【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义11《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》课时精讲(含解析) .doc，共(12)页，237.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示知识点一平面向量数乘运算的坐标表示知识点二平面向量共线的坐标表示已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为□02

x1＋x22，y1＋y22；若P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则P点的坐标为□032x1＋x23，2y1＋y23；若P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则P点的坐标为□04x1

＋2x23，y1＋2y23.1．线段定比分点的坐标公式(1)线段定比分点的定义如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足|P1P→||PP2→|＝λ，即P1P→＝λPP2→，λ叫做

点P分有向线段P1P2→所成的比，P点叫做有向线段P1P2→的以λ为定比的定比分点．(2)定比分点的坐标表示设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即x－x1＝λx2－x，y－y1＝λy2－y，

当λ≠－1时，x＝x1＋λx21＋λ，y＝y1＋λy21＋λ.则点P的坐标为x1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.特别地，①当λ＝1时，点P的坐标为x1＋x22，y1＋y22，这就是线段P1P2的中点坐标公式；②若λ<0，则点P在P1P2的延

长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P的坐标为x1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ.2．两个向量共线条件的表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)当b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.(3)当x2y2≠0时，x1x

2＝y1y2，即两向量的相应坐标成比例．3．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量

的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a＝－2b.()(

2)已知A(0,2)，B(4,4)，则线段AB的中点坐标为(2,3)．()(3)已知A(1，－3)，B8，12，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可能是(9,1)．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b时，有x1x2＝y1y2成立．()答案

(1)√(2)√(3)√(4)×2．做一做(1)下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知向量a＝(2，－3)，若a＝

2b，则b＝()A．(4，－6)B．(－6,4)C.1，－32D.－32，1(3)若平面内三点A(－2,3)，B(3，－2)，C12，m共线，则m为()A.12B．－12C．－

2D．2(4)已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若AB→和CD→是相反向量，则D点的坐标为________．答案(1)D(2)C(3)A(4)(1，－1)题型一向量数乘运算的坐标表示例1设向量a，b的坐标分别

是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量：(1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b.[解](1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)．(2)a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)．(3)

3a＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a＋5b＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中

要注意方程思想的运用．在▱ABCD中，AD→＝(3,7)，AB→＝(－2,3)，对称中心为O，则CO→等于()A.－12，5B.－12，－5C.12，－5D.12，5答案B解析CO→＝－12AC→＝－12(AD→＋AB→

)＝－12(1,10)＝－12，－5.题型二向量数乘运算的简单应用例2已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2,1B．1

，－2C．2，－1D．－1,2[解析]因为c＝λ1a＋λ2b，所以(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，所以λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.[答案]D利用向量的坐标运算求参数的思路已知含

参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．已知向量AB→＝(4,3

)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求λ与y的值．解(1)设B(x1，y1)，因为AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以x1＋1＝

4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B(3,1)．同理，可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1.所以M－12，－1.(2)由PB→＝(3,1

)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，又PB→＝λBD→(λ∈R)，所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)．所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.题型三向量共

线例3(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________；(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解析](1)因为a＝(1,2)，b＝(2

,3)，所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.(2)解法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3

，2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这

时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－13<0，所以ka＋b与a－3b反向．解法二：由题意知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解

得k＝－13.这时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)．所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．[答案](1)2(2)见解析向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠

0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.答案1解析因为a－2b＝(3，3

)与c＝(k，3)共线，所以3k＝3×3，故k＝1.题型四点共线问题例4(1)若点A(1，－3)，B8，12，C(x,1)共线，则x＝________；(2)设向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，O

C→＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解析](1)AB→＝7，72，AC→＝(x－1,4)．因为点A，B，C共线，所以AB→与AC→共线．所以7×4－72(x－1)＝0，解得

x＝9.(2)解法一：若A，B，C三点共线，则AB→，AC→共线，则存在实数λ，使得AB→＝λAC→，因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)．所以

(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)．即4－k＝λ10－k，－7＝λk－12，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．解法二：由题意知AB→，AC→共线，因为AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→

＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k＝－2或11时，A，B，C三点共线．[答案](1)9(2)见解析三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共

线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．已知点A(x,0)，B(2x,1

)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量AB→与CD→共线；(2)当向量AB→与CD→共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解(1)AB→＝(x,1)，CD→＝(4，x)．∵AB→∥CD→，∴x2＝4，x＝±

2.(2)由已知得BC→＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，BC→＝(－2,1)，AB→＝(2,1)，∴AB→和BC→不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上；当x＝－2时，BC→＝(6，－3)，AB→＝(－2,1)，∴AB→∥BC→，此时A，B，C三点共线．又AB→∥CD→

，∴A，B，C，D四点在一条直线上．综上，当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上.题型五定比分点坐标公式例5线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且M1M→＝－2MM2→，则点M

的坐标为()A．(3,8)B．(1,3)C．(3,1)D．(－3，－1)[解析]设M(x，y)，利用线段定比分点的坐标公式，得x＝1＋－2×21＋－2＝3，y＝5＋－2×31＋－2＝1.[答案]C定比分点的两个特殊情况(1)中点坐标公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点

为P(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.(2)重心坐标公式：在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为Gx1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.已知两点P1

(3,2)，P2(－8,3)，点P12，y满足P1P→＝λPP2→，求λ及y的值．解解法一：因为P1P→＝12－3，y－2＝－52，y－2，PP2→＝－8－12，3－

y＝－172，3－y，所以－52，y－2172，3－y)．根据向量相等，得－52＝－172λ，y－2＝λ3－y，解得λ＝517，y＝4922.解法二：因为P1(3,2)，P2(－8,3)，P12，y，所以点P分P1P2→所成的比λ

＝12－3－8－12＝517.由定比分点的坐标公式得y＝2＋517×31＋517＝4922.题型六向量共线的应用例6在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，A

D与BC交于点M，求点M的坐标．[解]∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4，3)，∴OA→＝(0,5)，OB→＝(4,3)．∵OC→＝(xC，yC)＝14OA→＝0，54.∴点C的坐标为

0，54.同理可得点D的坐标为2，32.设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，而AD→＝2，－72.∵A，M，D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝

20.①而CM→＝x，y－54，CB→＝4－0，3－54＝4，74，∵C，M，B三点共线，∴CM→与CB→共线．∴74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20.②由①②，得x＝12

7，y＝2.∴点M的坐标为127，2.[变式探究]若将本例中的“OC→＝14OA→”改为“OC→＝13OA→”，其他条件不变，再试求M点的坐标．解∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴OA→＝(0,5)，OB→＝(4,3)，又OC→＝13OA→，∴C点

坐标为0，53，同理D点坐标为2，32，设M的坐标为(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，AD→＝2，－72，∵A，M，D三点共线，∴AM→与AD→共线．∴－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20，①又∵CM→＝x，y

－53，CB→＝4，43，C，M，B三点共线，∴43x－4y－53＝0，即x－3y＋5＝0，②由①②解得，x＝85，y＝115，∴点M的坐标为85，115.由向量共线求交点坐标的方法如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(

2，6)，求AC和OB的交点P的坐标．解∵OP→与OB→共线，故设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝(4λ－4,4λ)，AC→＝(2－4，6－0)＝(－2,6)．由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0.解得λ＝34.∴OP→＝(4λ，4λ

)＝(3,3)．故点P的坐标是(3,3)．1．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.12B.13C．1D．2答案A解析a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝

2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.2．设点P是P1(1，－2)，P2(－3,5)连线上一点，且P2P→＝－12PP1→，则点P的坐标为()A．(5，－9)

B．(－9,5)C．(－7,12)D．(12，－7)答案C解析∵P2P→＝－12PP1→，∴P2是P1P的中点，∴P(－7,12)．故选C.3．已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的

坐标不可能是()A．(－9,6)B．(－1，－2)C．(－7，－2)D．(6，－9)答案C解析设C(x，y)，则AC→＝(x－3，y＋6)，AB→＝(－8,8)．∵A，B，C三点在同一条直线上，∴x－3－8＝y＋68，即x＋y＋3＝0

，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，不可能的是C.4．与a＝(12,5)平行的单位向量为________．答案1213，513或－1213，－513解析设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则x2＋y2＝1，12y－5x＝0，解

得x＝1213，y＝513或x＝－1213，y＝－513.5．平面内给出三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求解下列问题：(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥

(2b－a)，求实数k.解(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，∴－m＋4n＝3，2m

＋n＝2，∴m＝59，n＝89.(3)∵a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)，又(a＋kc)∥(2b－a)，∴2(3＋4k)＝－5(

2＋k)，∴k＝－1613.