【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数、导数的计算 (含详解).ppt，共(41)页，522.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节变化率与导数、导数的计算本节主要包括2个知识点：1.导数的运算；2.导数的几何意义.第三章导数及其应用突破点(一)导数的运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．函数y＝f(x)在x＝x0处的

导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝______________________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝____________

_______.fx0＋Δx－fx0ΔxlimΔx→0limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝__________________为f(x)的导函数

．3．基本初等函数的导数公式limΔx→0fx＋Δx－fxΔx原函数sinxcosxax(a>0)exlogax(a>0，且a≠1)lnx导函数cosx_____________ex__________－sinxaxlna

1xlna1x4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)fxgx′＝______________________(g(x)≠0)．5．复合函数的导

数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xg

x－fxg′x[gx]2yu′·ux′y对uu对x考点贯通抓高考命题的“形”与“神”已知函数的解析式求导数[例1]求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝l

nxx；[解](1)∵y＝(1－x)1＋1x＝1x－x＝x12－－x12，∴y′＝(x12－)′－(x12)′＝－12x32－－12x12－.(2)y′＝lnxx′＝lnx

′x－x′lnxx2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e；[解](3)y′＝sinxcosx′＝sinx′cosx－sinxcosx′cos2x＝

cosxcosx－sinx－sinxcos2x＝1cos2x.(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.[

解]y′＝[ln2x＋3]′x2＋1－ln2x＋3x2＋1′x2＋12＝2x＋3′2x＋3·x2＋1－2xln2x＋3x2＋12＝2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋32x＋3x2＋12.

(5)y＝ln2x＋3x2＋1.[方法技巧]导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式

：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．导数运算的应用[例2](1)(2016·济宁二模)已知函数f(x)＝x(2017＋lnx)，f′(x0)＝2018，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e[解析]由题意可知f′(x)

＝2017＋lnx＋x·1x＝2018＋lnx．由f′(x0)＝2018，得lnx0＝0，解得x0＝1.[答案]B[解析]由题意得f′(x)＝x＋2f′(2017)＋2017x，所以f′(2017)＝2017＋2f′(2017)＋20172017，即f′(2017)＝－(2017＋1)＝

－2018.故f′(1)＝1＋2×(－2018)＋2017＝－2018.[答案]－2018(2)已知f(x)＝12x2＋2xf′(2017)＋2017lnx，则f′(1)＝________.[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为

f(x)＝f′(x0)x＋sinx＋lnx(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求的导数值．能力练通抓应

用体验的“得”与“失”1.[考点一](2017·东北四市联考)已知y＝2017，则y′＝()A.122017B．－122017C.20172017D．0解析：因为常数的导数为0，又y＝2017是常数函数，所以y′＝0.答案：D2.(2016·大同二模)已知函数f(x)＝xsinx＋ax，且f′

π2＝1，则a＝()A．0B．1C．2D．4解析：∵f′(x)＝sinx＋xcosx＋a，且f′π2＝1，∴sinπ2＋π2cosπ2＋a＝1，即a＝0.答案：A[考点二]3.(2017·湖北重

点中学月考)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于()A．－2B．2C．－94D.94解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f

′(2)＋1x，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋12，解得f′(2)＝－94.故选C.答案：C[考点二]4.[考点二]在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·„·(x－

a8)，则f′(0)的值为________．解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)·(x－a2)

·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.又数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝4096.答案：40965.[考

点一]求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝lnx＋1x′＝(lnx

)′＋1x′＝1x－1x2.解：(3)y′＝cosxex′＝cosx′ex－cosxex′ex2＝－sinx＋cosxex.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－1

2xsin4x，∴y′＝－12sin4x－12x·4cos4x＝－12sin4x－2xcos4x.(3)y＝cosxex；(4)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.突破点(二)导数的几何意义基础

联通抓主干知识的“源”与“流”函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的．相应地，切线方程为____________________．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导

数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求切线方程[例1]已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲

线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.[解]设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′

(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝

0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[方法技巧]求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0

)处的切线方程(高考常考类型)，则点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．[方法技巧](2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程，则切线经过

点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；②根据题意知点P(x0，y0)在切线上

，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组y1＝fx1，y0－y1＝f′x1x0－x1，求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．[方法技巧][提醒]“过点A的

曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点．曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条．切线与曲线的公共点不一定只有一个．求切点坐标[例2]设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂

直，则点P的坐标为________．[解析]y＝ex的导数为y′＝ex，则曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，设P(m，n)，则曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m＞0)．因为两切线垂直，所以k1

k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．[答案](1,1)求参数的值[例3]直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于()A．2B．－1C．1D．－2[解析]依题意知，y

′＝3x2＋a，则13＋a×1＋b＝3，3×12＋a＝k，k×1＋1＝3，由此解得a＝－1，b＝3，k＝2，所以2a＋b＝1，选C.[答案]C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意

义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知f(x)＝2exsinx，则曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝0B．y＝

2xC．y＝xD．y＝－2x解析：∵f(x)＝2exsinx，∴f(0)＝0，f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)，∴f′(0)＝2，∴曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.答案：B2.

曲线f(x)＝x2＋ax＋1在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为3π4，则实数a＝()A．1B．－1C．7D．－7解析：f′(x)＝2xx＋1－x2＋ax＋12＝x2＋2x－ax＋12，∵f′(1)＝tan3π4＝－1，即3－a4

＝－1，∴a＝7.答案：C[考点三]3.[考点二]在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：y＝x3－x+1上，且在第二象限内，已知曲线C在点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为________．解析：由y′＝3x2－1＝2，

得x＝±1，又点M在第二象限内，故x＝－1，此时y＝1，故点M的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)4.[考点三](2017·衡阳八中模拟)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a>0

且a≠1，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________．解析：因为f(x)＝axlnx，所以f′(x)＝lna·axlnx＋axx.又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：35.[考点二]若曲线y＝xlnx上

点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：由题意得y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e

，e)．答案：(e，e)6.[考点一]如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则曲线g(x)在x＝3

处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，即f′(3)＝－13.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′

(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3×－13＝0.则曲线g(x)在x＝3处的切线方程为y－3＝0.答案：y－3＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(

0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.答案：D2．(2016·全国甲卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是

曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.解析：易得(lnx＋2)′＝1x，[ln(x＋1)]′＝1x＋1.设曲线y＝lnx＋2上的切点横坐标为x1，曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标为x2，则y＝lnx＋2的切线方程为：y＝1x1·x＋lnx1＋1，y＝ln(x＋1)的

切线方程为：y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1.根据题意，有1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝lnx2＋1－x2x2＋1，解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln23．(2016

·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝

lnx－3x，所以f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－14．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)

．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x

－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.解：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－ax－1x＋1＞0.设g(x)＝lnx－

ax－1x＋1，则g′(x)＝1x－2ax＋12＝x2＋21－ax＋1xx＋12，g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋

∞)上单调递增，因此g(x)＞0；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－a－12－1，x2＝a－1＋a－12－1.由x2＞1和x1x2＝1

得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)＜0.综上，a的取值范围是(－∞，2]．