【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第五节 定积分与微积分基本定理 (含详解).ppt，共(32)页，533.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-34101.html

以下为本文档部分文字说明：

第五节定积分与微积分基本定理本节主要包括2个知识点：1.求定积分；2.定积分的应用.突破点(一)求定积分基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<„<xi－1<xi<„<xn＝b，将区间[a，b]等

分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，„，n)，作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作_______.abf(x)dx2．定

积分的相关概念在abf(x)dx中，a与b分别叫做与，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做，x叫做积分变量，________叫做被积式．3．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝_________(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝

；(3)abf(x)dx＝(其中a<c<b)．积分下限积分上限被积函数f(x)dxkabf(x)dxabf1(x)dx±abf2(x)dxacf(x)dx＋cbf(x)dx4．微积分基本定理如

果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常常把记为F(x)|ba，即abf(x)dx＝

F(x)|ba＝.F(b)－F(a)F(b)－F(a)F(b)－F(a)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分[例1]计算下列定积分：(1)01(－x2＋2x)dx；(2)

0π(sinx－cosx)dx；[解](1)01(－x2＋2x)dx＝01(－x2)dx＋012xdx＝－13x310＋x2|10＝－13＋1＝23.(2)0π(sin

x－cosx)dx＝0πsinxdx－0πcosxdx＝(－cosx)|π0－sinx|π0＝2.[解]12e2x＋1xdx＝12e2xdx＋121xdx＝12e2x|21＋lnx|21＝12e4－12e2＋ln2－ln

1＝12e4－12e2＋ln2.(3)12e2x＋1xdx；[解]201－sin2xdx＝20|sinx－cosx|dx＝40(cosx－sinx)dx＋24(sinx－cosx)dx＝(sinx＋cosx

)π400＋(－cosx－sinx)π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.(4)201－sin2xdx.[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正

弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值．(5)计算原始定积分的值．利用定积分的几何意义求定积分[例2

]利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)011－x－12dx；[解]根据定积分的几何意义，可知011－x－12dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的14(如图所示的阴影部分)．故011－x－12dx＝π4.[解]5－5(3x3＋

4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．设y＝f(x)＝3x3＋4sinx，则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－

x)＝－(3x3＋4sinx)＝－f(x)，又f(0)＝0，所以f(x)＝3x3＋4sinx在[－5,5]上是奇函数，所以0－5(3x3＋4sinx)dx＝－05(3x3＋4sinx)dx，所以5－5(3x

3＋4sinx)dx＝0－5(3x3＋4sinx)dx＋05(3x3＋4sinx)dx＝0.(2)5－5(3x3＋4sinx)dx.[方法技巧]1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯

形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．2．两个常用结论设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论：(1)若f(x)是偶函数，则a－af(x

)dx＝20af(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则a－af(x)dx＝0.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]1－1(x－1)dx＝()A．2B．－2C．13D．12解析：1－1(x－1)dx＝x22－x

1－1＝12－1－12＋1＝－2.答案：B2．[考点一]20sin2x2dx＝()A．0B．π4－12C．π4－14D．π4－1解析：20sin2x2dx＝201－cosx2dx＝12x－12sinxπ20＝π4－12.

答案：B3.[考点一]设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e](其中e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为()A.43B．2C．1D.23解析：根据定积分的性质，可知0ef(x)dx可以分为两段，

则0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x310＋lnxe0＝13＋1＝43.答案：A4.[考点二]12－x2＋4x－3dx＝________.解析：根据定积分的几何意义，可知12－x2＋4x－3dx表示圆(x－

2)2＋y2＝1与x＝1，x＝2及y＝0所围成的圆的面积的14，即12－x2＋4x－3dx＝π4.答案：π45.[考点二]－11[1－x2－sinx]dx＝________.解析：令1－x2＝y，则x2＋y2＝

1(y≥0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半．所以－111－x2dx表示圆x2＋y2＝1与x轴所围成的上半圆的面积，因此－11－11－x2dx＝π2.又因为－11sinxdx＝(－cosx)1－1＝－cos1－[－cos(－1)]＝0，所以1－1

[1－x2－sinx]dx＝π2.答案：π2突破点(二)定积分的应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．定积分与曲边梯形面积的关系如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积S＝abf(x)dxS＝_________－abf(x)dx图形

阴影部分面积S＝S＝abf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dxacf(x)dx－cbf(x)dx2．求变速运动的路程做变速运动的物体在时

间[a，b]上所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝abv(t)dt.具体步骤为：①找出速度函数v＝v(t)，作出图形．②观察v＝v(t)的图形是否满足v(t)≥0.③若v(t)≥0，则相应的时间段[a，b]上的路程

为s＝abv(t)dt；若v(t)<0，则相应的时间段[a，b]上的路程为s＝abvtdt＝－abv(t)dt.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用定积分求平面图形的面积[例1]由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()

A.103B．4C.163D．6[解析]作出曲线y＝x和直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由y＝x，y＝x－2得交点A(4,2)．因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为04x－x－2dx＝04x－x＋2d

x＝23x32－12x2＋2x40＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案]C[方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3

)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．定积分在物理中的应用[例2](1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25

ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2[解析]由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为04

v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t40＝4＋25ln5.[答案]C(2)一物体在力F(x)＝5，0≤x≤2，3x＋4，x＞2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0

处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.[解析]由题意知，力F(x)所做的功为W＝04F(x)dx＝025dx＋24(3x＋4)dx＝5x|20＋32

x2＋4x42＝5×2＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(J)．[答案]36[方法技巧]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程：如果物体做变速直线运动，且其速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程

s＝∫bav(t)dt.(2)求变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝∫baF(x)dx.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]若x(单位：m)表示位移的大小，一物体在力F(x)＝x(单位：N

)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4m，力F(x)做功为()A．8JB．12JC．15JD.163J解析：由题意得W＝04xdx＝23x3240＝163J.答案：D2.曲线y＝2x与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭图形的面积为()A．2ln

2B．2－ln2C．4－ln2D．4－2ln2解析：由曲线y＝2x与直线y＝x－1联立，解得x＝－1，x＝2，如图所示，故所求图形的面积为S＝∫42x－1－2xdx＝12x2－x－2ln

x42＝4－2ln2.答案：D[考点一]3.[考点一](2016·衡阳一模)如图，阴影部分的面积是()A．32B．16C．323D．83解析：由题意得，阴影部分的面积S＝1－3(3－x2－2x)dx＝

3x－13x3－x21－31－3＝323.答案：C解析：如图所示，由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S＝02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝

x－x3310＋x33－x21＝1－13＋83－2－13－1＝2.答案：24．由抛物线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2及x轴围成的图形面积为________．5.[考点二

]物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.解析：设bs后两物体

相遇，则0b(3t2＋1)dt－0b10tdt＝5，即b3＋b－5b2＝5，(b2＋1)(b－5)＝0，解得b＝5，此时物体A离出发地的距离为05(3t2＋1)dt＝(t3＋t)|50＝53＋5＝130(m)．答案：13

0