【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习核心考点重难点练习03《四种三角函数与解三角形数学思想》(解析版).doc，共(27)页，1.409 MB，由MTyang资料小铺上传

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重难点03四种三角函数与解三角形数学思想（核心考点讲与练）ABC题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，2a

，2cos2cos24sinCAB，则ABC面积的最大值是（）A．23B．1C．43D．2【答案】A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化简已知等式可得22224acb；利用余弦定理可构造等量关系求得cosA，进而得到sinA；利用三角形面积公式，将ABCS表示为以2b为自变量的二次

函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得所求最大值.【详解】由2cos2cos24sinCAB得：22212sin12sin4sinCAB，即222sinsin2sinACB，由正弦定理得：22224acb；由余弦

定理得：2222cos4abcbcA，222222coscbbcbcA，即cos2bAc，0,A，22sin14bAc，22222421111sin122424ABCbSbcAbc

bcbc，2224cb，2242cb，2244211194242424ABCSbbbbb，则当289b时，42max996481644448199bb，

max142233ABCS.故选：A.二、多选题2．（2021·重庆市凤鸣山中学高三阶段练习）已知函数sin3cosfxxx,则下列命题正确的是（）A．函数π()(0,)2fxx的单调递增区间是π0,6

；B．函数fx的图象关于点π(,0)6对称；C．函数fx的图象向左平移(0)mm个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是π6；D．若实数m使得方程fxm在02π，上恰好有三个实数解1x，2x，3x，则1237π3xxx

．【答案】ACD【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由sin3cosfxxx，得π2sin3fxx.对于A，当π0

,2x时，ππ56π,33x，当πππ332x即π06x时，函数()fx单调递增，所以函数()fx单调递增区间为π0,6，故A正确；对于B，当π6x时，ππππsinsinf22106636，故

B不正确；对于C，函数fx的图象向左平移(0)mm个单位长度后，得到πsingxxm23所得的图象关于y轴对称，所以πππ(Z)mkk32,解得ππ(Z)mkk6，当0k时，m的最小值是π6

，故C正确；对于D，如图所示，实数m使得方程fxm在02π，上恰好有三个实数解1x，2x，3x，则必有0x，或2πx，此时πsinfxx233，另一解为π3.所以1237

π3xxx，故D正确.故选：ACD.三、填空题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数cosfxx，若对任意实数1x，2x，方程12fxfxfxfxmmR有解

，方程12fxfxfxfxnnR也有解，则mn的值的集合为______.【答案】2【分析】根据题意，不妨设12coscosxx，分类讨论当2coscosxx，1coscosxx，12co

scoscosxxx三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出m和n的值，即可得出mn的值的集合.【详解】解：由题可知cosfxx，不妨设12coscosxx，对于m，对任意实数1x，2x，方程

12fxfxfxfxmmR有解，当2coscosxx时，方程可化为122coscoscosmxxx有解，所以21coscosmxx恒成立，所以2m；当1coscosxx时，同上；当12coscoscosxxx时，方程可

化为21coscosmxx有解，所以0,2m，综上得：2m；对于n，对任意实数1x，2x，方程12fxfxfxfxnnR也有解，当2coscosxx时，方程可化为21coscosnxx有解，所以

0,2n；当1coscosxx时，同上；当12coscoscosxxx时，方程可化为212coscoscosnxxx有解，所以1221coscoscoscosxxnxx恒成立，所以0n，所

以mn的值的集合为2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设12coscosxx，以及分类讨论cosx与12cos,cosxx的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题是解题的关键，考查学生的分类讨

论思想和逻辑分析能力.4．（2022·全国·高三专题练习）函数1sin2yx的定义域是_________【答案】522,66kkkZ，【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．【详解】由题意知，11

sin0sin22xx，即522,66kxkkZ，所以()fx的定义域为：522,66kkkZ，故答案为：522,66kkkZ，【点睛】关

键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．四、解答题5．（2021·全国·高三专题练习）已知9sin3costan0，①2cos4sintan0，②求证：9sintan0

.【分析】证法一：将9sin与tan看作方程2293coscos04xx的两根，证明此方程的两根之差为零即可；.证法二：将①式看作以3为元的一元二次方程，②式的左端恰为该方程的判别式求解.【详解】证法一：已知条件可变为9sin(tan)3cos，299

sin(tan)cos4.视9sin与tan为方程2293coscos04xx的两根，问题转化为证明此方程的两根之差为零.由于22212121294(3cos)4cos04xxxxxx.因此，9sintan

0.证法二：注意到已知条件中的数学关系293，则①式就是以3为元的一元二次方程，而②式的左端恰为该方程的判别式，从而可得3x.则①式变为2sincostan0xx.（*）当sin0时，由已知条

件可得tan0，从而9sintan0；当sin0时，由②式知方程（*）有两个相等的实数根，12cos32sinxx，即cos6sin，代入①式得9sintan0.6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()cos2sinfxxaxb（

0a）.（1）若当xR时，()fx的最大值为98，最小值为2，求实数a，b的值（2）若2a，1b设函数()sin2gxmxm，且当2,63ππx时，()()fxgx恒成立，求实数

m的取值范围.【答案】（1）1a，0b；（2）2,3.【分析】（1）配方得到22()2sin148aafxxb，根据1sin1x剟，0a，分104a„，14a，讨论求解；（2

）方法一：通过参变分离转化为22sin2sin2sin2xxmx恒成立求解；方法二：由22sin2sin2(sin2)xxmx恒成立，令sintx，转化为2()22220htttmtm在1,12上恒成立求解，【详解】（1）22()2sin148aa

fxxb，∵1sin1x剟，0a，∴当104a„时，2max9()188afxb，min()12fxab.解得1a或9a（舍去），∴1a，0b.当14a时，max9()18fxab，min

()12fxab.解得259,1616ab（舍去）.综上所述，1a，0b.（2）解法一：2()2sin2sin2fxxx.当2,63ππx时，22sin2sin2(sin2)xxmx恒成立，22sin2sin2sin2xxmx

，令sin2ux，则532u剟.162muu，由对勾函数的性质得12623uu…，所以23m.∴m的取值范围是2,3.解法二：2()2sin2sin2fxxx.当2,63ππx时，

22sin2sin2(sin2)xxmx恒成立，令sintx，则2()2222htttmtm，则()0ht在1,12上恒成立，则(1)01()02hh2315mm，即23m.∴m的取值范围是2,3

.题型二：数形结合思想一、单选题1．（2022·四川绵阳·三模（文））函数sin0,0,2fxAxA的部分图象如图所示，则0f（）A．12B．1C．2D．3【答案】B【分析】由图象

可得2A、4T求出，五点法求，进而写出()fx解析式，即可求0f.【详解】由图知：2A且52433T，则24T，可得12，又232k且Zk，则26k，Zk，由2

，可得6π，所以1()2sin26fxx，则(0)2sin16f.故选：B2．（2022·河南·高三阶段练习（文））勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理，汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一

个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性，现将弦图中的四条股延长，相同的长度（如将CA延长至D）得到图2．在图2中，若5AD，310BD，D，E两点间的距离为145，则弦图中小正方形的边长为（）A．32B．223C．1D．2【答

案】C【分析】在BDE中利用余弦定理可求出cosDBE，则可得cosCBD，再由锐角三角函数的定义可求出CB，由勾股定理求出CD，从而可求得答案【详解】连接DE，由条件可得5BEAD，在BDE中，由余弦定理得22222310251451cos22531010BD

BEDEDBEBDBE，∴1coscoscos10CBDDBEDBE，∴1cos310310BCBDCBD，229CDBDBC，∴4CA，所以弦图中小正方形的边长为1CACB．故选：

C二、多选题3．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数sincos0,0fxaxxa的部分图象如图所示，其中2BC，且ABC的面积为2，则下列函数值恰好等于a的是（）A．13fB．5

6fC．1fD．2f【答案】AC【分析】根据题意得到21sin2fxax，根据条件可以求出3a，所以2sin26fxx，根据选项求值判断即可.【详解】根据题意得，

21sin2fxax，因为2BC，所以22T，即4T，所以22T，又ABC的面积为2，所以21122ABCSBCa△，所以212a，所以214a，所以23a，解得3a（舍去），3a.所以

3sincos2sin6fxxxx，即2sin26fxx.所以112sin+=2sin332363f，故A正确；所以5572

+62sin+=2sin6266122f，故B不正确；所以212sin1+=2sin3263f，故C正确；所以722sin2+=2sin1266f，故D不正确.故选：AC.三、填空题4．（202

2·上海市七宝中学高三期中）已知函数1cos,,yxx（其中为常数，且0）有且仅有3个零点，则的最小值为_______【答案】2【分析】利用函数与方程的关系转化为两个图象交点个数问题即

可求解【详解】由1cos0yx得cos1x,,,,xx,设tx,则,t作出cosyt与1y的图象如图则24„,得24„,即

的最小值是2,故答案为:2.5．（2022·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为

测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得357AB米，45CAD，30CBD，150ADB，则蜚英塔的高度CD是_______米．【答案】35【分析】设CDx米，则可得,3ADx

BDx，然后在ABD△中利用余弦定理列方程可求出x的值，从而可求出蜚英塔的高度【详解】设CDx米，因为45CAD，30CBD，,CDADCDBD，所以,3ADxBDx，在ABD△中，357AB，1

50ADB，则由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB,222357323cos150xxxx222857533xxx，解得35x，所以蜚英塔的高度CD是35米，故答案为：35四、解答题6．（2022·山东济宁·二模）如图，在

梯形ABCD中，ABCD∥，sin2sinADDCDB.(1)求证：BC=2CD；(2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）在△ACD和△ABC中，分别利用正弦定理可得sinsi

nADDACACD，sinsinACCABBCB，再由ABCD∥，可得∠ACD=∠CAB，所以得sinsinADDBCB，再结合已知条件可得sin2sinBCBCDB，从而可

证得结论，（2）在△ACD中，由余弦定理可求得7AC，27coscos7CABACD，在△ABC中，再利用余弦定理可求出AB，从而可求出梯形的面积(1)在△ACD中，由正弦定理得sinsinADACACDD

，即sinsinADDACACD，因为ABCD∥，所以∠ACD=∠CAB，所以sinsinADDACCAB在△ABC中，由正弦定理得sinsinACBCBCAB，即sinsinACCABBCB，

所以sinsinADDBCB.又sin2sinADDCDB，所以sin2sinBCBCDB，即BC=2CD.(2)由（1）知112CDBC.在△ACD中，由余弦定理得2222cosACADCDADCDADC，

解得7AC.所以22227coscos27CDACADCABACDCDAC.在△ABC中，2222cosBCACABACABCAB，解得1AB或3.又因为ABCD为梯形，所以3AB.又梯形ABCD的高为sin

603hAD，所以梯形ABCD的面积为1232SABCDh.题型三：分类与整合思想一、多选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数sincos1fxxx，则（）A．fx为周期函数B．fx在3π,π4上单调递增C．fx的值域为0

,1D．yfx的图像关于直线3πx对称【答案】AD【分析】易求得2fxfx，即可判断A；由3π,π4x，得322,2x，1sin212fxx，结合正弦函数的单

调性即可判断B；分2,2,Zxkkk和2,22,Zxkkk两种情况讨论，求出函数的值域，即可判断C；判断3,3fxfx是否相等即可判断D.【详解】对于A，因为2sin2cos21sincos1f

xxxxxfx，所以2是函数fx的一个周期，故A正确；当2,2,Zxkkk时，1sincos1sin212fxxxx，此时24,42,Zxkkk，则sin21,1x，所以13,22f

x，当2,22,Zxkkk时，1sincos1sin212fxxxx，此时242,44,Zxkkk，则sin21,1x，所以13,22fx，所以函数fx的值域为13,22

，故C错误；对于B，当3π,π4x时，1sincos1sin212fxxxx，则322,2x，所以函数fx在3π,π4上单调递减，故B错误.对于D，因为3sin3cos31sincos1fxxxxx

，3sin3cos31sincos1fxxxxx，所以33fxfx，所以yfx的图像关于直线3πx对称，故D正确.故选：AD.2．（2

021·江苏省江都中学高三阶段练习）关于函数()sincosfxxx，下列结论正确的是（）A．()fx是偶函数B．()fx在区间,2ππ单调递减C．()fx在2,2有4个零点D．()fx的最小值为2【答

案】AC【分析】利用奇偶性的定义，即可判断A选项；当(2x，)时，()sincos2sin()4fxxxx，由复合函数单调性可知，即可判断B；当0,2x时，sincos,023()sincos,223si

ncos,22xxxfxxxxxxx，令()0fx，即可判断C；分三种情况，当0x，]2时，当(2x，3]2时，当3(2x，2]时，确定()fx最小值，即可判断D．【详解】解：对于A，()si

n|||cos()|sin|||cos|()fxxxxxfx，()fx是偶函数，故A正确；对于B，当(2x，)时，sin||sinxx，|cos|cosxx则()sincos2sin()4fxxxx

，当,2x，3,444x，所以函数()fx在(2，)上不具有单调性，故B错误；对于C，当0,2x时，sincos,023()sincos,223sincos,22xxxfxxxxxxx

，令()0fx，可得54x，74，又()fx是偶函数，所以()fx在区间[2，2]上有4个零点，故C正确；对于D，(2)sin2cos2fxxxsincos()xxfx，所以2是

函数()sincosfxxx的一个周期，当0x，]2时，()sincos2sin()4fxxxx，此时()fx最小值为1，当(2x，3]2时，()sincos2sin()4fxxxx，此时()fx最小值为-1，当3(2x，2]时，()sincos2sin

()4fxxxx，此时()fx最小值为1，所以()fx最小值为-1，故D错误.故选：AC.二、双空题3．（2022·北京·人大附中高三开学考试）已知RAÎ，[0,2]能够说明命题“若对任意实数x都有2sin2sin(2)3xAx成立，则必有2A，5

3”为假命题的一组A，的值为________，________．【答案】2A23【分析】要使对任意实数x都有2sin2sin(2)3xAx成立，则2A，再分2A和2A两种情况讨论，结合诱导公式求出,A的值，即可得出答

案.【详解】解：若对任意实数x都有2sin2sin(2)3xAx成立，则2A，当2A时，则sin(2)sin23xx，所以2,Z3kk，又

[0,2]，所以53，当2A时，则sin(2)sin23xx，所以21,Z3kk，又[0,2]，所以23，综上所述，对任意实数x都有2sin2sin(2)3xAx

成立，则2A，53或2A，23，所以能够说明命题为假命题的一组A，的值为2A，23.故答案为：2A；23.三、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）已知锐角△AB

C的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是12，2的等比中项，c是1，5的等差中项，则a的取值范围是________．【答案】22,10【分析】根据等差中项和等比中项的性质求出,bc，再根据三角形三边的关系及余弦定理，分a为最大边和c为最大边两种情况

讨论，即可得出答案.【详解】解：因为b是12，2的等比中项，所以21212b，所以1b，又因c是1，5的等差中项，所以2156c，所以3c，因为△ABC为锐角三角形，①当a为最大边时，有22213cos0213313aAaa，解得31

0a；②当c为最大边时，有22213cos02133aCaaa，解得223a，综上所述2210a，所以实数a的取值范围是22,10.故答案为：22,10.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函

数sin3sin2fxxx，则①fx在,2上的最小值是1；②fx的最小正周期是2；③直线2kxkZ是fx图象的对称轴；④直线2yx与fx的图象恰有2个公共点.其中说法正确的是______

__________.【答案】①③④【分析】结合三角函数的图像和性质，数形结合思想求解，求出0,2ff即可判断②，分k为奇数，k为偶数，讨论即可判断③.【详解】解：对于①，当,2x时，sin3sins

in3cossin3cos2sin23fxxxxxxxx且2633x，则当36x时，函数fx取最小值，即min2sin16fx，故①正确；对于②

，∵sin3cosfxxx，03f，12f，则：02ff故函数fx的最小正周期不是2，②错误；对于③，若k为奇数，则sin3cossin3cossin3cosfkxkxkxxxxxfx；

若k为偶数，则sin3cossin3cossin3cosfkxkxkxxxxxfx.由上可知，当kZ吋，fkxfx，所以，直线2kxkZ是fx图象的对称轴，③正确

；対于④，因为∵sin3cossin3cossin3cosfxxxxxxx，所以为函数的周期.当02x时，sin3cos2sin23fxxxx；当2x时，sin3cos2sin23f

xxxx.综上可知，2fx.当0x时，20x，sin3cos0fxxx，即函数2yx与fx在,0上的图象无交点：当x时，22x，2fx，所以，函数2yx与fx在,上的图象也无交

点.作出函数2yx与函数fx在0,上的图象如下图所示：由图像可知，直线2yx与fx的图象恰有2个公共点，故④正确.故答案为：①③④.四、解答题6．（2022·全国·高三专题练习）已知0a，设函数sinRfxxax．(1)若π2a=，求函数f（x）

的单调递增区间；(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．【分析】（1）由题设写出()fx的分段函数形式，结合余弦函数的性质分别求出不同分段上的递增区间.（2）由题设可得()sin()fxxa且[0,3]xaa，由正弦函数的

性质，讨论端点3a的位置并求出对应的值域范围.(1)由题设，cos,2()sin||2cos,2xxfxxxx，所以，根据余弦函数的性质：当2x时，()fx在{|2(21),Z,0}xkxkkk上递增；当2x时，()fx

在{|0}2xx，{|(21)2,Z,0}xkxkkk上递增；(2)由题设，[,2]xaa，则[0,3]xaa，又2aa，即0a，所以()sin()fxxa，当32a，即06a时，()[0,sin3]fxa；当32a，即6

3a时，()[0,1]fx；当332a，即32a时，()[sin3,1]fxa；当332a，即2a时，()[1,1]fx；7．（2021·山西朔州·高三期中（文））在ABC中，内角A、B、

C的对边分别是a、b、c，π3A，5b时.(1)若7a，求c；(2)记cak，ABC是直角三角形，求k的值.【答案】(1)8(2)33k或233k【分析】（1）利用余弦定理即得；（2）分π2B和π2C讨论，结合条件即

得.(1)在ABC中，由余弦定理得2222cosabcbcA，∴2227525cos3cc即25240cc，0c，所以8c.(2)ABC是直角三角形，若π2B，则π3tantan3aAc，33cka，若π2C，则3sinsinπ23aAc

，233k.故33k或233k.题型四：转化与划归思想一、单选题1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时5tan31APB

，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角度（即AQB∠最大），则射门时甲离上方端线的距离为（）A．55B．56C．102D．103【答案】B【分析】先根据题意解出AB长度，设QHh，得到242150cos32522500hAQBhh

，再分析求值域，判断取等条件即可求解.【详解】设ABx，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：25PH，10BH，所以102tan255BHBPHHP，且5tan31APB，所以52331

5tantan5251315APHAPBBPH，又10tan25AHABBHxAPHPHPH，所以103255x，解得5x，即5AB，设QHh，0,25h，则22

2215AQQHAHh，222210BQQHBHh，所以在AQB中，有222242150cos232522500AQBQABhAQBAQBQhh，令2150150775mh

m，所以2150hm，所以221cos375025150325150225001mAQBmmmm，因为150775m，所以111775150m，则要使AQ

B∠最大，即21cos3750251AQBmm要取得最小值，即23750251mm取得最大值，即23750251mm在111775150m取得最大值，令111,775150tm，23750251fttt，所以ft的对称轴为

：1300t，所以ft在11,775300单调递增，在11,300150单调递减，所以当1300t时，ft取得最大值，即AQB∠最大，此时11300m，即300m

，所以2150h，所以56h，即为获得最佳的射门角度（即AQB∠最大），则射门时甲离上方端线的距离为：56.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知1sin32，则sin26的值为（

）A．12B．12C．－32D．32【答案】B【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解.【详解】1sin32Q2sin2sin2cos212sin63233

22112sin121322，故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）1471年米勒向诺德尔教授提

出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面，直线

l有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为0,a，0,0bba.设点C的坐标为,0c，当ACB最大时，c（）A．2abB．abC．2a

bD．ab【答案】D【分析】根据题意可知ACBOCAOCB，分别表示出tan,tanabOCAOCBcc，然后利用两角差的正切公式表示出tanACB，再结合基本不等式，即可求得结果.【详

解】由题意可知ACB时锐角，且ACBOCAOCB,而tan,tanabOCAOCBcc，所以22tantan()1ababccACBOCAOCBababccc，而2abcabc，当且仅当abcc，即cab时取等号，所以当cab时，2tan2

ababACBababcc，此时ACB最大，故选：D.4．（2022·浙江·高三专题练习）函数()sinsincosfxxxx的最小正周期是（）A．3B．2C．πD．2π【答案】C【分析】将函数解析式化简，

利用正弦函数的周期公式可得.【详解】因为21cos2sin2()sinsincossinsincos22xxfxxxxxxx12sin2224x所以最小正周期22T.故选：C二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习

）以下说法正确的有（）A．tan6003B．2sin2252C．2cos1352D．tan7523【答案】ACD【分析】根据诱导公式判断ABC，根据两角和的正切公式判断D.【详解】对于A，tan600tan603180tan603，故A正确

；对于B，2sin225sin45180sin45sin452，故B错误；对于C，2cos135cos18045cos452，故C正确；对于D，31tan30t

an45313tan75tan3045231tan30tan4533113，故D正确；故选：ACD6．（2022·全国·高三专题练习）设函数()yfx的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任

意xD，都有()()fxTTfx，则称函数()yfx是“元周期函数”，非零常数T为函数()yfx的“元周期”现有下面四个关于“元周期函数”的命题：所有正确结论的选项是（）A．如果“元周期函数”()yfx的“元周期”为1，那么它

是周期为2的周期函数；B．函数()3xfx是“元周期函数”C．常数函数()fxc是“元周期函数”D．如果函数()sinfxx是“元周期函数”，那么“2,kkZ或(21)Zkk,”【答案】ACD【分析】根据题意

，首先理解“元周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假.【详解】A选项：∵“元周期函数”()yfx的“元周期”为1，(1)()fxfx，(2)(1)()fxfxfx，故()yfx它是周期为2的周期

函数，故A正确；B选项：若函数()3xfx是“元周期函数”，则存在非零常数T，使()()fxTTfx，即33xTxT恒成立，故3TT成立，但无解，故B错误；C选项：常数函数()fxc是“元周期函数”，则存在非零常数T，使()()fxTTfx，即cTc恒成立，1T

时恒成立，故C正确；D选项：若函数()sinfxx是“元周期函数”，则存在非零常数T，则()()fxTTfx，即sin()sinxTTx恒成立，故sin()sinxTTx恒成立，

即sincoscossinsinxTxTTx恒成立，故cossin0TTT，可得1T或1T，故2,kkZ或(21),kkZ，故D正确.故选：ACD7．（2020·

江苏省板浦高级中学高三期末）已知集合,Mxyyfx，若对于任意11,xyM，存在22,xyM，使得12120xxyy，则称集合M是“垂直对点集”.则下列四个集合是“垂直对点集”的为（）A．,sin1Mxyyx

B．1,NxyyxC．,2xPxyyeD．2,logQxyyx【答案】AC【分析】利用数学结合判断A；利用方程无解判断B；利用数形结合判断C；利用特殊点判断D.【详解】对于A，12120xxyy表示的几

何意义是OAOB，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA，与之垂直的直线OB与曲线都存在交点，如图所示，当点A运动时，直线OB与曲线sin1yx均有交点，故A正确；对于B,若满足12120xxyy，则2121212

10,10xxxxxx，在实数范围内无解，故B不正确；对于C，{,|2}xMxyye，画出2xye的图象，如图所示，直角AOB始终存在，即对于任意11,xyM，存在22,xyM，使得12120xxy

y成立，故C正确；对于D，2{,|log}Mxyyx，取点1,0，若存在22(,)xy使得12120xxyy成立，则22100xy，则一定有20x，不满足函数的定义域，故不能满足题

意中的任意一点这一条件，故D不正确.故选：AC.【点睛】思路点睛：本题主要考查向量垂直的坐标表示、新定义问题及数形结合思想的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出

几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验

证、运算，使问题得以解决.三、填空题8．（2022·全国·高三专题练习）设a，bR，[0c，2)，若对任意实数x都有2sin(3)sin()3xabxc，定义在区间[0，3]上的函数sin2yx的图象与cosyx的图象的交点横坐标为d，则满

足条件的有序实数组(a，b，c，)d的组数为___________．【答案】28【分析】根据2sin3sin3xabxc结合a、bR，0,2c可得出a、b、c的取值组合，求得方程sin2cosxx在

区间0,3的解，可得出d的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组,,,abcd的组数.【详解】解：对任意实数x都有2sin3sin()3xabxc，||2a，若2a，则方程等价于sin3sin()3xbxc，则函数

的周期相同，若3b，此时53c；若3b，此时43c；若2a，则方程等价于sin3sin()sin()3xbxcbxc，若3b，此时3c；若3b，此时23c．综上，满足条件的数组(a，b，c)为(2，3，5)3，(2，3

，4)3，(2，3，)3，(2，3，2)3共4组．而当sin2cosxx时，2sincoscosxxx，得cos0x或1sin2x，2xk或26xk，kZ又[0x，3]，3513517,,,,,,

2226666x．满足条件的有序数组(a，b，c，)d共有4728．故答案为：28．9．（2022·全国·高三专题练习）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正、余弦函数．若一个声音的数学模型是函数1()c

oscos22fxxx，则下列结论正确的是________．(填序号)①()fx是偶函数，且周期是2π；②()fx在[0,2π]上有4个零点；③()fx的值域为33[,]42；④()fx在[0,π]上是减函数．【答案】①③【分析】利用奇偶性、周期性

的定义判定①正确；利用二倍角公式得到21()coscos2fxxx，再通过解方程结合余弦函数的值域判定②错误；利用二次函数的值域、余弦函数的最值判定③正确；利用二次函数的单调性、余弦函数的单调性及值域判定④错误.【详解】对于①：因为1()cos()cos(2)2fxxx1cosc

os2()2xxfx，即()fx是偶函数，又对于Rx，1(2π)cos(2π)cos[2(2π)]2fxxx11coscos(24π)coscos2()22xxxxfx，且1(π)cos(π)cos[2(π)]2fxxx11cos

cos(22π)coscos2()22xxxxfx即()fx的周期是2π，即①正确；对于②：因为1()coscos22fxxx2211cos(2cos1)coscos22xxxx，令()0fx，即21coscos02

xx，解得13cos2x或13cos12x（舍），则()fx在[0,2π]上有2个零点，即②错误；对于③：因为213()(cos)24fxx，所以当1cos2x时，min3()4fx；当cos1x时，max3()2fx；即()fx的

值域为33[,]42，即③正确；对于④：令costx，则213()24yt，且costx在[0,π]单调递减，且11t，213()24yt在1[1,]2上单调递减，在1[,1]2上单调递增，所以()fx在[0,π]上不是单调递减，即④错误.故答案为：①③.四、解

答题10．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中，π2DABDCB，3AB，2BC，332ABCS△且ABC为锐角．(1)求DB；(2)求ACD△的面积．【答案】(1)2213(2)33【分析】（1）由三角形面积公式求得ABC，利用余弦定理求得AC，分析可知BD是

四边形ABCD外接圆的直径，再利用正弦定理可求解；（2）由面积公式即可得解.(1)由已知133sin22ABCSABBCABC△，3sin2ABC∵ABC是锐角，∴π3ABC．由余弦定理可得2222cos7A

CABBCABBCABC，则7AC．∵π2DABDCB，∴BD是四边形ABCD外接圆的直径，∴BD是ABC外接圆的直径，利用正弦定理知2221733ACBDABC(2)由π2DABDCB

，2213BD，3AB，2BC，则33AD,433CD,又π3ABC，则2π3ADC，因此1134333sin223323ACDSADCDADC△，故ACD△的面积为33．能力拓展