【文档说明】(新高考)高考数学二轮精品复习专题17《利用导数求函数的极值》(解析版).doc，共(51)页，2.069 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题17利用导数求函数的极值一、多选题1．下列命题正确的有（）A．已知0,0ab且1ab，则1222abB．3412ab，则2ababC．323yxxx的极大值和极小值的和为6D．过(1,0)A的直线与函数3yxx有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2

)(2,)4【答案】ACD【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2ab的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求abab；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3yxx有三个交点，即可知2()hxxxk有两个零点且1x不是其零点即可求斜率范

围.【详解】A选项，由条件知1ba且01a，所以21(1,1)aba，即1222ab；B选项，3412ab有3log12a，4log12b，而1212112(log3log4)2a

babab；C选项，2361yxx中且开口向上，所以存在两个零点12,xx且122xx、1213xx，即12,xx为y两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6yyxxxxxxxxxxxx；D

选项，令直线为(1)ykx与3yxx有三个交点，即2()()(1)gxxxkx有三个零点，所以2()hxxxk有两个零点即可∴140(1)20khk，解得1(

,2)(2,)4k故选：ACD【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.2．对于函数2ln()xfxx，下列说法正确的是（）A．fx在xe处取得极大值12eB．fx有两个不同的零点

C．23fffD．若21fxkx在0,上恒成立，则2ek【答案】ACD【分析】求得函数的导数312ln()xfxx，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和10f，且

xe时，0fx，可判定B不正确；由函数的单调性，得到(3)()ff，再结合作差比较，得到()(2)ff，可判定C正确；分离参数得到221ln1xkfxxx在0,上恒成立，令2ln1xgxx，

利用导数求得函数gx的单调性与最值，可判定D正确.【详解】由题意，函数2ln()xfxx，可得312ln()(0)xfxxx，令()0fx，即312ln0xx，解得xe，当0xe时，0fx，函数

fx在(0,)e上单调递增；当xe时，0fx，函数fx在(,)e上单调递减，所以当xe时，函数fx取得极大值，极大值为1()2fee，所以A正确；由当1x时，10f，因为

fx在(0,)e上单调递增，所以函数fx在(0,)e上只有一个零点，当xe时，可得0fx，所以函数在(,)e上没有零点，综上可得函数在(0,)只有一个零点，所以B不正确；由函数fx在(,)e上单调递减，可得(3)()ff，由于l

n2ln2lnln(2),()242ff，则2lnln2lnln2()(2)2444ff，因为22，所以()(2)0ff，即()(2)ff，所以23fff，所以C正确；由21fxkx在0,上恒成

立，即221ln1xkfxxx在0,上恒成立，设2ln1xgxx，则32ln1xgxx，令0gx，即32ln10xx，解得1xe，所以当10xe时，

0gx，函数gx在1(0,)e上单调递增；当1xe时，0gx，函数gx在1(,)e上单调递减，所以当1xe时，函数gx取得最大值，最大值为1()22eegee，所以2ek，所以D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函

数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3．已知函数32()26fxxxx，其导函数为()fx，下列命题中为真命题的是（）A．()fx的单调减区间是2(,2)3B．()fx的极小值是﹣6C．过点0,0只能作一条直线与()yfx的图象相切D．()fx有且只有一个零点【答案】BCD【分析】求出函

数()fx的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．【详解】因为2()341fxxx，令0fx，得13x或1x，则fx在1,3，1,上单调递

增；令0fx，得113x，则fx在1,13上单调递减．所以极小值为160f，极大值为11580327f，而36f，故fx存在唯一一个零点01,6

3x，A错误，B、D正确；设过点0,0的直线与yfx的图象相切，切点为00,xfx，因为2000341fxxx，32000026fxxxx，所以切线方程为32000300042631yxxxxxxx．将0,

0代入，得320030xx．令32()3gxxx，则2()32(32)gxxxxx，所以gx在(,0)，2,3上单调递增，在20,3上单调递减．因为290g，(0)30g，27

70327g，所以方程0gx只有一解，即过点0,0只能作一条直线与yfx的图象相切，故C正确．故选：BCD．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．4．材

料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数0xfxxx，我们可以作变形：lnlnxxxxx

tfxxeeelntxx，所以fx可看作是由函数tfte和lngxxx复合而成的，即0xfxxx为初等函数.根据以上材料，对于初等函数10xhxxx的说法正

确的是（）A．无极小值B．有极小值1C．无极大值D．有极大值1ee【答案】AD【分析】将函数hx的解析式变形为1lnxxhxe，利用复合函数的求导法则可求得hx，利用导数可求得函数hx的极值，由此可得出结论.【详解】根据材料知：111lnlnxxxx

xhxxee，所以111lnlnln2221111lnln1lnxxxxxxhxexexexxxxx，令0hx得xe，当0xe时，0hx，此时函数hx单调递增；当xe时，

0hx，此时函数hx单调递减.所以hx有极大值且为1ehee，无极小值.故选：AD.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于中等题.5．设()fx为函数fx的导函数，已知2()()lnx

fxxfxx，1(1)2f，则下列结论不正确的是（）A．xfx在(0,)单调递增B．xfx在(1,)单调递增C．xfx在(0,)上有极大值12D．xfx在(0,)上有极小值12【答案】AC【分析】首先根据题意设

gxxfx，得到ln()xgxx，再求出gx的单调性和极值即可得到答案.【详解】由2()()lnxfxxfxx得0x，则ln()()xxfxfxx即ln[()]xxfxx，设gxxfxln()01xgxxx，()001gxx

即xfx在(1,)单调递增，在(0,1)单调递减即当1x时，函数()()gxxfx取得极小值1112gf.故选：AC【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同

时考查了构造函数，属于中档题.6．已知函数32()247fxxxx，其导函数为()fx，下列命题中真命题的为（）A．()fx的单调减区间是2(,2)3B．()fx的极小值是15C．当2a时，对任

意的2x且xa，恒有()fxf（a）f（a）()xaD．函数()fx有且只有一个零点【答案】BCD【分析】由32()247fxxxx，知2()344fxxx，令2()3440fxxx，得23x，22x，分别求出函数的极大值和极小

值，知A错误，BD正确；由2a，2x且xa，令2()344gxxx利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故C正确；【详解】解：32()247fxxxx，其导函数为2()344fxxx．令()0fx

，解得23x，2x，当()0fx时，即23x，或2x时，函数单调递增，当()0fx时，即223x时，函数单调递减；故当2x时，函数有极小值，极小值为215f，当23x时，函数有极大值，极大值为2()03f，故函数只有一个零点，A错误，BD正

确；令2()344gxxx，则()64gxx故在2,上()640gxx，即2()344fxxx在2,上单调递增，根据切割线的定义可知，当2a时，对任意的xa，恒有

fxfafaxa，即fxfafaxa对任意的2xa，恒有fxfafaxa，即fxfafaxa，故C正确；故选：BCD．【点睛】本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解

题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．二、单选题7．设函数fx在R上可导，其导函数为fx，且函数1yxfx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．fx有极大值

2fB．fx有极小值2fC．fx有极大值1fD．fx有极小值1f【答案】A【分析】由函数1yxfx的图象，可得1x时，0fx；21x时，0fx；2x时，0fx.由

此可得函数fx的单调性，则答案可求.【详解】解：函数1yxfx的图象如图所示，∴1x时，0fx；21x时，0fx；2x时，0fx.∴函数fx在,2上单调递增，在2,1上单调递减，在1,

上单调递减.∴fx有极大值2f.故选：A.【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.8．下列关于函数2()(3)xfxxe的结论中，正确结论的个数是（）①(

)0fx的解集是{|33}xx；②(3)f是极大值，(1)f是极小值；③()fx没有最大值，也没有最小值；④()fx有最大值，没有最小值；⑤()fx有最小值，没有最大值.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析

】直接不等式()0fx可判断①；对函数求导，求函数的极值，可判断②；利用导数求函数的最值可判断③④⑤【详解】解：由()0fx，得230x，即230x，解得3x3，所以()0fx的解集是{|33}xx，所以①正确；由2()(3)xfxxe，得'2

()(23)xfxxxe，令'()0fx，则2x2x30，解得3x或1x，当3x或1x时，'()0fx，当31x时，'()0fx，所以(3)f是极小值，(1)f是极大值，所以②错误；因为(3)f是极小

值，且当3x时，()0fx恒成立，而(1)f是极大值，所以()fx有最大值，没有最小值，所以④正确，③⑤错误，故选：B【点睛】此题考查导数的应用，考查函数极值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题9．函数

y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y=f(x)的极值点；②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；③-1是函数y=f(x)的最小值点；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零.以上

正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】A【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当,3x

时，0fx，在3,1x时，0fx函数yfx在,3上单调递减，在3,1上单调递增，故②正确；则3是函数yfx的极小值点，故①正确；∵在3,1上单调递增，1不是函数yfx的最小值点，故③不正确；∵函数yfx

在0x处的导数大于0，切线的斜率大于零，故④不正确.故选：A【点睛】方法点睛：本题考查导函数图象在函数单调性和极值中的应用，考查导数的几何意义，其中利用导函数判断单调性的步骤为：1.先求出原函数的定义域；2.对原函数求导；3.令导数大

于零；解出自变量的范围；该范围即为该函数的增区间；同理令导数小于零，得到减区间；4.若定义域在增区间内，则函数单增；若定义域在减区间内则函数单减，若以上都不满足，则函数不单调．10．已知函数1ln,1,1,1,xxxfxxex，函数

1gxffxe零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】令fxt，讨论t的取值范围：当1t时或当1t时，可得1eefx或0fx，讨论x的取值范围，再利用导数研究函

数的单调性，求出最值即可求解.【详解】令fxt，则1ln,11e,1tttfttt，（1）当1t时，1eft，即1e1lneett，即1eefx.当1x时，1elnex有一个解.当1x时，1exfxx，,0x，()

0fx¢>；0,1x，()0fx¢<，且10ef.当1x时，111eexx，而1e1ee，所以方程11e1exxe无解.（2）当1t时，1eft，由（1）知0t，即0fx.当1x时，ln0x有一个解.当1x时

，10efx，所以0fx无解.综上，函数gx有两个零点.故选：B.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了计算求解能力，属于中档题.11．设函数23xfxxe，则（）A．fx有极大值且为最大值B．fx有极小值，但无最小值C．若

方程fxb恰有3个实根，则360beD．若方程fxb恰有一个实根，则36be【答案】C【分析】求导后求出函数的单调区间，再根据当,3x时，0fx；336336ffee

、120fe，画出函数图象草图后数形结合逐项判断即可得解.【详解】23xfxxe，22331xxxfxxexexxe，当,31,x时，0fx，函数fx单调递增；当3,1x

时，0fx，函数fx单调递减；当,3x时，230x，0xe，0fx，再由336336ffee，120fe，可画出函数图象草图，如图，由图象可知，3f为函数的极大值但不是

最大值，故A错误；1f为函数的极小值，且为最小值，故B错误；若要使fxb有3个实根，则要使函数yb的图象与函数fx的图象有3个交点，则360be，故C正确；若要使fxb恰有一个实根，则要使函数yb的图象与函数

fx的图象仅有1个交点，则36be或2be，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和推理能力，属于中档题.三、解答题12．已知函数1lnfxaxxaR.（1）若1a，求fx在区间1,ee上的极值；（2）讨论函数fx

的单调性.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）答案见解析.【分析】（1）当1a时，求得1xfxx，利用导数分析函数fx的单调性，由此可求得函数fx在区间1,ee上的极值；（2）求得10axfxxx，分0a和0a两种情况讨论，分析导数的符号变化

，由此可得出函数fx的单调递增区间和递减区间.【详解】（1）当1a时，1lnfxxx，所以，()()1110xfxxxx-¢=-=>，列表；x1,1e11,efx0fx

单调递减极小单调递增所以，fx在区间1,ee上的有极小值10f，无极大值；（2）函数fx的定义域为0,，11axfxaxx.当0a时，10ax-<，从而0fx，故函数fx在

0,上单调递减；当0a时，若10xa，则10ax-<，从而0fx；若1xa，则10ax，从而0fx.故函数fx在10,a上单调递减，在1,a上单调递增.综上所述，当0a时，函数fx的单调递减区间为

0,，无单调递增区间；当0a时，函数fx的单调递减区间为10,a，单调递增区间为1,a.【点睛】方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面：（1）求导后看函数的最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，且最高次项为

一次，一般为一次函数，求出导数方程的根；（3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性.13．设函数2()ln10fxxaxa.（1）当2a时，求函数()fx的极值；（2）若函数()fx有2个零点，求实数a

的取值范围.【答案】（1）极小值为1；（2）2ae.【分析】（1）当2a时，2()ln10fxxaxa，对()fx求导判断单调性、即可求得极值；（2）对()fx求导，利用导函数得符号判断出()fx的单调递增区间是2,2a，单调递减区间

是20,2a，然后对参数a进行分类讨论，考虑函数得最小值，从而判断函数零点的个数，找到函数()fx有2个零点时实数a的取值范围.【详解】（1）()fx的定义域是0,，当2a时，2()2ln1fxxx，2222()2xfxxxx

.令'()0fx，得1x或1x（舍）.所以()fx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，即()fx在1x处取得极小值，极小值为11f.无极大值（2）函数的定义域为0,，令22'()20axafxxxx，则22ax，所以当2

0,2ax时，'()0fx；当2,2ax时，'()0fx，所以()fx的单调递增区间是2,2a，单调递减区间是20,2a.①

令202af，得2ae，当2ae，22()(ln1)efxxx的最小值为10ef，即22()(ln1)efxxx有唯一的零点1xe；②当20ae时，

2()ln1fxxax的最小值为2ln1222aaaf，且2ln10222aaaf，即2()ln1fxxax不存在

零点；③当2ae时，()fx的最小值2ln10222aaaf，又12e2a，2110eef，所以函数()fx在20,2a上有唯一的零点，又当2ae时，22aa，2()(ln1)(ln1)faa

aaaaa，令()ln1gxxx，则11()10xgxxx，解得1x，可知()gx在2,1e上递减，在1,上递增，所以10gag，所以0fa，所以函数()fx在2,

2a上有唯一的零点，所以当2ae时，()fx有2个不同的零点，综上所述：实数a的取值范围是2ae.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得

到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．（1）已知32()fxxaxbxc，()124gxx，

若(1)0f，且()fx图象在点(1,(1))f处的切线方程为()ygx，求,,abc的值.（2）求函数2cosfxxx在0,上的极值.【答案】（1）3a，3b，1c；（2）极大值为366f，极小值为55366f.【分析】（

1）由导数的几何意义结合切点在切线上，列方程即可得解；（2）对函数求导，求得函数的单调区间后，结合极值的概念即可得解.【详解】（1）因为(1)0f，所以10abc即1abc，由32()fxxaxbxc可得2()32fxxaxb

，因为()fx图象在点(1,(1))f处的切线方程为14()2ygxx，所以118fg，(1)12f，即18abc，3212ab，所以3a，3b，1c；（2）由2cosfxxx可得12sinfxx，所以

当50,,66x时，0fx；当5,66x时，0fx；所以函数fx的单调递增区间为50,,,66，单调递减区间为5

,66，所以函数2cosfxxx在0,上的极大值为366f，极小值为55366f.15．已知函数2,lnfxxmgxxx.(1

)若函数Fxfxgx，求函数Fx的极值；(2)若222xxfxgxxexxe在0,4x时恒成立，求实数m的最小值.【答案】（1）()Fx的极大值是m，无极大值；（2）42ln44e.【分析】（1）先写函数Fxfxgx并求导，再

利用导数正负判断单调性和极值即可；（2）先分离参数(2)lnxmxexx，再研究函数最大值得到m的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）2()lnFxxxmx，定义域为(0,)，1(21)(1)()21xxFxxxx.()001Fxx

；()01Fxx；当x变化时，(),()FxFx的变化情况如下表:x(0,1)1(1,)()Fx-0+()Fx↘极小值↗由上表可得()Fx的极大值是(1)Fm，无极大值；（2）由2()()22xxfx

gxxexxe在(0,4)x时恒成立，即22ln22xxxmxxxexxe，整理为(2)lnxmxexx在(0,4)x时恒成立.设()(2)lnxhxxexx，则1()(1)xhxxex，当1

x时，10x，且1,1xeex，10,()0xehxx.当01x时，10x，设211,0,xxueueuxx在(0,1)上单调递增，当0x时，11,0xuexx；当1x时，10ue，

0(0,1)x，使得00010xuex∴当00,xx时，0u；当0,1xx时，0u.∴当00,xx时，()0hx；当0,1xx时，()0hx，故函数()hx在00,x上单调递增，在0,1x上单调递减，在(1,4)上单调递增.0

000000000122ln2212xhxxexxxxxxx.0000022(0,1),2,121xhxxxx，4(4)2ln440he，∴当(0,4)x时，()(4)hxh，(4),mhm的最

小值是42ln44e.【点睛】利用导数研究函数()fx的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()fx求导()fx；②在定义域内，解不等式()0fx和()0fx③写出单调区间，并判断极值点.解决

恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.16．已知函数2112fxx，2lnfxax（其中0a）.（1）求函数12fxfxfx的极值；（2）若函数121gxfxfxax在区间1ee,内有两个零点，求正实数a的

取值范围；（3）求证：当0x时，231ln04xxxe.（说明：e是自然对数的底数，2.71828e）【答案】（1）极小值为4ae，无极大值；（2）2211,222eee；（3）证明见解析.【分析】（1）2121(

)()()ln2fxfxfxaxx，利用导数求出其单调性，然后可得极值；（2）21()ln(1)2gxxaxax，利用导数求出其单调性，然后可建立不等式组求解；（3）问题等价于求证223

ln4xxxxe；设23()4xxhxe，利用导数求出其最大值，然后证明minmaxfxhx即可.【详解】（1）∵2121()()()ln2fxfxfxaxx，∴11()ln(2ln1)(0,0)22fxaxxaxaxxxa

，由0fx，得12xe，由0fx，得120xe，故函数fx在120,e上单调递减，在12e,上单调递增，所以函数fx的极小值为124afee，无极大值.（2）

函数21()ln(1)2gxxaxax，则2(1)()(1)()(1)axaxaxaxgxxaxxx，令0gx，∵0a，解得1x，或xa（舍去），当01x时，0gx，gx在0,1上单调递减；当1x时，

0gx，gx在1,上单调递增.函数gx在区间1ee,内有两个零点，只需10(1)0()0gegge，即2211021102(1)02aaeeaeaea，∴222122

12222eaeeaeeae，故实数a的取值范围是2211,222eee.（3）问题等价于223ln4xxxxe，由（1）知2lnfxxx的最小值为12e.设23()4xxhxe，(2)()xxxhx

e，易知hx在0,2上单调递增，在2,上单调递减.∴2max4324hxhe，∵221433142442eeee2223216(38)(2)044eeeeee

，∴minmaxfxhx，∴223ln4xxxxe，故当0x时，231ln04xxxe【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数范围时，需要结合函数的单调性和极值分析，然后建立不等式组求解.17．已知函数()()l

nfxxaxxa，aR．（1）设()()gxfx，求函数()gx的极值；（2）若1ae，试研究函数()fx的零点个数．【答案】（1）极小值为ln1gaa，无极大值；（2）1个．【分析】（1）先求得gx，然后求gx，对a分成0a和0a两种情况进行

分类讨论，结合单调性求得gx的极值.（2）首先判断fx在0,上递增，结合零点存在性定理判断出fx的零点个数.【详解】（1）()()lnfxxaxxa，aR，()()lnagxfx

xx，0x．221()axagxxxx，①当0a时，()0gx恒成立，()gx在(0,)上是增函数，无极值．②当0a时，xa，当(0,)xa时，()gx单调递减

；当(,)xa时，()gx单调递增，()gx的极小值ln1gaa，无极大值．（2）由（1）知，当1ae时，()gx的极小值1ln1ln10egaa，结合gx的单调性可知min()0gx，即()0fx恒成立．()fx在(0,)上是增函数，111

1112ln0faaaaeeeeeee，2()ln20eaeefaeeaaeae，()fx在1ee,中有一个零点，函数()()lnfxxaxxa的零点个数为1个．【点睛】方法点睛：利用导数解决

函数零点问题的方法：1.先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图像，然后将问题转化为函数图像与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；2.构造新函数，将问题转化为研究两函数的图像的交点问题；

3.分离参变量，即由()0fx分离参变量，得()ax，研究直线ya与()yx的图像的交点问题.18．已知函数2()(1),xfxaxeaR，在1x时取得极值.（1）求a的值；（2）求函数()fx的单调区间.【答案】（1）13；（2）函数()fx

的单调增区间是31，，，，单调减区间是3,1.【分析】（1）利用极值定义，列式()01f，求出a值并验证即可；（2）利用导数正负确定函数()fx的单调区间即可.【详解】解：（1）函数2()(1),x

fxaxeaR，则2()(21)xfxaxaxe，函数在1x时取得极值，故1(1)(21)=0faae，解得13a，此时21()(1)3xfxxe，2121()(1)=31333xxfxxxexxe，函数()fx确实在1x时取得

极小值.故a的值是13；（2）因为1()313xfxxxe，当31x，，时()0fx，当3,1x时()0fx，故函数()fx的单调增区间是31，，，，单调减区间是3,1.19．已知

函数32()(,)fxaxxbxabR，()()()gxfxfx是奇函数.（1）求fx的表达式；（2）求函数gx的极值.【答案】（1）321()3fxxx；（2）极大值423，极小值423.【分析】（1）求导2()32fxaxx

b，由()()()gxfxfx得到()gx的表达式，然后利用()gx是奇函数求解.（2）由（1）知31()23gxxx，求导2()2gxx，再利用极值的定义求解.【详解】（1）函数32

()(,)fxaxxbxabR，所以2()32fxaxxb，所以32()312gxaxaxbxb，因为()gx是奇函数，所以()()gxgx，所以3100ab，解得130ab，所以fx的表达式为321()3fxxx

.（2）由（1）知31()23gxxx，则2()2gxx，当2x或2x时，()0gx，gx递减；当22x时，()0gx，gx递增；所以当2x时，gx取得极大值423，当2x时，gx取得

极小值423.【点睛】本题主要考查函数导数的求法，利用奇偶性求函数解析式以及函数极值的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．已知函数lnfxaxbx.（1）当1,0ab时，求函数yfx的极值

；（2）当1,1ab时，求不等式22fxx的解集；（3）当1,1ab时，若当1,x，恒有1fxx成立，求实数的取值范围.【答案】（1）()fx有极小值1e，无极大值；（2）[1,)；（3）2.

【分析】（1）先代入参数对函数求导，令()0fx，列表判断单调性，即得极值情况；（2）先代入参数，将不等式移项整理，构造函数求导，研究其单调性，再利用单调性解不等式()(1)FxF，即得结果；（3）先代入参数，将恒成立式移项整理，构造函数求导，讨论其单调性，再利用单调性判断其最值满

足题意，即得结果；【详解】（1）当1,0,()ln,()1lnabfxxxfxx，定义域0,令()1ln0fxx，得1xe列表如下：x10,e1e1,e()fx-0+()fx↘

极小值↗∴当1xe时，()fx有极小值1111lnfeeee，无极大值；（2）当1,1,()(1)lnabfxxx令()()(22)(1)ln(22)Fxfxxxxx1()ln1Fxxx

令221111()ln1,()xuxxuxxxxx列表如下：x(0,1)1(1,)()ux-0+()ux↘极小值↗当1x时，()ux有极小值(1)ln1110u()0ux，即()0Fx≥()Fx在(0,)单调递增，(1)0F，故不等式2

2fxx即()0(1)FxF，故解集为[1,)；（3）当1,1,()(1)lnabfxxx，当(1,)x，恒有()(1)fxx成立，即(1,)x，恒有()(1)0fxx

成立.令()()(1)(1)ln(1)Gxfxxxxx1()ln1Gxxx令1()ln1vxxx，21()xvxx(1,),()0,()xvxvx在(1,)单调递增，()(1)2vxv①若

20，即2，()0vx，即()0Gx，即()Gx在(1,)单调递增.(1,)x()(1)0GxG成立.即2时，当(1,)x，恒有()(1)fxx成立.②若20，即

2，取1xe11ln110veeee()vx在(1,)单调递增，01,xe，使得00vx，∵当01,,()0xxvx，即()0Gx，()Gx在

01,x上单调递减0(1)0GxG，∴当(1,)x时，()0Gx不恒成立，即()(1)fxx不恒成立.综上：2.【点睛】利用导数研究函数()fx极值的步骤：①写定义域，对函数()fx求导()fx；②在定义域内，解不等

式()0fx和()0fx③根据单调性判断函数极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.21．已知函数()ln2fxaxxx(aR).（1）讨论()fx的极值；（2）若a＝2，且当2ex

时，不等式2()(ln)4ln2mfxxx恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）21e，.【分析】(1)先写定义域求导，对a分类讨论研究函数导数的正负，即确定函数的单调性和极值情况；(2)a＝2时令lnxt化简不等式得2

2242ttmteett，讨论t进行参数分离，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题，即得结果.【详解】解：（1）由题意，函数fx的定义域为0，，且ln2fxaxa∴（i）当a=0时，20fx恒成立，则fx在定义域上单调递

增，此时无极值；（ii）当a≠0时，2ln1fxaxa，可令0fx，解得21axe，所以①当0a时，且当210axe时，此时0fx，即fx单调递减；当21axe时，此时0fx，

即fx单调递增，则fx的极小值为21afe=21aae，无极大值；②当0a时，且当210axe时，此时0fx，即fx单调递增；当21axe时，此时0fx，即fx单调递减，则fx

的极大值为21afe=21aae，无极小值；综上所述，当a=0时，fx无极值；当0a时，fx有极小值21aae，无极大值；当0a时，fx有极大值21aae，无极小值.（2）若a＝2，2ln2fxxxx，不等式化为

22ln2ln4ln2mxxxxx则令ln2xtt，，，则不等式化为22242ttmteett，所以①当21t时，参变分离得2242422222tttttttmteeet，设24222tttgtet

，22222242202221tttetttttgtetet，则gt在21，上单调递增，∴2min2mgtge.②当1t时，不等式化为0>-1，显然成立.③当1t时，24222tttmet

，则22221tttgtet，可令0gt，解得0t，且当10t时，0gt，即gt单调递增；当0t时，0gt，即gt单调递减，所以max01gtg，所以max1mgt.综上所述，要使不等式恒成立，需实数m的取

值范围为21e，.【点睛】利用导数研究函数()fx的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()fx求导()fx；②在定义域内，解不等式()0fx和()0fx③写出单调区间，并判断极值点.

解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.22．已知函数2xfxxe.（1）求fx的极值；（2）若函数yfxax在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）极大值为24e，极小值为0；（2）10a

e.【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可分析函数的单调性，进而可求函数的极值；（2）“函数2xyxeax，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程xaxe有两个非零实根”.构造函数，对其求导，然后结合导数及函数的性质可求.【详解】

解：由题意可知函数fx的定义域为R.（1）因为2xfxxe.所以22xfxexx，由0fx，得12x，20x，当2x时，0fx，函数单调递增，当20x时，0fx，函

数单调递减，当0x时，0fx，函数单调递增，因此，当2x时，fx有极大值，并且极大值为242fe；当0x时，fx有极小值，并且极小值为00f.（2）因为2xyfxaxxeax

，所以0x为一个零点.所以“函数2xyxeax，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程xaxe有两个非零实根”.令xhxxe，则1xhxxe，所以，当1x时，0hx，hx在,1上单调递减；当1x时，0hx，hx在

1,上单调递增；当1x时，hx有最小值11he，0x时，0hx，0x时，0hx.若方程xaxe有两个非零实根，则11hae，即1ae.若0a，方程xaxe只有一个非零实根，所以0a.综上，10ae.【点睛】本题考查函数极值

的求解，利用导数研究函数零点的个数，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.23．函数32392fxxxx.（1）求fx的极大值和极小值；（2）已知fx在区间D上的最大值为20，以下3个区间D的备选区间中，哪些是符合已知条件的？哪些不符合？

请说明理由.①[]3,2-；②22,；③3,1【答案】（1）极大值25，极小值-7；（2）区间①③不符，区间②符合，理由见解析.【分析】（1）先求解出fx，根据0fx分析得到fx的单调性，从而fx

的极值可求；（2）根据fx在所给区间上的单调性以及极值，分析得到fx的最大值，由此判断所给区间是否符合条件.【详解】(1)2369313fxxxxx，令0fx，1x或3x，当,1x时0fx，当1,3x时0fx

，当3,x时0fx，fx在,1和3,上单调递减，在1,3上单调递增，fx的极大值为32333393225f，fx极小值为113927f(2)当区间D为①时，fx在3,1上递减

，在1,2上递增，323=3333922520f，283492220f，所以max25fx，不符合；当区间D为②时，fx在2,1上递减，在1,2上递增，2834292020f，283492220f

，所以max20fx，符合；当区间为③时，fx在3,1上递减，在1,1上递增，323=3333922520f，113929f，所以max25fx，不符合

，综上可知：区间①③不符，区间②符合.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数最值的思路：（1）若所给的闭区间,ab不含参数，则只需对fx求导，并求0fx在区间,ab内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与

,fafb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（2）若所给的区间,ab含有参数，则需对fx求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数fx的最值.24．已知函数xxfxxeem.（1）求函数fx的

极小值；（2）关于x的不等式30fxx在1,13x上存在解，求实数m的取值范围.【答案】（1）1m；（2）,1.【分析】（1）利用导数分析函数fx的单调性，由此可求得函数fx的极小值；（2）由参变量分离法得出3xxmxexe在

区间1,13上有解，令3xxgxxexe，可得出maxmgx，利用导数求出函数gx在区间1,13上的最大值，进而可得出实数m的取值范围.【详解】（1）因为xxfxxeem，所以，1xxxfxxeexe

.当0x时，0fx；当0x时，0fx.故fx在,0上单调递减，在0,上单调递增，所以函数fx的极小值为01fm；（2）由30fxx得3xxmxexe，令3xxgxxexe，由30fxx在1,1

3有解知，maxmgx，23e3xxgxxxxxe，令3xhxxe，则3xhxe.当ln3x时，0hx；当ln3x时，0hx.所以，函数hx在区

间,ln3上单调递增，在区间ln3,上单调递减，所以，函数hx在区间1,13上单调递增，131103he，130he，所以，01,13x，使得00hx，即00gx，且当013xx时，0hx

，0gx，此时函数gx单调递减，则1311213273gxge；当01xx时，0hx，0gx，此时函数gx单调递增，则11gxg.所以，当1,13x

时，max1max,1113gxggg，则1m.综上所述，实数m的取值范围是,1.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用导数求解函数不等式在区间上有解的问题，考查参变量分离法的应

用，属于中等题.25．已知函数3211()ln2()32fxxxxaxaR.（Ⅰ）当12a时，求函数()fx的单调区间（Ⅱ）设3211()()232gxfxxx，若函数()gx在221,xee有两个零点，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）在(0,1)单调递增

，在(1,)单调递减；（Ⅱ）22,2eae.【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导函数的正负得函数的增减区间.（Ⅱ）分离常数转化为两个函数图像的交点个数，再利用求导求函数的值域，最后得参数范围.【详解】（Ⅰ）当12a

时,3211()ln()32fxxxxxaR则32211()1xxxfxxxxx()fx定义域为0,()0fx时，得3210xxx，解得01x()fx的单调增区间为(0,1)()0f

x时，得3210xxx，解得1x()fx的单调减区间为(1,)（Ⅱ）3211()()2ln2232gxfxxxxax因为函数()gx在221,xee有两个零点所以ln220xax在221,xee

有两个实根即ln22xax在221,xee有两个实根所以函数ln2()xhxx与2ya图象有两个交点2ln1()xhxx令2ln1()=0xhxx解得1xe当211,x

ee时，()0hx，()hx单调递增；当21,xee时，()0hx，()hx单调递减所以1xe为极大值点，()hx取得极大值，也是最大值max1()hxhee又210he，224hee因为函数ln2()x

hxx与2ya图象有两个交点所以242[,)aee所以22,2eae.【点睛】本题求函数的单调区间和最值问题，都是利用导函数来解决.利用导数求单调区间和极值一般步骤为：求函数的定义域求导令导函数大于0.解得对应x范围即为增

区间；令导函数小于0.解得对应x范围即为减区间最后判断极值点求出极值求出特定区间的端点对应的函数值，与极值比较得最值.26．已知函数323()2fxxxa的极大值为2.（1）求a的值和fx的极小值；（2）求fx在2x处的切线方程.【答案】（1）2a，极小值为32；（2

）680xy.【分析】（1）对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出极大值，根据题中条件，求出2a，即可得出极小值；（2）根据（1）的结果，先得到323()22fxxx，24f，再由导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】（1）

由323()2fxxxa得23331fxxxxx，令01fxx或0x，令()001fxx，所以fx在(,0)和(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

故fx在0x处取极大值02fa，即2a.则fx在1x处取得极小值33(1)1222f；（2）由（1）知323()22fxxx，故24f，由导数的几何意义可得，

fx在2x处的切线斜率为26f.故其切线方程为：462yx，即680xy.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数极值的一般有以下几个步骤：（1）对函数求导；（2）解导函数对应的不等式，得出

单调区间；（3）由极值的概念，结合单调性，即可得出极值.27．已知函数lnfxaxxaR.（1）讨论fx的极值；（2）若方程2lnaefxxx在1,e上有实数解，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）24,1ee

.【分析】（1）求出函数的导数，分为0a和0a两种情形讨论函数的单调性，进而得极值；（2）题意等价于22lnaehxaxxxx在1,e上有实数解，对函数进行求导，当0a时，0hx恒成立；当0a

时，通过判断单调性及最值可得结果.【详解】（1）函数lnfxaxxaR的定义域是0,，由已知可得110axfxaxxx.当0a时，0fx，fx在0,上单调递减.此时fx无极值；当0a

时，令0fx，解得1xa.当10xa时，0fx，fx单调递减；当1xa时，0fx，fx单调递增.所以fx有极小值111ln1lnfaaa，无极大值.综

上，当0a时，fx无极值；当0a时，fx的极小值为1lna，无极大值.（2）令22ln2lnaeaehxfxxaxxxxx.方程2lnaefxxx在1,e上有实数解，即hx在1,e上有零

点.当0a，1,xe时，0aaxx，22ln0exx，所以0hx，此时不存在零点.当0a时，22222222aeaxxaehxaxxxx.因为1,xe，所以220ex，20axa，所以0hx，故hx在1,e上单调递增

.所以min120hxhe，max4ahxheaee.所以要使hx在1,e上有零点，则max0hx，即40aaee，解得241eae.即a的取值范围是24,1e

e.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合

法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解28．设函数32()fxaxbxc，其中0ab，a，b，c均为常数，曲线yfx在11f，处的切线方程为10xy.（

1）求a，b，c的值；（2）求函数fx的极值.【答案】（1）1a，1b，0c=；（2）极小值为0，极大值为427.【分析】（1）由导数的几何意义可得(1)321fab，再由点11f，在切线上即可得解；（2）利用导数确定函数的单调性，结合极值的概念即可

得解.【详解】（1）因为2()32fxaxbx，切线10xy的斜率为1，所以(1)321fab，又0ab，所以1,1ab，所以1fabcc，由点1,c在直线10xy上，可得110c，即0c

=，所以1,1,0abc；（2）由（1）得32()fxxx=-+，则2()3232fxxxxx，当2,0,3x时，()0fx；当20,3x时，()0fx；所以()fx的单调增区间为20,3，减区

间为2,0,,3，所以函数fx的极小值为00f，极大值为2844327927f.29．已知函数22ln2fxaxaxx，其中aR.（1）当4a时，求函数fx的极值；（2）若0

2a，试讨论函数fx在1,e上的零点个数.【答案】（1）当12x时，函数取得极大值16ln22f，当1x时，函数取得极小值14f；（2）当201aee时，fx在1,e上有唯一零点，当221aee时，f

x在1,e上没有零点．【分析】（1）把4a代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．【详解】（1）当4a时，246ln2fxxxx，2

22211624xxfxxxx，0x，令0fx得10,2或1,，0fx得1,12所以函数fx在1,12上单调递减，在10,2

，1,上单调递增所以当12x时，函数取得极大值16ln22f，当1x时，函数取得极小值14f，（2）222122axxafxaxxx，令0fx得12xa或21

x因为02a，所以21a，所以当2ea，即20ae时，fx在1,e上单调递减，若函数fx有零点，则1020fafeaeae，解得：201aee，若函数

fx无零点，则20feaeae，即221aeee当21ea时，即22ae时，fx在21,a上单调递减，在2,ea上单调递增，由于10fa，22241

120feaeeeeee，令2ln1l222n242lnn222lgafaaaaaaa，令2lnln2hagaaa，则220ahaa，所以ha在2,2e上递减，21

0hah，即'0ga，所以ga在2,2e上递增，2420gagee，即20fa，所以fx在1,e上没有零点，综上，当201aee时，fx在1,e上有唯一零点，当221aee时，fx在1

,e上没有零点．【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．30．如图，等腰梯形ABCD中，//ADBC，ABCD，BC中点为O，连接DO，已知2DO，20BCaa，设DOC，0,2，梯形ABCD的面

积为f；（1）求函数yf的表达式；（2）当2a时，求yf的极值；（3）若()2f对定义域内的一切都成立，求a的取值范围.【答案】（1）f4sin2sin2，0,2；（2）33；（3）2a

【分析】（1）分别计算OCD，ABO，AOD△的面积，得到函数yf的表达式；（2）利用导数研究函数的极值；（3）由()2f，0,2恒成立，转化为sin2sina，0,2恒

成立，再构造函数sin2()sing，0,2，利用导数研究函数()g的最值，需多次构造函数利用导数研究函数的单调性最值，最终证得()g在(0,)2递增，得到答案.【详解】（1）连接AO，作AMB

C于M，DNBC于N，如图所示则1sin2ODCABOSSODOCsina，又24cosADON，则1sin4cossin2sin22AODSADOD故yf2DOCAODSS2sin2sin2a

，0,2（2）由2a，则yf4sin2sin2，0,2，则2()4cos4cos24(2coscos1)4(2cos1)(cos1)f，由0,2，则cos10，当(0,)3

时，()0f，当(,)32时，()0f，故()f在(0,)3递增，在(,)32递减，故yf的极值为()3f24sin2sin3333（3）由()2f，0,2

恒成立，则2sin2sin22a，0,2恒成立，则sin2sina，0,2恒成立，令sin2()sing，0,2，则()2cossing，0,2，令()sinh

，0,2，则2sincos()sinh，0,2，令()sincosu，0,2，则()sin0u，则()u在(0,)2

递增，则()(0)0uu，则()0h，则()h在(0,)2递增，则()g在(0,)2递增，则()()22gg，故2a【点睛】本题考查了三角形的面积公式，利用导数研究函数的单调性和

最值，考查了学生分析推理能力，考查了分离变量，构造函数等基本技巧，研究函数性质时，需多次构造函数，利用导数研究函数的单调性最值，难度较大.