【文档说明】(新高考)高三数学第二次模拟考试卷二（解析版，A3版）.doc，共(11)页，997.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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（新高考）高三第二次模拟考试卷数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无

效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．1．已知M，N均为R的子集，且MNRð，则MNRð（）A．B．MC．ND．R【答案】C【解析】用图示法表示题意，如下图，故MNNRð，故选C．2．若复数z满足132ii22z，则z（）A．12B．12C．1i2D．1i2【答案】C【解析】因为13i122，

所以2i1z，所以11i2i2z，故选C．3．ABC△中，A，B，C是ABC△的内角，则“π3A”是“1cos2A”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也

不必要条件【答案】C【解析】若π3A，则1cos2A成立，所以“π3A”是“1cos2A”的充分条件；若1cos2A，因为(0,π)A，所以π3A，所以“π3A”是“1cos2A”的必要条件，所以“π3A”是“1cos2A”的充分必要条件，故选C．4．实数x、y

满足22326xyx，则22xy的最大值为（）A．72B．4C．92D．5【答案】B【解析】由题意得223302yxx，02x，因此222211933222xyxxx，令219322xfx，fx的对称轴为3x，开口向下，则fx在区间

0,2单调递增，所以当2x时，22xy取得最大值4，故22xy的最大值为4，故选B．5．若过点4,3A的直线l与曲线()()22231xy-+-=有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．3,3

B．3,3C．33,33D．33,33【答案】C【解析】由题意，易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为34ykx，即340kxyk，曲线()()2

2231xy-+-=表示圆心2,3，半径为1的圆，圆心2,3到直线340kxyk的距离应小于等于半径1，2233411kkk，即221kk，解得3333k，故选C．6．在AB

C△中，9AC，60A，D点满足2CDDB，37AD，则BC的长为（）A．37B．36C．33D．6【答案】A【解析】因为2CDDB，所以1121()3333ADABBDABBCABACABABAC，设ABx，则222133ADAB

AC，得22441379cos609999xx，即2291260xx，因为0x，故解得6x，即6AB，所以222212cos6069269372BCABACABA

C，故选A．7．设等差数列na的前n项和为nS，且3661201911aa，320152015120191aa1，则下列结论正确的是（）A．20202020S，20156aaB．20202020S，20156aa

C．20202020S，20156aaD．20202020S，20156aa【答案】A【解析】令3()2019fxxx，知()fx在定义域内为递增函数，∴由题意知6201511aa，即20156aa，又()()0fxfx-+=，知61a，20151a

关于原点对称，∴620152aa，而20201202012020620151010()1010()2020Saaaaaa，故选A．8．在探索系数A，，，b对函数sin0,0yAxbA图象的影响时，我们

发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述

四种变换，若函数sinfxx的图象经过四步变换得到函数π2sin213gxx的图象，且已知其中有一步是向右平移π3个单位，则变换的方法共有（）A．6种B．12种C．16种D．24种【答案】B【解析】根据题意，该图象变换的过程有振

幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移π3个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有4422A12A种，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，正四棱锥SBCDE底面边长与侧棱长均为a，正三棱锥ASBE底面边长与侧棱长均为a，则下列说法正确的是（）A．

ASCDB．正四棱锥SBCDE的外接球半径为22aC．正四棱锥SBCDE的内切球半径为212aD．由正四棱锥SBCDE与正三棱锥ASBE拼成的多面体是一个三棱柱【答案】ABD【解析

】如图所示：A选项：取BE中点H连接,AHSH，正三棱锥ASBE中，AHBE，SHBE，又AHSHH，所以BE平面SAH，则BEAS，又//BECD，所以ASCD，故A正确；B选项：设底面中心为1O，球心为O半径为R，因为正四棱锥S－BCDE外接球球心在1OS上，所以OSOBR

，因为，正四棱锥S－BCDE底面边长与侧棱长均为a，所以1122OBOSa，由22211OBOBOSOS，得2222222RaaR，解得22Ra，故B正确；

C选项：设内切球半径为r，易求得侧面面积为221π3sin234Saa，由等体积法得22212113432334aaarar，解得624ar，故C错；D选项：取SE中点F，连接AF，DF，BF，则BFD和BFA分别是DSEB和ASEB

的二面角的平面角，由2222222332221cos23322aaaBFDFBDBFDBFDFa，222222233221cos23322aaaAFBFBAAF

DAFBFa，故BFD与BFA互补，所以ASDE共面，又因为ASAEEDSD，则ASDE为平行四边形，故////ASEDBC，故正四棱锥SBCDE与正三棱锥ASBE拼成的多面体是一个三棱柱，所以D正确，故选

ABD．10．一个等腰直角三角形ABC内有一个内接等腰直角三角形PQR，(即P，Q，R三点分别在三角形ABC三边或顶点上)，则两三角形面积比PRQABCSS△△的值可能为（）A．14B．15C．16D．17【答案】AB【解析】如图，有

两种方式：（1）左图中R为AB中点，设ABC△的直角边长a，为PQR△的直角边长为x，PQC，在QBR△中，由正弦定理得πsinsin4QRQB，所以sinπsin4xQB，所以sin2cos2cossinπsin4xaCQQBxx

，所以11π2cossin2sin4xa，所以214PRQABCSxSa△△．（2）右图中，在QBR△中，由正弦定理得ππsinsin44QRQB，所以πsin4πsin4xQB

，πsin4cos2cossinπsin4xaCQQBxx，所以11,tan22cossin5sinxa，所以215PRQABCSxSa△△，综上：最小值为15，最大值显然为1，故选AB．11．已知双曲线222

2:10,0xyCabab，A、B分别为双曲线的左、右顶点，1F、2F为左、右焦点，122FFc，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为1k，2k，则

下列说法正确的是（）A．当2PFx轴时，1230PFFB．双曲线的离心率152eC．12kk为定值152D．若I为12PFF△的内心，满足1212IPFIPFIFFSSxSxR△△△，则512x【答案】BCD【解析】∵a，

b，c成等比数列，∴2bac，如图，对于A，当2PFx轴时，点P为2,bca，221212||1tan||222bPFacaPFFFFcac，显然1230PFF，即选项A错误；对于B，222acabc，1cea，∴210ee，解

得152e（负值舍去），即选项B正确；对于C，设(,)Pxy，则1ykxa，2ykxa，所以21222+yyykkxaxaxa，由点(,)Pxy在双曲线上可得22222xayab

，代入2222221222222215112152ybybckkxaayaa，故C正确；对于D，设圆I的半径为r，1212IPFIPFIFFSxSS△△△，21

2111||||||222rPFrPFxrFF，即1212||||||PFPFxFF，由双曲线的定义知12||||2PFPFa，22axc，即1512axce，故选项D正确，故选BCD．12．若存在实常数k和b，使得函数Fx

和Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：Fxkxb和Gxkxb恒成立，则称此直线ykxb为Fx和Gx的“隔离直线”，已知函数2fxxxR，10gxxx，2lnhxex

（e为自然对数的底数），则（）A．mxfxgx在31,02x内单调递增B．fx和gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4C．fx和gx之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是

4,1D．fx和hx之间存在唯一的“隔离直线”2yexe【答案】ABD【解析】对于A，21mxfxgxxx，212mxxx，3321221mxxx，当31,02x时，0mx，mx

单调递增，223333312422022mxm，mx在31,02x内单调递增，A正确；对于B、C，设fx，gx的隔离直线为ykxb，则21xkxbkxbx

对任意,0x恒成立，即22010xkxbkxbx对任意,0x恒成立．由210kxbx对任意,0x恒成立，得0k．①若0k，则有0b符合题意；②若0k，则有20xkxb对任意,0x

恒成立，2yxkxb的对称轴为02kx，2140kΔb，0b；又21ykxbx的对称轴为02bxk，2240Δbk，即2244kbbk，421664kbk，40k

，同理可得421664bkb，40b，综上所述：40k，40b，B正确，C错误；对于D，函数fx和hx的图象在xe处有公共点，若存在fx和hx的隔

离直线，那么该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为yekxe，即ykxkee，则0fxkxkeex恒成立，若0k，则200xex不恒成立；

若0k，令20uxxkxkeex，对称轴为02kx，2uxxkxkee在0,e上单调递增，又0ueekekee，故0k时，0fxkxkeex不恒成立；若0k，ux对称轴为02kx，若0

ux恒成立，则223420Δkkeeke，解得2ke，此时直线方程为2yexe，下面证明2hxexe，令222lnGxexehxexeex，则2exeGxx，当xe时，

0Gx；当0xe时，0Gx；当xe时，0Gx，当xe时，Gx取到极小值，也是最小值，即min0GxGe，20Gxexehx，即2hxexe，函数

fx和hx存在唯一的隔离直线2yexe，D正确，故选ABD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．522121xx的展开式的常数项是________．【答案】3【解析】5552222211121121

xxxxx，5211x的展开式通项为521015521C1C1rrrrrrrRxx，所以，522121xx的展开式通项为2210

2101,155C12C1krkkrrkrTxxx2821055C12C1krkkrrxx，由2802100kr，可得45kr，因此，522121xx的展开式的常数项为

454555C12C13，故答案为3．14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花

清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是______．【答案】49【解析】将三药分别记

为A，B，C，三方分别记为a，b，c，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，ABCa,Aa,Ba,Cab,Ab,Bb,Cbc,Ac,Bc,Cc则两名患者选择药方完全不同的情况有1164CC2

4(种)，两名患者可选择的药方共有1196CC54(种)，所以244549P，故答案为49．15．已知三棱锥ABCD，5ABADBCCD，8BD，3AC，则以点C为球心，22为半径的球面与侧面ABD的交线长为____

__．【答案】5π【解析】作BD的中点E，连接AE，CE，作AE的中点F，连接CF，因为ABADBCCD，所以AEBD，CEBD，所以223CEAEBCBEAC，又AFEF，则333cos30322

22CFCE，设C到AB边的距离为h，则2211222ABCACSABhACAB△，解得3912210h，所以以点C为球心，22为半径作球与面ABD相交构成一个圆，圆心为F，设半径为r，设球的半径为22R，

所以22223352222rRCF，所以圆的周长为2π5πr，故答案为5π．16．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进

入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m，则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为________．【答案】5，41【解析】（1）当5m时，15a，253116a，38a，44a

，52a，61a，所以需5次步骤后变成1；（2）若第5次步骤后变成1，则61a，52a，44a，38a或1，当38a，216a，132a或15a；当31a时，22a，14a，所以m的可

能值是4,5,32，m的可能值的和是453241，故答案为5，41．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①22(sinsin)sinsinsinBCABC；②sinsin2BC

baB；③sincos(π)6aBbA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC△的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若22abc，______，求A和C．注：若选择多个条件作答，按第

一个解答计分．【答案】选择见解析，π3A，5π12C．【解析】（1）选择条件①，由22sinsinsinsinsinBCABC及正弦定理知，22bcabc，整理得222bcabc，由余弦定理可得2221

cos222bcabcAbcbc，又因为0,πA，所以π3A．又由22abc，得2sinsin2sinABC，由23πBC，得2π2sinsin2sin33πCC，整理得2sin2π6C，因为2π

0,3C，所以πππ,662C，从而4ππ6C，解得5π12C．（2）选择条件②，因为πABC，所以π222BCA，由sinsin2BCbaB，得co

ssin2AbaB，由正弦定理知sincossinsin2sincossin222AAABABB．又sin0B，sin02A，可得1sin22A，又因为0,πA，所以，π26A，故π3A．又由22abc

，得2sinsin2sinABC，由23πBC，得2π2sinsin2sin33πCC，整理得2sin2π6C，因为2π0,3C，所以πππ,662C，从而4ππ6C，解得5π12C．

（3）选择条件③，由sincos6πaBbA及正弦定理知，sinsinsincπos6ABBA，又sin0B，从而31sincoscossin6π22AAAA，解得tan3A．又因为0,πA，所以π3A．又由22abc，得

2sinsin2sinABC，由23πBC，得2π2sinsin2sin33πCC，整理得2sin2π6C，因为2π0,3C，所以πππ,662C，从而4ππ6C，解得5π12C．18．（12分）某产品具有一定的时

效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件，若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为1n千元时多卖出2nb件．*nN．（1）求当1n时，销售量1a；当2n

时，销售量2a；（2）试写出当广告费为n千元时，销售量na；（3）当10a，4000b时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？【答案】（1）132ba，274ba；（2）1(2)2nnab；（3）厂家应生产7875件产

品，做5千元的广告，能使获利最大．【解析】（1）设0a表示广告费为0千元时的销售量，则0ab，102baa，所以132ab；2122baa，所以274ab．（2）设0a表示广告费为0千元时的销售量，则0ab，由题

：102121222nnnbaabaabaa，相加得0232222nnbbbbaa，即231(2)22222nnnbbbbabb．（3）4000b时，14000(2)2nna，设获利为nT，则有110100040000

(2)10002nnnTann，欲使nT最大，则11nnnnTTTT，11114000(2)10004000(2)1000(1)22114000(2)10004000(2)1000(1)22nnnnnnnn，解得55nn

，故5n，此时7875na，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，且22ABCD，60ABC

，四边形ACFE为矩形，且2FB，M，N分别为EF，AB的中点．（1）求证：MN∥平面FCB；（2）若直线AF与平面FCB所成的角为60°，求平面MAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2571

9．【解析】（1）取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则12NQAC∥，且12NQAC，又12MFAC∥，且12MFAC，所以MFNQ∥且MFNQ，所以四边形MNQF为平行四边形，所以MNFQ∥，因为FQ平面FCB

，MN平面FCB，所以MN∥平面FCB．（2）由四边形ABCD为等腰梯形，且22ABCD，60ABC，可得1BC，3AC，所以90ACB，所以ACBC．因为四边形ACFE为矩形，所以ACCF，所以AC平面FCB，所以AFC为直线AF与平面FCB所成

的角，即60AFC，所以1FC．因为2FB，所以222FBFCCB，所以FCBC．则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，∵(3,0,0)A，(0,1,0)B，3(,0,1)2M，∴3(,0

,1)2MA，(3,1,0)AB，设(,,)xyzm为平面MAB的法向量，则00MAABmm，即30230xzxy，取23x，则(23,6,3)m为平面MAB的一个法向量；又(0,1,

0)n为平面MAC的一个法向量，所以6657257cos,||||5719571mnmnmn，故平面MAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值为25719．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行

横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x123456不“礼让行人”驾驶员人数y1201051008590

80（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y与月份x之间的回归直线方程ˆˆˆybxa；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况

达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X，若X服从正态分布~8,9XN，求该月没能在14天内缴纳

人数．参考公式：112211ˆnniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx，ˆˆaybx．0.6826PZ，220.9544PZ，

330.9974PZ．【答案】（1）ˆ8124yx；（2）达到“理想状态”；（3）2人．【解析】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x，1(1201051008590)100

5y，12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()niiiniixxyybxx，ˆ

ˆ100(8)3124aybx，y与x之间的回归直线方程ˆ8124yx．（2）由（1）知ˆ8124yx，当6x时，ˆ8612476y，且807645，6月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．（3）因为X服从正态分布~8

,9XN，所以2140.9544PX，该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022人．21．（12分）已知函数32231fxaxax，3042agxxa．（1）若对任意给定的05

1,4x，总存在唯一一个151,4x，使得10fxgx成立，求实数a的取值范围；（2）若对任意给定的051,4x，在区间51,4上总存在两个不同的(1,2)ixi，使得

120fxfxgx成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）28,575；（2）162,15．【解析】（1）由题意知，()61fxaxx，因为514x，所以由0fx，解得10x或514x

；由0fx，解得01x，故fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为1,0和51,4，5(11)fa，01f，11fa，5251432af，所以fx的值域为1,15a．又因为

gx在51,4上单调递增，所以gx的值域为335,24216aa．问题转化为直线335,,24216aaytt和曲线51,4yfxx的图象只有一个交点，结合图象，有312435152

16aaaa，解得a的取值范围是28,575．（2）由（1）可知，问题转化为335,,24216aaytt与曲线yfx，51,4x

二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aaa，解得a的取值范围是162,15．22．（12分）已知椭圆222

2:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQx轴时，//OPAD（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线A

Q于点N，则MFN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2212xy；（2）是，定值为π2．【解析】（1）当PQx轴时，点P的横坐标Pxc代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya，由题意知1c，(,0)Aa

，(0,)Db，又当OPx轴时，//OPAD，2bbaa，得1b，且222acb，2a，∴椭圆C的标准方程为2212xy．（2）MFN为定值，且定值为π2，理由如下：由（1）得2,0A，(0,1)D，2,0B，设11,Pxy，22,Qxy，3,Mty

，直线PQ的方程为1xmy，联立方程可得221220xmyxy，整理得222210mymy，则12222myym，12212yym，由A，P，M三点共线可得31122yytx，①221112xy，2211112

222yxxx，1111222yxyx，②由①②得311222yxyt③由B，Q，M三点共线可得32222yytx④由③④可得121222222xxtyyt，分别将111xmy，221xmy代入，得2121212

21322222myymyytyyt，将12222myym，12212yym代入并整理，可得23222tt，2t，设4,Nty，同理可得2t，由B，P，N三点共线可得411

22yytx，⑤由③⑤得341yy，343421,21,10FMFNyyyy，2πMFN为定值．