【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义14《6.4.2余弦定理与正弦定理》课时精讲(原卷版).doc，共(14)页，312.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理知识点一余弦定理□01三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．知识点二余弦定理的推论cosA＝□01b

2＋c2－a22bc，cosB＝□02a2＋c2－b22ac，cosC＝□03a2＋b2－c22ab.知识点三解三角形(1)把三角形的□01三个角A，B，C和它们的□02对边a，b，c叫做三角形的元素．(2)□03已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．知识点四余弦定理及其推论的应用应用

余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知□01两边及其夹角解三角形，另一类是已知□02三边解三角形．1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，

它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三

角之间的数量关系式．②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式．(2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，

可得角A的范围是π3，π2.②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2.1．判一判(

正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．()(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．()(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．()2．做一做(1)在△A

BC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是________三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________．(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3

，B＝60°，则AC等于________．题型一已知两边及一角解三角形例1在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用

余弦定理求解．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．(1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．217C．62D．219(2)在△ABC中，已知

b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2(1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为()A．π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为

120°，求此三角形的最大边长．[条件探究]若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小．(2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小

角后求大角．(1)在△ABC中，(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为________；(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．题型三判断三角形的形状例3在△ABC中，已知(a＋

b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，

从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A．14B．3

4C．24D．232．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于()A．1B．2C．2D．43．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为________．4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b

2＋c2－2bcsinA，则边a＝________.5．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．第2课时正弦定理知识点正弦定理□01在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA＝bsinB＝csinC.利用正弦定理可以解决的两类解

三角形问题：①已知□02任意两角与一边，求其他两边和一角．②已知□03任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进一步求出其他的边和角．1．深入理解正弦定理(1)适用范围：正弦定理对任意三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所

对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．若A<B，则a<b.反之，若a<b，则A<B．(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化．2．正弦定理的变形设三角形的三边长为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝

2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．(4)asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csin

A＋sinB＋sinC.3．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦

定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a，b，A，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa.若sinB>1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB<1，一解或两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即

c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解．4．三角形形状的判定方法判定三角形形

状通常有两种途径：一是通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－

B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝a2R，cosA＝b2＋c2－a22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．1．判一判(正确的打“√”，错误的打

“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形．()(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB．()(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．()2．做一做(1)已知△ABC外接圆的半径是2，∠A＝60°，则BC边长为________．(2)在△ABC中，若a＝14

，b＝76，B＝60°，则C＝________.(3)在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B＝________.(4)在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则asinCsinB＝________.题型一已知两角及一边解三角形例1已知△ABC中，a＝

10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.已知三角形的两角和任一边解三角形的基本思路(1)当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边．(2)当

所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．注意：若已知角不是特殊角，往往先求出其正弦值(这时应注意角的转化，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解．(1)若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为

________；(2)已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，则最小边的长为________．题型二已知两边及一边的对角解三角形例2根据下列条件解三角形：(1)b＝3，B＝60°，c＝1；(2

)c＝6，A＝45°，a＝2.[变式探究]在本例(1)中若改为b＝1，c＝3，其他条件不变，又如何求解？已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边

所对的角，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角(唯一)．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．(1)在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是(

)A．{x|x>2}B．{x|x<2}C．{x|2<x<22}D．{x|2<x<23}(2)已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．①b＝4，c＝8，B＝30°；②a＝7，b＝8，A＝105°.题型三判断三角形的形状

例3在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．判断三角形形状的方法(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手

，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，

一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，则△ABC的形状是()A．锐角三

角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形或直角三角形题型四三角形解的个数的判断例4已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝23，b＝

6，A＝30°.从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a，b和A，解三角形为例，用几何法探究如下：续表(1)已知△ABC中，b＝43，c＝2，C＝30°，那么解此三角形可得()A．一解B．两解C．无解D．解的个数不确定(2)满足a

＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为________．题型五正弦定理与三角恒等变换的工具作用例5已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.求A．正弦

定理在研究三角形边角关系中，可以适当地进行转变，边转化成角或角转化为边，利用三角恒等变换或解方程求解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC．(1)求角C的大小；(2)求3sinA－cosB＋π4的最大值

，并求取得最大值时角A，B的大小．题型六正、余弦定理的综合运用例6△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．三角形面积计算的解题思路对于此类

问题，一般用公式S＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、

余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则角A等于()A．30°B

．45°C．60°D．75°2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．42B．43C．46D．3233．在△ABC中，若sinA>sinB，则角A与角B的大小关系为()A．A>BB．A<BC．A≥BD．A，B的大小关系不

能确定4．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则B＝________.5．在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，且A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC有几个？