【文档说明】中考数学二轮复习压轴题精讲专题3：二次函数与等腰直角三角形 (含答案详解).doc，共(16)页，512.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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二次函数与等腰直角三角形1.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）

若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】

（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根

据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得

点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P

（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点

G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG?AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴当m=时，S有最大值是；（3）如图3，过P作

MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐标为（，）或（，）；如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥M

N于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐标为（，）或（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（

2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．2.定义：函数的伴随函数是．如：函数的伴随函数是．（1）函数的图像经过点，，求它的伴随函数；（2）函数的图像与它的伴随函数

图像交于A，B两点（点A在点B的左侧），与伴随函数的对称轴交于点P，它的伴随函数图像交轴于C，D两点（点C在点D的左侧），伴随函数的图像经过点(-l，0)．设的面积为S．①函数与它的伴随函数图像交于点(________，________)，(________，________)（用含

b的代数式表示）；②当伴随函数的对称轴在直线右侧时，求S与b之间的函数关系式；（3）函数图像与它的伴随函数图像交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与x轴交于点Q，点A关千它的伴随函数对称轴的对称点为点，当是等腰直角三角形时，

直接写出c的值．【答案】（1）；（2）①；；②当时，；当时，；当时，；（3）1，－1，【解析】【分析】（1）将点，代入，解得b、c的值，再代入伴随函数即可；（2）①图象交点即是解析式方程的公共解，联立两个解析式，转化成解一元二次方程，即可解出两个交

点的横坐标，将代入伴随函数，可得c与b的关系式，从而解得交点坐标；②由①中c、b的关系式解得函数与其伴随函数，分别求出点C、D、P的坐标，分三种情况讨论：或，根据三角形面积公式解题；（3）分两种情况讨论：当b>

0时与当b<0时，由抛物线的对称性解得坐标，进而再讨论当或时，由直线AQ的斜率解题即可．【详解】解：（1）把（3，0），（0，－3）代入中，得解得∴伴随函数是.（2）①解得或，伴随函数经过，，函数与它的伴随函数图象相交于点，故答案为：，；②

由①知，伴随函数经过，，函数的伴随函数是令y=0，得函数当时，.当时，.当时，.（3）分两种情况讨论：当b>0时，，点A关于对称轴的对称点，①当时，，等腰直角三角形中；②当时，，，，；当b<0时，，点A关于对称轴的对称点，①当时，，等腰

直角三角形中；②当时，，，，；综上所述，c=1，－1，.【点睛】本题考查二次函数综合，其中涉及二次函数与ｘ轴的交点、二次函数的对称轴、二次函数与一次函数图象的交点、一次函数的解析式、二次函数的解析式、一元二次方程、等腰直角三角形、三角形面积、分类讨论法等知识，是重要

考点，难度较难，掌握相关知识是解题关键．3.如图，已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于、两点，点为抛物线上的动点，过点作轴，交直线于点，垂足为．（1）求抛物线的解析式；（2）当点位于抛物线对称轴右侧时，点为抛物线对称轴左侧一个动点，过点作轴，垂足为点．若四

边形为正方形时求点的坐标；（3）若是以点为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点的横坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）四边形为正方形时点的坐标为和；（3）点的横坐标为2或－1或或.【解析】【分析】（1）先由二次函数解析式求出C点坐标，进而求出一次函数解

析式，再求出B点坐标，最后把A、B坐标代入抛物线解析式解方程即可；（2）四边形为正方形时，，轴，且P、Q两点关于对称轴对称，设出P点坐标，表示出，解方程即可；（3）由是以点为顶角顶点的等腰直角三角形，可

得∠QPF=∠PEB,即轴，可得P、Q两点关于对称轴对称，设，用分别表示Q、F坐标即可，最后根据PQ=PF列方程计算即可解题.【详解】（1）抛物线经过点，则点坐标为(0，3)，代入可得，则直线的解析式为.直线经过点，则点坐标为(3，0)将点、代入抛物

线解得，∴抛物线的解析式为.（2）抛物线的对称轴为.∵四边形为正方形，∴，轴.∴点与点关于直线对称.设点，则，.∴，解得：或（舍去）或或（舍去）当时，点，当时，点，∴四边形为正方形时点的坐标为和（3）点的横坐标为2或－1或或.∵是以点为顶角顶点的等腰直角三角

形∴∠QPF=∠PEB=90°∴轴∴点与点关于直线对称.设点，则，∴.∵，∴，解得：或或或综上所述，点的横坐标为2或－1或或.【点睛】本题是二次函数综合题，熟记一次函数、正方形、等腰三角形的性质是解题的关键，难度一般，但

是计算量比较大，需要注意.4.将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．（1）直接写出抛物线，的解析式；（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；（3）如图（2），直

线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过

定点（0，2）【解析】【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐

标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数

法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，抛物线的解析式为：y

=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，∵是等腰直角三角形，∴∠BOA=45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A、B、O、D四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴是等腰直角三角形，∴DC=AC．∵点

在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，∴抛物线的对称轴为x=2，设点A的坐标为（x，x2-4x-2），∴DC=x-2，AC=x2-4x-2，∴x-2=x2-4x-2，解得：x=5或x=0（舍去），∴点A的坐标为（5，3）；同理，当

点B、点A在x轴的下方时，x-2=-(x2-4x-2)，x=4或x=-1（舍去），∴点的坐标为（4，-2），综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，∴，∴x2-

kx-6=0，设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，∴xE+xF=k，∴中点M的横坐标xM==，中点M的纵坐标yM=kx=，∴点M的坐标为（，）；同理可得：点N的坐标为（，），设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），将

M（，）、N（，）代入得：，解得：，∴直线MN的解析式为y=·x+2（），不论k取何值时（），当x=0时，y=2，∴直线经过定点（0，2）．【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．5.如图，已

知抛物线经过，，三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段于点E，若．①求直线的解析式；②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧

．点R是直线上的动点，若是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）①；②（2，4）或（，）【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，设直线BD的表达式为：y=k（x-4），求出直线AC的表达式，和BD联立，求出点E坐标，证明△

BDO∽△BEG，得到，根据比例关系求出k值即可；②根据题意分点R在y轴右侧时，点R在y轴左侧时两种情况，利用等腰直角三角形的性质求解即可.【详解】解：（1）∵抛物线经过点，，，代入，∴，解得：，∴抛物线表达式为：；（

2）①过点E作EG⊥x轴，垂足为G，∵B（4，0），设直线BD的表达式为：y=k（x-4），设AC表达式为：y=mx+n，将A和C代入，得：，解得：，∴直线AC的表达式为：y=2x+4，联立：，解得：，∴E（，），∴G（，0），∴BG=，∵EG⊥x轴，

∴△BDO∽△BEG，∴,∵，∴，∴，解得：k=，∴直线BD的表达式为：；②由题意：设P（s，），1＜s＜4，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠PQR=90°，PQ=RQ，当点R在y轴右侧时，如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，∵∠PQR

=90°，∴∠PQM+∠RQN=90°，∵∠MPQ+∠PQM=90°，∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，∴△PMQ≌△QNR，∴MQ=NR，PM=QN，∵Q在抛物线对称轴l

上，纵坐标为1，∴Q（1，1），∴QN=PM=1，MQ=RN，则点P的横坐标为2，代入抛物线得：y=4，∴P（2，4）；当点R在y轴左侧时，如图，分别过点P，R作l的垂线，垂足为M和N，同理：△PMQ≌△QNR，∴NR=QM，NQ=PM

，设R（t，），∴RN==QM，NQ=1-t=PM，∴P（，2-t），代入抛物线，解得：t=或（舍），∴点P的坐标为（，），综上：点P的坐标为（2，4）或（，）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三

角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形.6.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析

式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若

不存在，说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3（2）（﹣，）（3）存在，P（﹣2，3）或P（，）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F，直线AB解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2

t+3）（﹣3＜t＜0），则F（t，t+3），则PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，根据S△PAB＝S△PAF+S△PBF写出解析式，再求函数最大值；（3）设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），PD＝﹣t2﹣3t，由抛物线y＝﹣x2﹣2

x+3＝﹣（x+1）2+4，由对称轴为直线x＝﹣1，PE∥x轴交抛物线于点E，得yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称，所以＝﹣1，得xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t，故PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，由△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，得PD＝PE，再分情况讨论：①当﹣3＜

t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t；②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2

﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF

+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t

2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2

t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解

得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．【点睛】考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.