【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习核心考点重难点练习04《五种平面向量数学思想》(解析版).doc，共(39)页，2.373 MB，由MTyang资料小铺上传

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重难点04五种平面向量数学思想OAB题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·浙江·高三专题练习）已知在OAB中，2OAOB，23AB，动点P位于线段AB上，当·PAPO取得最小值时，向量PA与PO的夹角的余弦值为（）A．277B．277C．217D

．217【答案】C【解析】由已知得6OAB，再由向量数量积的定义表示PAPO，根据二次函数的性质求得其最值，再由向量夹角公式可得选项.【详解】因为在OAB中，2OAOB，23AB，所以6OAB，所以PAPOPA225+|cos|36PAAOPAPAAOPAPA

2333244PA，当且仅当32PA时取等号，因此在OAP△中，3337422,4222PO所以向量PA与PO的夹角的余弦值为7342144773222，故选：C.【点睛】关键点点睛：根据已知向量建立关于向

量的模PA的二次函数，利用二次函数确定取得最值时，PA的值.2．（2020·陕西省洛南中学高三阶段练习（文））已知向量(,)mab，向量mn且||||mn，则n的坐标为（）A．,abB．,abC．,baD．,ba【答案】C【分析】设n的坐标为

,xy，由向量垂直的坐标表示和向量的模的计算求得选项.【详解】设n的坐标为,xy，又向量(,)mab，向量mn且||||mn，所以22220axbyabxy，解得xbya或xbya，故选：C.【点睛】本题考查向量垂直

的坐标表示和向量的模的坐标运算，属于基础题.3．（2020·广东珠海·高三阶段练习）已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则APBP的最大值是（）A．14B．2C．1D．12【答案】C【分析】构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设(,)Pxy则可

用坐标表示22APBPxxy，由于,xy是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x和y的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为APBP的最大值【详解】构建以A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系，如下图示：由正方形AB

CD边长为1，知：(1,0),(1,1),(0,1)BCD，若令(,)Pxy，即(,)APxy，(1,)BPxy；∴22APBPxxy，而01x，01y，则2211()()24fxxx

x在01x上0x或1x有最大值为0，2()gyy在01y上1y有最大值为1；∴APBP的最大值为1故选：C【点睛】本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值

4．（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD中，2ABAD，60DAB，对角线AC与BD相交于点O，点M是线段BC上一点，则OMCM的最小值为（）A．916B．916C．12D．12【答案】

A【分析】以BD的中点为坐标原点，以BD所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求出直线BC的方程为33yx，设点(,33)Mxx，(10)x，求出OMCM的解析式，再利用二次函数求出函数的最小值即得解.【详解】如图所示，以BD的中点为坐标原

点，以BD所在直线为x轴，以CA所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则(1,0),(0,3)BC，所以直线BC的方程为33yx，设点(,33)Mxx，(10)x，所以(,33),(,3)OMxxCMxx，所以2

223343OMCMxxxxx，当38x时，OMCM取到最小值916.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和运算，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解决本题的关键是联想到建立坐标系利用坐标来研究.5．（2020·全国

·高三（文））已知向量1,2,2,2ab，且ab，则等于（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【分析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解．【详解】因为(1,2),(2,2)ab，且ab，·22(2)0ab，则1．故选：D．【点睛】本题主要考查了向量垂直

的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．二、多选题6．（2020·广东·高三专题练习）已知不共线的两个单位向量,ab，若向量2akb与2akb的夹角为锐角，则符合上述条件的k值可以是（）A．1B．1C．2D

．3【答案】AB【分析】向量夹角为锐角时，数量积应大于0，从而求得参数.【详解】因为向量2akb与2akb的夹角为锐角，所以222222440akbakbakbk且22akbakb，所以22k且0k，即20k或02k，观察各选

项可知符合条件的k值可以是1，1.故选：AB．三、双空题7．（2020·全国·高三专题练习（文））已知向量a、b的夹角为45，且4a，1(23)122abab，则b_______，b在a方向上的投影等于_______.【

答案】21【解析】根据条件可求得22||abb,进行数量积的运算,便可由1(23)122abab得出23||2||40bb,解该方程即可求得||b的值;根据投影的计算公式即可得出b在a方向上的

投影.【详解】根据条件,||||cos4522||ababb;22211(23)3162||3||1222ababaabbbb;23||2||40bb;解得||2b或223(舍去);(2)b在a上的投影为2

||cos45212b，故答案为：2；1.【点睛】本题考查向量的数量积运算，关键在于准确地运用相应的公式，理解向量数量积的含义，属于基础题.8．（2019·浙江杭州·高三阶段练习）若向量a，b满足2||3||6abrr，则|23

||23|ababrrrr的最小值为________，最大值为________．【答案】12122【分析】设a，b的夹角为，根据向量的运算，得到所以7272cos7272cosy，结合三角函数的性质，即可求解．【详解】由题意，设|23||23|yabab

rr，a，b的夹角为，则22|23|(2)(3)12abababrrrrrr7272cos，22|23|(2)(3)127272cosabababrrrrrr，所以|23|aybrr|23|7272cos7272cosabrr

，所以27272cos7272cos2y22721cos1441441cos，因为201cos1，所以2144288y，所以12122y，故|23||23|ababrrrr的最小值

为12，最大值为122．故答案为：12，122【点睛】本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理、数学运算能力．四、填空题9．（2022·浙江·高三专题练习）ABC中，(32)0ABACB

C，且对于tR，||BAtBC最小值为6||5BC，则BAC_____.【答案】4【解析】利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简320ABACBC，可得到22255bca，化简2BAtBC，并利

用二次函数求最值，求出2BAtBC的最小值，且使最小值等于23625a，可得2285ca，进而得出2295ba，最后利用余弦定理即可得解.【详解】设ABc，BCa，ACb，32ABACBC

32ABACACAB2223bcACAB2223cosbcbcBAC22222232bcabc320ABACBC，222222302bcabc，2

2255bca，2BAtBC2222cosctatacB22222222acbctat222245atatc222224525atcaBAtBC的最小值为22425ca，2224362525caa，解得22

85ca，2295ba，2222222298255cos2298255aaabcaBACbcaa，02BAC，4BAC.故答案为：4.【点睛】本题考查了向量的减法运算和数量积，余弦定理以及二次函数求最值问题，考查学生的运算求解能力，属于综合题，难度较

大.利用向量的减法运算和数量积，并借助余弦定理，化简320ABACBC，得出三角形三边的关系是解题的关键.10．（2020·浙江·高三专题练习）如图，已知正方形ABCD，点E，F分别为线段BC，CD上的动点，且2BECF，设ACxAEyAF

（x，yR），则xy的最大值为______.【答案】212【解析】设边长为1，CFa，建立直角坐标系，求得,,ACAEAF的坐标，根据题设用a表示出xy，再利用函数的性质，即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1

，CFa，则(0,0),(1,1),(1,2),(1,1)ACEaFa，可得(1,1),(1,2),(1,1)ACAEaAFa，由,(,)ACxAEyAFxyR，可得(1)121xayaxy，解得2212,(221221

aaxyaaaa其中10)2a，所以21221axyaa，令11[,1]2ta，则211211221222222txytttt，当且仅当22t时，即212a时取等号

，所以xy的最大值为212．故答案为：212．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理

与运算能力．11．（2020·江苏·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，90CBACAD，30ACD，ABBC，点E在线段BC上，且3BCBE，若(,)ACADAER，则的值为_______.

【答案】3【解析】根据题意要求的值，则要求出ACADAE中,的值，故考虑以点B为原点，建立直角坐标系，然后按照两向量相等，则对应坐标相等，进而可求解.【详解】解:如图建立直角坐标系：设ABBCt

，则,0At，0,Ct，点E在线段BC上，且3BCBE，所以()0,3tE，因为在RtADC中，2ACt，30ACD，所以63ADt，由题知RtABC，是等腰三角形.所以45DAF，所以33DFAFt，331

,t33Dt，,ACtt，33,33ADtt，,3tAEt，若(,)ACADAER，则33(,),,333tttttt，3133133

，解得32，32，所以3.故答案为：3.【点睛】本题考查向量的线性运算，当直接运用向量的三角形法则与平行四边形法则较困难时，可借助坐标，转化成两向量相等，则对应坐标相等，进而通过方程思想来求解.题型二：数形结合思想一、单选题1．（2

022·四川眉山·三模（理））下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面

的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上.已知8mAB，16mBO，12mPO，0PBPC.根据物理学知识得11222PAPBPCPDPO，则CD（）A．28mB．20mC．31mD．22m【答案】D【分析】由0PBPC，得PBPC

，则可得2POOBOC，可求得9mOC，M，N分别为,ABCD的中点，则由已知可得O为MN的中点，再结合已知的数据可求得结果【详解】因为0PBPC，所以PBPC，因为POBC，所以PO

C△∽BOP△，所以POOCOBPO，所以2POOBOC，因为16mBO，12mPO，所以9mOC，设M，N分别为,ABCD的中点，因为11222PAPBPCPDPO，所以2PMPNPO，所以O为MN的中点，因为8mAB，16mBO，所以20mOM，所

以20mON，所以20911mCNONOC，所以222mCDCN故选：D2．（2021·河南省杞县高中高三阶段练习（理））若点M是ABC所在平面内一点，且满足63AMABAC，则::MABMCBMACSSS△△△（）A．1:2:3B．1:2:

4C．2:3:4D．2:4:5【答案】A【分析】在平面内取点D，使得64AMAD，进而得到,BDDC及,AMMD间的关系，进而求得各三角形面积的比例.【详解】在平面内取点D，使得2643AMADAMAD，则由433

0303ADABACADABADACBDCDDCBD.如图所示：设MDBSS，所以3,4MDCMCBSSSS，由22233AMADAMAMMDAMMD，则2,3MABDA

BSSSS，再由3BDDC可得9DACSS，所以936MACSSSS.于是::2:4:61:2:3MABMCBMACSSSSSS△△△.故选：A.二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如

图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形224xy.其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题:其中所有正确结论的序号是（）A．在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12；B．当32a时，直线2yaxa与白色部分有公共点；C．黑色阴影部分

（包括黑白交界处）中一点,xy，则xy的最大值为21；D．若点0,1P，MN为圆224xy过点P的直径，线段AB是圆224xy所有过点P的弦中最短的弦，则AMBNAB的值为12.【答案】ACD【分析】根据几何概型的概率公式可判断A的正

误；计算直线与圆的位置关系以及数形结合可判断B的正误；利用点到直线的距离公式以及数形结合可判断C的正误；求出点A、B、M、N的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可判断D的正误.【详解】对于A，设黑色部分区域的面积为1S，整个圆的面积为S，由对称性可知，112

SS，所以，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率为112SPS，故A正确；对于B，当32a时，直线的方程为332yx，即3260xy，圆心0,0到直线3260xy的距离为2266

1321332，下方白色小圆的方程为2211xy，圆心为0,1，半径为1，圆心0,1到直线3260xy的距离为224411332d，如下图所示：由图可知，直线332yx

与与白色部分无公共点，故B错误；对于C，黑色阴影部分小圆的方程为2211xy，设zxy，如下图所示：当直线zxy与圆2211xy相切时，z取得最大值，且圆2211xy的圆心坐标为

0,1，半径为1，可得112z，解得12z，由图可知，0z，故max21z，故C正确；对于D，由于MN是圆224xy中过点0,1P的直径，则M、N为圆224xy与y轴的两个交点，可设0,2M、0,2N，

当ABy轴时，AB取最小值，则直线AB的方程为1y，可设点3,1A、3,1B，所以3,1AM，3,3BN，23,0AB，23,4AMBN，所以12AMBNAB，故D正确.故选：ACD4．（2021·河北·石家庄一中高三阶段练习）八

卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA，则下列结论正确的有（）A．22OAODB．2OBOHOEC．AHHOBCBOD．向量DE在向量AB上的投影向量为22AB【答案】ABD【分析】直

接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：图2中的正八边形ABCDEFGH，其中||1OA，对于A32:11cos42OAOD，故A正确；对于B:22OBOHOAOE，故B正确；对于C：因为|

|||AHBC，||||HOBO，58AHHO，38BCBO，则5cos,cos8AHHOAHHOAHHOAHHO，3cos,cos8BCBOBCBOBCBOBCBO，所以AHHOBCBO，故C错误；对于D：因为DEAHu

uuruuur，所以向量DE在向量AB上的投影向量即为AH在AB向量上的投影向量32cos42ABAHABAB，故D正确．故选：ABD．5．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形OABC和四

边形ODEF为正方形30OCOD，12DAOB，则下列说法正确的是（）A．||3OAB．||1OEC．3AOCFD．2DADF【答案】ACD【分析】如图建立平面直角坐标系，用坐标表示出点和向量，求出两个正方形的边长，再利用向

量的坐标计算即可【详解】如图建立平面直角坐标系，因为30OCOD，所以3OCOD，设ODa（0a），则(0,3),(0,0),(3,3),(,0),(3,0)AaOBaaDaCa，因为222(,3)(3,3)391212DAOBaaaaaaa

，所以1a，对于A，33OAa，所以A正确，对于B，22112OE，所以B错误，对于C，(0,3)(3,1)3AOCF，所以C正确，对于D，(1,3)(1,1)2DADF，所以D正确，故选：ACD6．（2022·山东·高三开学考试）在△AB

C中，内角,,ABC所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）A．sinsinsinsinbabcBABCB．若AB，则sin2sin2ABC．coscosabCcBD．若()0ABACBCABAC，且，则

△ABC为等边三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令,36AB可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有sincossincossinBCCBA，由正弦定理即可证

；D若,ABACAEAFABAC，AEAFAG，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知△ABC的形状.【详解】A：由sinsinsinabcABC，根据等比的性质有sinsinsinsinbabcBABC

，正确；B：当,36AB时，有sin2sin2AB，错误；C：sincossincossin()BCCBBC，而BCA，即sincossincossinBCCBA，由正弦定理易得coscosabCcB，正确；D：如下图，,ABACAEAFABAC是单位向量

，则ABACABACAEAFAG，即0AGBC、12AEAFuuuruuur，则AGBC且AG平分BAC，,AEAF的夹角为3，易知△ABC为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形

中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.三、填空题7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知单位向量e，向量12aa,满足方程(1,2)iieaeai，且12(1)tata

e，则12aa的最小值为___________.【答案】2【分析】首先需要将向量用坐标表示，通过题中的已知条件，可以得出向量12aa,的运动轨迹，根据已知条件12(1)tatae可以推断出、、ABC三点共线，作出图像，结合图像进行求解.

【详解】设111222(0,1),(,),(,)eaxyaxy，因为向量12aa,满足方程(1,2)iieaeai，∴111(,1)eaxy，∴221111()(1)01xyxy，整理得21

11122yx，同理可得，2221122yx.故1122(,),(,)xyxy得运动轨迹为21122yx=+，如图所示：(0,1)OCe，12,OAaOBa.又12(1)tatae，故、、ABC三点共

线，据图可以看出，当且仅当OCAB时，12aa，12aa的值最小为22e.故答案为：2.8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量,,,abcd（互不相等），a与b的夹角为6，bccaba，0abacdbdc，若,admM，则Mm

__________．【答案】5【分析】构图，设,,,OAaOBbOCcODd，根据题设条件||||bccaba可以判定,,OBC三点共线，又0abacdbdc，所以,ABACDBDC，则点A，D在以BC为直径的圆E上，运用数量积的几何意

义即可求解【详解】如图，设,,,OAaOBbOCcODd，则6AOB，由||||bccaba得，,bc共线，即,,OBC三点共线；且sinsinsinsinsinsin66OBOCOABOACOABOACABAC，即OABOAC；又

0abacdbdc，得,ABACDBDC，即点A，D在以BC为直径的圆E上．所以4OAB，所以512EABEBA，从而6AEBAOB，不妨设2BCr，则,3OAAE

rOEr，过E作EHOA于H，所以32OHr，所以2min12madOAOHrr，2max52MadOAOHrr，∴5Mm．故答案为：5．9．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知平面向量,ab满足||3||3ba，若223R

cab，且||||cacabb，则cos,3aac的最小值为___________.【答案】357【分析】根据题意作出图形，设aOA，bOB，cOC，12OAa，23aOA，13bOB，则11

1RcOAOB，再根据题意得点C是直线11AB与AOB的角平分线的交点，得到11113162BCOBCAOA，进而得到2cos,3cosaacCAO，求解计算即可.【详解】如下图所示，设aOA，bOB，cOC，12OAa，2

3aOA，13bOB，因为(22)3(R)cab，所以111RcOAOB，因此点C在直线11AB上，又由于||||cacabb，因此OC是AOB的角平分

线，因此点C是直线11AB与AOB的角平分线的交点.根据角平分线的性质可11113162BCOBCAOA.过点C作1OB的平行线交1OA于点M，则11122,233OMOACMOB.因此点C在以M为圆心，半径为2的圆上运动由于22cos,3co

s,cosaacOACACAO，由此当直线2AC相切于M时，2CAO有最大值，2cosCAO有最小值.设此时切点为0C，则02MC，27MA，故0235cos7CAO.综合上述，cos,3aac的最小值为357.故答案为：357.【点睛】与平面向量有关的

最值问题，常见处理方法有两种：第一种：利用坐标进行转化；第二种：利用点的几何意义转化成轨迹问题求解.10．（2022·湖南·长郡中学一模）在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心作单位圆，分别交AB，AD于E，F两点，点P是EF上一点，则PBPD的取值范围为__________．【答案】13

2,2【分析】建立直角坐标系，设出各个点以及点P的坐标，根据向量的坐标表示，再利用三角函数求值域的方法得出PBPD的取值范围.【详解】根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知00A，，30B，，33C，，03D，．设点πcos,sin02P

，3cos,sincos,3sinPBPDcos3cossin3sin13sin3cosπ132sin4．又π02，则ππ3π444，所以2πsin124

，所以π132132sin24，即PBPD的取值范围为132,2，故答案为：132,2．11．（2022·四川达州·二模（理））如图，在梯形ABCD中，//ABDC，10AB，7BC，2CD，

5AD，则ACBD___________.【答案】15【分析】作DEAB，CFAB，在RtADE△和RtBCF中，利用勾股定理可构造方程求得CF和AE的长；以E为坐标原点建立平面直角坐标系，利用平

面向量坐标运算可计算得到结果.【详解】作DEAB，CFAB，垂足分别为,EF，设DECFh，AEx，则8BFx，在RtADE△和RtBCF中，由勾股定理得：222225849xhxh，解得：52532xh

；以E为坐标原点，,EBED正方向为,xy轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则5,02A，532,2C，15,02B，530,2D，953,22AC

，1553,22BD，9155353152222ACBD.故答案为：15.12．（2022·陕西·西安中学高三阶段练习（理））在ABC中，4,6ABAC，若O为ABC外接圆的圆心，则AOBC的值为__________．【答案】10【分

析】作出边,ABAC垂线，利用向量的运算将BC用,ABAC表示，得有向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积即可求得答案【详解】过O作,OSABOTAC，垂足分别为,ST，因为O为ABC外接圆的圆心，所

以,ST分别为,ABAC的中点，所以AOBCAOACABAOACAOABcoscosAOACOACAOABOABACATABAS64641022,故答案为：1013．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知平面向量,,

,abcd满足||||2,0,|2|2ababbc，若()(2)4dadb，则||cd的取值范围为_________.【答案】0,410【分析】建立平面直角坐标系，可知C在以0,1C为圆心，1

为半径的圆上，D在以1,2D为圆心3为半径的圆内（含边界），利用向量的模长公式及三角不等式，数形结合可求解.【详解】0ab，ab如图建立平面直角坐标系，且(2,0),(0,2)aOAbOB，设(,)cOCxy，则2(2,22)2bcxy，22(2)22

4xy，即2211xy,知C在以0,1C为圆心，1为半径的圆上，设(,)dODmn，则()(2)(2,)(,4)(2)(4)4dadbmnmnmmnn，即22(1)29

mn,知D在以1,2D为圆心3为半径的圆内（含边界）作出图像，如图所示：当点C取1C时，点D取1D时，OC与OD是相反向量，此时||0cd；||cdOCODOCCCODDDOCODCCDD当且仅当OCO

D与CCDD同向时等号成立，又(1,3)10OCOD，即||10cdCCDD由图像可知CC与DD可以同向，此时max134CCDD∴||cd的取值范围为0,104故答案为：0,

104【点睛】方法点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：平行四边形法则和三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较

简单）．题型三：分类与整合思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1,2ax，0,2b，则2aab的最大值为（）A．22B．2C．2D．1【答案】D【分析】根据题意可得22441axab

x，分0x和0x两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：由向量1,2ax，0,2b，得22441axabx，当0x时，20aab，当0x时，2244411411424abxxxxxxa，当且仅当14xx，即12x时，取等号，综上

2aab的最大值为1.故选：D.2．（2020·全国·高三专题练习（文））正项等比数列{}na，mnpq，“mnpqaaaa”是“mnpq”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先判断是否是充分条件，可令m

npq，显示条件成立，但结论不成立，故不充分；再证是否是必要条件，不妨假设m最大，则n最小，且0mpqn，设{}na公比为,0xx再得到()mnpqxxxx(1)()mppnxxx，对x分01x，

1x，1x讨论，可证得mnpqxxxx，从而得到mnpqaaaa，得到答案.【详解】解：设正项等比数列{}na的公比为(0)xx，因为mnpq，当mnpqaaaa时，令mnpq，不等式成立，但是mnpq不成立；故“mnpqaaaa

”是“mnpq”的不充分条件；当mnpq时，显然,,,mnpq互不相等，设{}na公比为,0xxmnpqaaaa等价于1111mnpqxxxx，即mnpqxxxx，因为mnpq，mnpq，所以(

)mpqmpq，即()()0mpmq，不妨假设m最大，所以n最小，所以0mpqn，()mnpqxxxx(1)(1)pmpnqnxxxx(1)()mppnxxx当1x时，1mpx，pnxx，∴m

npqxxxx；当1x时，mnpqxxxx；当01x时，1mpx，pnxx，∴mnpqxxxx；综上知，当mnpq时，有mnpqaaaa，故“mnpqaaaa”是“mnpq”的必要条件.即

“mnpqaaaa”是“mnpq”的必要不充分条件.故选：B．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的通项公式及性质，作差法比较厌，还考查了学生的分析推理能力，转化与化归思想，难度较大.3．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形ABCD中，ACBD

，22BDABBC，23ACCD，点E在四边形ABCD上运动，则EBED的最小值是（）A．3B．1C．3D．4【答案】C【分析】由题意分析可知四线性ABCD关于直线BD对称，且BCCD，只需考虑点E在边,BCCD上的运动情况即可，然后分类讨论求出EBE

D的最小值.【详解】如图所示，因为ACBD，且ABBC，所以BD垂直且平分AC，则△ACD为等腰三角形，又23ACCD，所以△ACD为等边三角形.则四边形ABCD关于直线BD对称，故点E在四边形AB

CD上运动时，只需考虑点E在边,BCCD上的运动情况即可，因为22BDABBC，易知222BCCDBD，即BCCD，则0CBCD，①当点E在边BC上运动时，设01EBCB，则1ECCB，∴141EBEDCBCB

，当12时，EBED的最小值为1；②当点E在边CD上运动时，设01EDkCDk，则1ECkCD，∴1121EBEDECCBEDkCDkCDkk，当12k时，EBED的最小值为3；综上，EBED的

最小值为3；故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积及数量积的最值问题，考查数形结合思想的运用、分类讨论思想的运用，难度稍大.4．（2022·全国·高三专题练习）在直角梯形ABCD中，//ABCD，ABBC，2AB，1CD，B

Ca，P为线段AD（含端点）上的一个动点.设APxAD，PBPCy，对于函数yfx，下列描述正确的是（）A．fx的最大值和a无关B．fx的最小值和a无关C．fx的值域和a无关D．fx在其定义域上的单调性和a无关【答案】A【解析】建立合适的直角坐标,根据向量的坐

标表示和平面向量数量积的坐标表示建立,xy的函数关系式,利用二次函数的性质，分02a和2a两种情况通过判断单调性求0,1x时函数fx最值即可【详解】建立直角坐标系如图所示:由题意知,0,0,2,0,0,,

1,BACaDa，因为APxAD,1,ADa,所以,APxax,设点00,Pxy则002xxyax,解得002xxyax,即点P为2,xax,所以2,PBxxa,2,PCxaax,由平面向量数量积的坐标表

示可得,22222144PBPCxaxaaxaxax,01x，即222144,01yaxaxx,所以此函数的对称轴为22241312121axaa,因为0a,

当02a时,2131121a,所以函数fx在区间0,1上单调递减,所以当1x时,函数fx有最小值为1,当0x时,函数fx有最大值为4;当2a时,211311221a,由二次函数的单调性知,函数fx

在2130,121a上单调递减,在2131,121a上单调递增;所以当213121xa时,函数fx有最小值为242841aaa,因为

11,04ff,所以函数fx的最大值为4;综上可知,无论a为何值,函数fx的最大值均为4.故选:A【点睛】本题考查平面向量数量积的运算性质、二次函数的单调性和最值；考查分类讨论思想、逻辑推理能力和运算求解能力;属于综合型、难度较大型试题.二、解答题5．（2021·全

国·高三专题练习）已知(,1)ABx，(1,)ACy，求ABC为等腰直角三角形的充要条件.【答案】0xy或01xy，或23xy，或10xy，或32xy.【分析】通过讨论直角顶点即得.【详解】①当90CAB，ABAC时，ABC

为等腰直角三角形，此时ABAC且22011ABACxyABACxy，解得0xy.②当90CBA，BABC时，ABC为等腰直角三角形，此时，BABC且||||BABC

，(,1)BAABx，(1,1)BCBAACxy222(1)(1)(1)001(1)(1)xxyBABCBABCxxy，解得01x

y，或23xy.③当90BCA，CACB时，ABC为等腰直角三角形.此时CACB且||||CACB，(1,)CAACy，(1,1)CBBCxy2221(1)()(1)001(1)(1)xyyCACBCACByxy

，解得10xy，或32xy.综上所述，ABC为等腰直角三角形的充要条件是0xy或01xy，或23xy，或10xy，或32xy.题型四：转化与划归思想一、

单选题1．（2022·广西·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系xOy中，A是直线:260lxy与曲线1:ln22Cyxx在第一象限的交点，B是直线l上的一点，且满足0OBOA.P为曲线C上动点，当22OAOBOPOAOB取最小值时，P的横

坐标为（）A．1eB．1C．eD．e【答案】B【分析】设OPxOAyOBuuuruuruuur，则22OAOBOPxyOAOB，所以()()xyOPxyOAxyOBxyxy，设()xyOAOA，()xyOBOB，得到//

ABAB，再根据题意判断临界状态求解即可.【详解】设OPxOAyOBuuuruuruuur，则22OAOBOPxyOAOB.又()()xyOPxyOAxyOBxyxy，设()xyOAOA，()xy

OBOB，则P在直线AB上.又//ABAB，故当直线AB与曲线C相切时，xy最小.此时01()2fx，解得01x.故选：B.2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知e为单位向量，向量a满足：

50aeea，则ae的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【分析】可设1,0er，,axyr，根据50aeea，可得,xy的关系式，并得出,xy的范围，221axye，将y用x表示，再根据函数的最值即可得解

.【详解】解：可设1,0er，,axyr，则221,5,6055aeexyxayxxy，即2234xy，则15x≤≤，22y≤≤，22184a

xyxe，当5x时，84x取得最大值为6，即ae的最大值为6.故选：C二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若动点P满足，则动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心；B．若，则点

O为△ABC的内心；C．若()()0OAOBABOBOCBC，则点O为△ABC的外心；D．若动点P满足，则动点P的轨迹一定经过△ABC的重心.【答案】BC【分析】A由正弦定理知||sin||

sinABBACCm，且OPOAAP，代入已知等式得ABACmAP，即知P的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设O为△ABC的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由OPOAA

P，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求APBC的值，即知P的轨迹一定经过的哪种心；【详解】A：由正弦定理知||sin||sinABBACCm，而OPOAAP，所以ABACmAP，即动点P的轨迹一定经过△A

BC的重心，故错误.B：若O为△ABC的内心，如下图示：||||OAACAEAC，同理||||OAABADAB，||||OBBCBFBC，||||OBBABDBA，∴，，故正确；C：若O为△ABC的外心，,DE分别为,ABBC的中点，则2OAOBOD，而0ODAB，

同理2OBOCOE，又0OEBC，故()OAOBAB()0OBOCBC，正确；D：由OPOAAP，故|0||cos||c|os||BCBABACABBCAPBCABCCCCB

，即APBCuuuruuur，动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心，错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设O为△ABC的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向

量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.4．（2020·河北武强中学高三阶段练习）在ABC中，2,3AB，1,ACk，若ABC是直角三角形，则k的值可以是（）A．1B．113C．3132D．3132【答案】BCD【解析】由题意，若ABC是直角三

角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若A为直角，则ABAC即0ACAB230k解得23k若BÐ为直角，则BCAB即0BCAB2,3,1,ABACk

1,3BCk2390k解得113k若C为直角，则BCAC，即0BCAC2,3,1,ABACk1,3BCk130kk解得3132k综合可得，k的值可能

为211313313,,,3322故选：BCD【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.三、填空题5．（2022·全国·高三专题练习）若向量(,2)ax，(3,)by，(1,2)c，且()()acbc，则||ab的最小值为___

______．【答案】22【分析】应用向量的坐标运算及垂直的坐标表示可得10xy，再由向量模的坐标表示可得22||(3)(2)abxy，将问题转化为求定点(3,2)到直线10xy的距离即可.【详解】由题设，(1,4)acx，(4,2)bcy，又

()()acbc，∴()()4(1)4(2)0acbcxy，则10xy，又(3,2)abxy，则22||(3)(2)abxy，∴要求||ab的最小值，即求定点(3,2)到直线10xy

的距离，∴min|321|||222ab.故答案为：226．（2022·全国·高三专题练习）已知OA，OB是非零不共线的向量，设111rOCOAOBrr，定义点集||||KAKCKBKCMKKAKB，当1K，2KM时，若

对于任意的2r，不等式12||KKcAB恒成立，则实数c的最小值为______.【答案】43.【分析】由111rOCOAOBrr，可得A，B，C共线，再由向量的数量积的几何意义可得KC为AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得||

||||||KAACrKBBC，可得K的轨迹为圆，求得圆的直径与AB的关系，即可得到所求最值．【详解】解：由111rOCOAOBrr，可得A，B，C共线，由||||KAKCKBKCKAKB，可得||cos||cosKCAKCKCBKC，即有A

KCBKC，则KC为AKB的平分线，由角平分线的性质定理可得||||||||KAACrKBBC，即K的轨迹为圆心在AB上的圆，由11||||KArKB，可得1||||1ABKBr，由22||||KArKB，可得2||||1A

BKBr，可得122||||2||||111ABABrKKABrrr2||1ABrr，由函数1yrr在2,r上递增，可得113222rr，即有124||||3KKAB，即12||43||

KKAB，由题意可得43c，故c的最小值为43．故答案为：43．四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）求函数22251yxxx的最小值，以及y取最小值时的x的值.设想，把原函数改为22251yxxx，能够形成怎样的问题？如何

求解？【分析】设向量1,2ax，,1bxr，对函数进行变形，然后通过构造向量的模求解，即变形后构造为向量模的和2222121yxxab，从而根据向量模的性质求最值.【详解】22251yxxx可化为2222121yxx

.设向量1,2ax，,1bxr，2212110yababxx当且仅当a与b共线且同向时等号成立.∴1120xx，解得13x.∴函数的最小值是10，此时13x.把原函数改为22251yxxx后，可求此函数的最大值.22

22121yxx，设1,2axr，,1bxr.则221212yababxx.当且仅当a与b共线且同向时等号成立，即1120xx，即1x，所以函数的最大值为2，此时1x.8．（202

1·全国·高三专题练习）已知O是ABC内一点，且3OAOCOB，求AOB与AOC△的面积的比值.【答案】13.【分析】联想三角形重心的向量线性关系，通过构造新的正三角形，利用特殊化法求解.【详解】如图所示，若，不妨设ABC

V是正三角形，O是ABCV的重心，不妨设，则3OAOC，则131sin120121333sin1202AOBAOCSS△△.9．（2021·全国·高三专题练习）求函数222222yxxxx的最小值.【答案】22【分析】根据解析式转化成向量的

模的问题，进而可求解.【详解】所给函数为根式的和，通过对根号内的二次三项式配方，使之转化为向量的模，即原函数可化为2222(1)1(1)(1)yxx，设(1,1)ax，(1,1)bx.||||||abab，22y，当且仅当0x时，等号成

立，min22y.题型五：特殊与一般思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（文））半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知·0mn，记||||MmOCOAnOCOB，则（）A．若m+n=3，则M的最小值为3B．若m+

n=3，则有唯一C点使M取最小值C．若m·n=3，则M的最小值为3D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值【答案】A【分析】设BOC，以O为原点，以OB、与OB所在直线垂直的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，把MmOCOAnOCOB转化为关于的表达

式，可解决此题．【详解】：设BOC，如图：以O为原点，以OB、与OB所在直线垂直的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则10B,，13,22A，cos,sinC，20,3，13cos,sin22mOC

OAmm，cos1,sinnOCOBnn，MmOCOAnOCOB222213cossincos1sin22mmnn

221cos3sin2cos1mmmnn．①若3mn，取0m，3n，则1106cosM，20,3，1cos,12，1cos1,

2，106cos4,13，3,113M,min3M，此时0，C、B两点重合，所以A正确；取3m，0n，则1106sin6M，当23时取最小值，此时C、A两点重合，

所以C点不唯一，故B错误；②若3mn，取1,3mn，则2sin3cos106cosM22sin106cos6，当0时，min4M，故C错误；取1m，

3n时，则22sin106cos6M，当23时，取最小值，C点不唯一，故D错误.故选：A．【点睛】本题考查平面向量的线性运算的意义和模的意义，涉及与圆有关的最值问题，关键是题目中的参

数较多，故而应当想到直接解决困难较大，应用特值排除的方法解决较为方便，这是在解决一些选择题是常常需要用到的思想方法.2．（2020·全国·高三专题练习（文））已知向量a，b满足ab＝0，||||abma，若ab与ab

的夹角为23，则m的值为（）A．2B．3C．1D．12【答案】A【解析】由题意有向量a，b的关系222(1)bma，而ab与ab的夹角为23，由向量的数量积公式有()()2cos3||||abababab，化

简并将222(1)bma代入解方程可得m的值【详解】∵ab＝0，即a⊥b∴||||abab∵||||abma∴222()abma，即2222abma故222(1)bma，又ab与ab的夹角为23∴()()2cos3|

|||abababab，即222222222(1)12abamamama解得：m＝2或m＝－2(舍去)故选：A【点睛】本题考查了向量的数量积及其应用，利用向量的数量积列方程求参数3．（2021·湖南·攸县第三中学高三阶段练

习）已知平面向量(1,1),(sin,cos)ab，若abrr，则tan（）A．1B．32C．1D．22【答案】C【分析】由已知条件abrr，有数量积的坐标公式可得sincos，进而求得ta

n【详解】(1,1),(sin,cos)ab1sin1cossincosab．又absincos0，即sincostan1故选：C【点睛】本题考查了向量的数量积坐标公式，利用向量的垂直关系，并应用同角三角函数关系

，求正切值二、多选题4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，,EF分别为线段,ADCD的中点，AFCEG，则（）A．12AFADABB．1()2EFADABC．2133AGADABD．3BGGD

【答案】AB【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AFADAB、1()2EFADAB、2133AGADAB、2BGGD，即可判断选项的正误【详解】1122AFADDFADDCADAB，即A正确11()()22EFEDDFADDCADAB

，即B正确连接AC，知G是△ADC的中线交点，如下图示由其性质有||||1||||2GFGEAGCG∴211121()333333AGAEACADABBCADAB，即C错误同理21212()()3

3333BGBFBABCCFBAADAB211()333DGDFDAABDA，即1()3GDADAB∴2BGGD，即D错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点

的连线所得向量的线性关系三、填空题5．（2021·河南·一模（文））已知单位向量1e，2e的夹角是23，向量123aee，若2ae，则实数________.【答案】32【分析】根据题设知122(3)0eee，又单位向量1e，2e的夹角是23

，即可得方程求值【详解】由向量123aee，2ae，知：122(3)0eee∴212230eee，而单位向量1e，2e的夹角是23∴23cos03，解得32故答案为：32【点睛】本题考查了利用向量垂直及向量数量积公式求参数值，注意单位向量的模为1

，属于简单题能力拓展