞上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋1x＝－x－1x，令f′(x)>0，得0<x<1，∴函数f(x)＝－x＋lnx在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.答案：B3．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)

B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,2)解析：对于函数y＝12x2－lnx，易得其定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x2－1x，令x2－1x<0，又x>0，所以x2－1<0，解得0<x<1，即函

数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(0,1)．答案：A[考点二]4.[考点一]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a(x>0

)，①当a≤0时，f′(x)＝1x－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a>0时，令f′(x)＝1x－a＝0，可得x＝1a，当0<x<1a时，f′(x)＝1－axx>0；当x>1a时，f′(

x)＝1－axx<0，故函数f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．由①②知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．5.[考点二]

已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2

＋b，由已知可得f1＝a＋1＝c，g1＝1＋b＝c，2a＝3＋b，解得a＝b＝3.解：令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a24x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋a24，令F′(x)＝0，得x

1＝－a2，x2＝－a6，∵a>0，∴x1<x2，由F′(x)>0得，x<－a2或x>－a6；由F′(x)<0得，－a2<x<－a6.∴函数f(x)＋g(x)的单调递增区间是－∞，－a2，－a6，＋∞；单调递减区间

为－a2，－a6.(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类

问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(2)比较大小或解不等式问题：利用

导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”已知函数的单调性求参数的取值范围由函数的单调性求参数取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而

转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，即f′(x)max>0(或f′(x)min<0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f(x)在区

间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1]已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取

值范围；(2)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；[解](1)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为

(－∞，3]．(2)因为f(x)在区间(－1,1)上为减函数，所以f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞)．[解

]因为f(x)＝x3－ax－1，所以f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)．因为f(x)的单调递减区间为(－1,1)，所以3a3＝1，即a＝3.(3)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求

a的值．[易错提醒]应用结论“函数f(x)在(a，b)上单调递增⇔f′(x)≥0恒成立；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇔f′(x)≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a，b)上恒为0.比较大

小或解不等式[例2](1)若0<x1<x2<1，则()A．e2x－e1x>lnx2－lnx1B．e2x－e1x<lnx2－lnx1C．x2e1x>x1e2xD．x2e1x<x1e2x[解析]构造函数f(x)＝ex－lnx，则f

′(x)＝ex－1x＝xex－1x.令f′(x)＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝1x的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此f(x)＝ex－lnx在(0,1)上不是单调函数，无法判断f(x1)与f(x2)的大小，故A，B错；

构造函数g(x)＝exx，则g′(x)＝xex－exx2＝exx－1x2，故函数g(x)＝exx在(0,1)上单调递减，故g(x1)>g(x2)，即ex1x1>ex2x2，则x2ex1>x1ex2，故选C.[答案]C[解析]设F(x)＝f(

x)－12x，∴F′(x)＝f′(x)－12，∵f′(x)<12，∴F′(x)＝f′(x)－12<0，即函数F(x)在R上单调递减．∵f(x2)<x22＋12，∴f(x2)－x22<f(1)－12，∴F

(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2>1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案](－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<12，则不等式f(x2)<x22＋12的解集为________．[

方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]已知函数f(x)＝x2＋4x＋alnx，若函数f(

x)在(1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．(－∞，－16)C．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋4＋ax＝2x2＋4x＋ax，f(x)在(1,2)上

是单调函数，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(1,2)上恒成立，即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在(1,2)上恒成立，即a≥－(2x2＋4x)或a≤－(2x2＋4x)在(1,2)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋4x)，1<x<2，则－16<g(x)<－6，∴a≥－6或a≤－16，

故选C.答案：C2．[考点二](2016·南昌三模)已知函数f(x)＝x3－3x，若在△ABC中，角C是钝角，则()A．f(sinA)>f(cosB)B．f(sinA)<f(cosB)C．f(sinA)>f(sinB)D．f(

sinA)<f(sinB)解析：∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，又A、B都是锐角，且A＋B<π2，∴0<A<π2－B<π2，∴sinA<sinπ2－B＝cosB，故

f(sinA)>f(cosB)，故选A.答案：A3.[考点一]若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．解析：因为f′(x)＝3x2－12，由f′(x)>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(

2，＋∞)，由f′(x)<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<－2<k＋1或k－1<2<k＋1，解得－3<k<－1或1<k<3.答案：(－3，－1)∪(1,3)4.[考点一]已知函数f(x

)＝x33－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在R上为单调递增函数，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋15m2－2m－7，由题意可得f′(x)≥0在x∈R上恒成立，所以Δ＝4(4

m－1)2－4(15m2－2m－7)＝4(m2－6m＋8)≤0，解得2≤m≤4.答案：[2,4]5.[考点二]已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)＝－3，且对任意的x∈R总有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x－15的解集为________．解析：

令g(x)＝f(x)－3x＋15，则f(x)<3x－15的解集即为g(x)<0的解集．又g′(x)＝f′(x)－3<0，所以g(x)在R上是减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以g(x)<g(4)，故x>4.所以f(x)

<3x－15的解集为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．[－1,1]B．－1，1

3C．－13，13D．－1，－13解析：取a＝－1，则f(x)＝x－13sin2x－sinx，f′(x)＝1－23cos2x－cosx，但f′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，

故排除A、B、D.故选C.答案：C2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(

－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则g′(x)＝xf′x－fxx2，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x

)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0<x<1，当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值

范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.答案：A3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)解析：因为f(x)＝kx－lnx，所以f′(x)＝k－1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－1x≥0恒成立，即k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x<1，所以

k≥1.故选D.答案：D