【文档说明】中考数学总复习题型突破数学思想方法课件湘教版.pptx，共(69)页，2.246 MB，由小橙橙上传

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题型突破（四）数学思想方法题型解读数学思想是指对数学知识和方法形成的规律性的认识,是解决数学问题的根本策略.数学思想揭示概念、定理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分.中考中常用到的数学思想方法有整体思想、转

化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等.代数与几何的综合题所涉及的数学思想往往不是单一的,很多问题中都是以数形结合思想为主线,综合考查其他思想方法的灵活运用,难度较大,在中考中的压轴题体现尤为明显.

|类型1|整体思想的应用例1先化简,再求值:x-𝑥𝑥+1÷𝑥𝑥2+2𝑥+1,其中x满足x2+x-2=0.【分层分析】(1)将分式x-𝑥𝑥+1÷𝑥𝑥2+2𝑥+1化简的结果是;(2)将条件x2+x-2=

0中的常数项移项到等号右边是.解:原式=𝑥(𝑥+1)-𝑥𝑥+1·(𝑥+1)2𝑥=x(x+1)=x2+x.∵x2+x-2=0,∴x2+x=2,即原式=2.【方法点析】运用整体思想解题的关键是把研究对象的某一部分(或全部)看成一个

整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径.整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决.|类型1|整体思想的应用[

答案]C[解析]由(m-n)2=8得m2-2mn+n2=8;由(m+n)2=2得m2+2mn+n2=2,两式相加,得2m2+2n2=10,所以m2+n2=5,故选C.1.已知(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=()A.10

B.6C.5D.3|类型1|整体思想的应用[答案]B[解析]将x-1看作一个整体,原式刚好是一个完全平方式,即(x-1)2+2(x-1)+1=(x-1+1)2=x2..2.分解因式(x-1)2+2(x-

1)+1的结果是()A.(x-1)(x-2)B.x2C.(x+1)2D.(x-2)2|类型1|整体思想的应用[答案]0.36[解析]∵x+y=0.2①,x+3y=1②,①+②得2x+4y=1.2,∴x+2y=0.6,∴x2+4xy+4y2=(x+2y)2=0.36.3.[2

018·成都]x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为.|类型1|整体思想的应用解:将方程组中的两个方程相加,得3x+3y=5k+3,所以x+y=5𝑘+33,因为0<x+y<3,所以0<5𝑘+33<3,解得-35<k<65.4.已知𝑥+2𝑦

=4𝑘+1,2𝑥+𝑦=𝑘+2且0<x+y<3,求k的取值范围.|类型2|转化思想的应用例2[2018·绵阳]解分式方程:𝑥-1𝑥-2+2=32-𝑥.【分层分析】(1)解分式方程常用的方法是;(2)在方程两边同时乘可以将方程的分母去掉,得到的

整式方程是;(3)解分式方程与解整式方程在过程上最典型的区别是.【方法点析】解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.转化的目的是使问题化复杂为简单、化陌生为熟悉、化未知为已知,易于问题的解决,从

而避免“小题大做”.通过转化得到的问题,必须与原来的问题是等价的,否则转化是无效的、得到的结果是错误的.|类型2|转化思想的应用解:方程两边同时乘x-2,得x-1+2(x-2)=-3,去括号,得x-1+2x-4=-3,移项,得x+2x=2,合并同

类项,系数化为1,得x=23,经检验,x=23是原分式方程的解,故原分式方程的解为x=23.例2[2018·绵阳]解分式方程:𝑥-1𝑥-2+2=32-𝑥.|类型2|转化思想的应用针对训练1.如图Z4-1

,AB是☉O的直径,C,D在☉O上,∠AOD=30°,则∠BCD=.图Z4-1[答案]105°[解析]连接AC,则∠ACD=12∠AOD=15°,∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=15°+90°=105°.|类型2|转化思想的应用2.[20

18·雅安]《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是:弧田面积=12(弦×矢+矢2).弧田(如图Z4-2中阴影部分所示)由圆弧和其所对弦围成,公式中的“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆

心到弦的距离之差.现有圆心角为120°,半径等于4米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为米2.图Z4-2|类型2|转化思想的应用[答案]43+2[解析]如图,由题可知∠AOB=120°,OB=4,OC⊥AB,“矢”等于CD的长,AD=DB.在Rt△BOD中,∠OBD=30°,所以OD=

2,所以CD=2,BD=23,AB=2BD=43,由公式可得弧田面积=12(弦×矢+矢2)=12×(43×2+22)=12×(43×2+4)=43+2.|类型2|转化思想的应用3.[2018·黄冈]在端午节来临之际,某

商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克,若B型粽子的重量比A型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2560元,求购进两种型号粽子各多少千克?解:设购进A型粽子x千克,B型粽子y千克,则根据题意得𝑦=2𝑥-20,28𝑥+2

4𝑦=2560,解得𝑥=40,𝑦=60.答:购进A型粽子40千克,B型粽子60千克.|类型2|转化思想的应用4.李老师家距学校1900米,某天他步行去上班,走到一半时发现忘了带手机,此时离上班时间还有23分钟

,于是他立刻步行回家取手机,随后骑电动车去上班.已知李老师骑电动车到学校比他步行到学校少用20分钟,且骑电动车的平均速度是步行速度的5倍,李老师到家开门、取手机、启动电动车等共用4分钟.请你判断李老师能否按

时上班,并说明理由.解:李老师能按时上班.理由:设李老师步行的平均速度为x米/分钟,则骑电动车的平均速度为5x米/分钟,由题意,得1900𝑥-19005𝑥=20,解得x=76,经检验,x=76是原分式方程的解,且符合题意,则5x=76×5=380.∵

李老师走回家需要的时间为19002×76=12.5(分钟),骑电动车到学校的时间为1900380=5(分钟),∴李老师从发现忘带手机到学校所用的时间为12.5+5+4=21.5<23,∴李老师能按时上班.|类型3|分类

讨论思想的应用例3[2017·齐齐哈尔]如图Z4-3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是.图Z4-3【分层分析】

(1)△ABC是等腰三角形,AD是底边上的高,由等腰三角形的“三线合一”可得AD是底边上的,在Rt△ABD中,由勾股定理,可得AD=;(2)将Rt△ABD和Rt△ACD拼成一个平行四边形,可能的情况有.|类型3|分类讨论思想的应用[答案]10或413或273[解析]∵AB=AC=10,

BC=12,底边BC上的高是AD,∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=12BC=12×12=6,∴AD=102-62=8.用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况讨论:①按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是10.②按

照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是82+122=413.③按照如图所示的方法拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是62+162=273.综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长

是10或413或273.|类型3|分类讨论思想的应用针对训练1.已知等腰三角形的一条边长为4,另一条边长为8,则这个等腰三角形的周长为()A.16B.20或16C.20D.12[答案]C[解析]①当4为腰长时,4+4=8,故此种情况不存在;②当8为腰长时,8+4>8,符合题意.故此三角形的周长为8

+8+4=20.故选C.|类型3|分类讨论思想的应用2.[2018·安顺]已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB丄CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为()A.25cmB.45cmC.25cm或45cmD.23cm或

43cm[答案]C[解析]当点M在线段OC上时,OA=OC=5cm,AM=4cm.∵OA2=AM2+OM2,∴OM=3cm,故CM=OC-OM=2(cm).在Rt△ACM中,由勾股定理得AC2=AM2+CM2=25(cm).当点M在线段OD上时,CM=OC

+OM=8(cm).在Rt△ACM中,由勾股定理得AC2=AM2+CM2=45(cm).故AC的长为25cm或45cm.|类型3|分类讨论思想的应用3.[2018·绍兴]等腰三角形ABC中,顶角A=40°,点P

在以A为圆心,BC的长为半径的圆上,且BP=BA,则∠PBC=.[答案]30°或110°[解析]分两种情况讨论:(1)如图①,∵BP=BA=AC,AP=BC,∴四边形APBC为平行四边形,∴∠BAC=∠ABP=40°,∠ABC=∠ACB=70°,∴∠PBC=∠ABP+ABC=70°+40°

=110°.(2)如图②,∵AP=BC,BP=AC,AB=AB,∴△BAP≌△ABC,∴∠PBA=∠BAC=40°,∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=70°-40°=30°.|类型3|分类讨论思想的应用4.[2020·聊城

]如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.[答案]180°或360°或540°[解析]如图所示,一个正方形被截掉一个角后,可能得到如下的多边形.|类型3|分类讨论思想的应用5.[20

17·绥化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交BC于点D,若AD=12BC,则△ABC的顶角的度数为.[答案]30°或90°或150°[解析]应分下列三种可能情况求顶角:(1)若A是顶点,如图①,因为AB=AC,A

D⊥BC,所以D为BC的中点,又AD=12BC,所以AD=BD,则底角为45°,则顶角为90°;(2)若A不是顶点,且三角形是锐角三角形,如图②,则在直角三角形ACD中,AD=12AC,所以顶角为30°;(3)若A不是顶点,且三角形是钝角三角

形,如图③,因为AC=BC,AD=12BC,所以AD=12AC,则∠ACD=30°,所以顶角为150°.故填30°或90°或150°.|类型4|方程思想的应用例4[2016·衡阳]如图Z4-4所示,1条直线将平面分成2个部分,2

条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为.图Z4-4|类型4|方程思想的应用【分层分析】(1)填写下列表格:直线数目1234

5图形分部分数1+11+1+21+1+2+3(2)根据上述规律,猜想n条直线最多可将平面分成个部分;(3)计算:1+1+2+3+4+5+…+n=.【方法点析】(1)运用方程思想解题的基本思路是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数

,把所求解的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决.(2)用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及实际生活中有着广泛的应用.|类型4|方程思想

的应用例4[2016·衡阳]如图Z4-4所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线最多可将平面分成11个部分.现有n条直线最多可将平面

分成56个部分,则n的值为.图Z4-4[答案]10[解析]依题意有12n(n+1)+1=56,解得n1=-11(不符合题意,舍去),n2=10.|类型4|方程思想的应用针对训练1.[2018·常州]京杭大运河是世界历史文化遗产,综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(

岸沿是平行的),如图Z4-5,在岸边分别选定了点A,B和点C,D,先用卷尺量得AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求该段运河的河宽(即CH的长度).图Z4-5|类型4|方程思想的应用解:如图,过D作DE⊥AB,垂足为E.易知四边形CDEH

为矩形,CD=HE=40m,DE=CH.设河宽为xm,则DE=CH=xm,在Rt△ACH中,由∠CAB=30°,可得AH=𝐶𝐻tan30°=3x(m).在Rt△DEB中,由∠DBA=60°,可得BE=𝐷𝐸tan60°=33x(m).∵AH+HE+EB=AB=160(m),∴3x+4

0+33x=160,解得x=303(m).答:该段运河的河宽为303m.|类型4|方程思想的应用2.[2018·宜昌]某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集

中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理.若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使

Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.(1)求n的值;(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数

量;|类型4|方程思想的应用(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等.第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的

Q值及a的值.|类型4|方程思想的应用2.[2018·宜昌]某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理.若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行

一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.(1)求n的值;解:(1)∵40n=12,∴n=0.3.|类型4|方程思想的应用2.[2018·宜昌]某市创建“绿色发展模范

城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理.若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平

均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190

家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;(2)40+40(1+m)+40(1+m)2=190,解得m1=12,m2=-72(舍去),∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1+m)=40×(1

+50%)=60.|类型4|方程思想的应用2.[2018·宜昌]某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治

理.若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算.第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.

(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等.第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲

方案治理降低的Q值及a的值.|类型4|方程思想的应用(3)设第一年用甲方案治理降低的Q值为x,则第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30,由题得𝑥+𝑎=30,𝑥+2𝑎=39.5,解得𝑥=20.5,𝑎=9.5,∴Q值为20.5,a的值为9.5.|类型4|方程思想的应

用3.[2018·攀枝花]如图Z4-6,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴于点B,cos∠OAB=35,反比例函数y=𝑘𝑥的图象的一支分别交AO,AB于点C,D.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E,已知点D的纵坐标为32.(1)求反比例函数的表达式;(2)求直线E

B的表达式;(3)求S△OEB.图Z4-6解:(1)在Rt△AOB中,∵cos∠OAB=35,∴𝐴𝐵𝑂𝐴=35,∴𝐴𝐵𝑂𝐵=34,∵A点坐标为(a,6),∴6𝑎=34,∴a=8,∴D8,32,k=8×32=12,∴反比例函数的表达式为y=12𝑥.|类型4|方程思想的应用3.[2

018·攀枝花]如图Z4-6,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴于点B,cos∠OAB=35,反比例函数y=𝑘𝑥的图象的一支分别交AO,AB于点C,D.延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E,已知点D的纵坐标为32.(2)求直线EB的表达式;

图Z4-6(2)易知直线OA的表达式为y=34x,与反比例函数的表达式y=12𝑥组成方程组,解得点E(-4,-3),又B(8,0),∴设直线BE的表达式为y=bx+c,则8𝑏+𝑐=0,-4𝑏+𝑐=-3,解得𝑏=14,𝑐=-2,∴直线B

E的表达式为y=14x-2.|类型4|方程思想的应用3.[2018·攀枝花]如图Z4-6,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(a,6),AB⊥x轴于点B,cos∠OAB=35,反比例函数y=𝑘𝑥的图象的一支分别交AO,AB于点C,D.延长A

O交反比例函数的图象的另一支于点E,已知点D的纵坐标为32.(3)求S△OEB.图Z4-6(3)∵点B(8,0),点E(-4,-3),∴S△OEB=12×8×3=12.|类型5|函数思想的应用例5[2018·遵义]在水果销售旺季,某水果店购进一种优质

水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系:销售量y(千克)…34.83229.628…售价x(元/千克

)…22.62425.226…(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量;(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?|类型5|函数思想的应用【分层分析】(1)一次函数的一般形式是:;求一次函数表达式的步骤是:;(2)总利润=单个利润

×销售量,设售价为m元/千克,表示出总利润,解方程可得售价,注意题目中对售价的要求.【方法点析】用函数变化的观点来观察、分析已知信息中的条件和结论,并借助函数表达式来思考问题.在实际生活中,许多问题都可以归结为函数这种数学模型来解决,在讨论函数的

过程中往往会把函数问题转化为方程(或不等式)来解决.|类型5|函数思想的应用例5[2018·遵义]在水果销售旺季,某水果店购进一种优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示

的一次函数关系:销售量y(千克)…34.83229.628…售价x(元/千克)…22.62425.226…(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量;解:(1)由题可知这种水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足一次函数关系,故设y=kx+b,当x=24

时,y=32,当x=26时,y=28,得24𝑘+𝑏=32,26𝑘+𝑏=28,解得𝑘=-2,𝑏=80,所以y=-2x+80,当x=23.5时,y=33.答:当天水果的销售量为33千克.|类型5|

函数思想的应用例5[2018·遵义]在水果销售旺季,某水果店购进一种优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系:销售量y(千克)…3

4.83229.628…售价x(元/千克)…22.62425.226…(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?(2)设售价为m元,则当天的销售量为(-2m+80)千克,根据题意得(m-20

)(-2m+80)=150,解得m1=25,m2=35,因为售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,所以m2=35舍去.答:该天水果的售价为25元.|类型5|函数思想的应用针对训练1.环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.

0毫克/升.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)的变化规律如图Z4-7所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.(1)求整改过程中硫化物的

浓度y关于时间x的函数表达式.(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0毫克/升?为什么?图Z4-7|类型5|函数思想的应用解:(1)分情况讨论:①当0≤x≤3时,设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b,把A(0,10)

,B(3,4)代入,得𝑏=10,3𝑘+𝑏=4,解得𝑘=-2,𝑏=10,∴y=-2x+10.②当x>3时,设y=𝑚𝑥,把(3,4)代入,得m=3×4=12,∴y=12𝑥.综上所述:当0≤x≤3时,y=-2x+10;当x>3

时,y=12𝑥.|类型5|函数思想的应用1.环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0毫克/升.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化

物的浓度y(毫克/升)与时间x(天)的变化规律如图Z4-7所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0毫克/升?为

什么?图Z4-7(2)能.理由如下:令y=12𝑥=1,则x=12<15,故能在15天以内不超过最高允许的1.0毫克/升.|类型5|函数思想的应用2.[2018·威海]为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策:提

供10万元的无息创业贷款.小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收5名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4千元,该网店还需每月支付其他费用1万元.该产品每月的销售量y(万件)与销售单

价x(元)之间的函数关系如图Z4-8所示.(1)求该网店每月的利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式;(2)小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?图Z4-8|类型5|函数思想的应用解:(1)设直线AB的函数表达式为yAB=kx+b,把A(4,4),B(6

,2)代入,得4=4𝑘+𝑏,2=6𝑘+𝑏,解得𝑘=-1,𝑏=8.∴直线AB的函数表达式为yAB=-x+8.设直线BC的函数表达式为yBC=k1x+b1,把B(6,2),C(8,1)代入,得2=6𝑘1+𝑏1,1=8𝑘1+𝑏1

,解得𝑘1=-12,𝑏1=5.∴直线BC的函数表达式为yBC=-12x+5.工资及其他费用为0.4×5+1=3(万元).当4≤x≤6时,w1=(x-4)(-x+8)-3,即w1=-x2+12x-35.当6<x≤8时,w2=(x-4)-

12x+5-3,即w2=-12x2+7x-23.∴w=-𝑥2+12𝑥-35(4≤𝑥≤6),-12𝑥2+7𝑥-23(6<𝑥≤8).|类型5|函数思想的应用2.[2018·威海]为了支持大学生创业,某市政府出台了一项优惠政策

:提供10万元的无息创业贷款.小王利用这笔贷款,注册了一家淘宝网店,招收5名员工,销售一种火爆的电子产品,并约定用该网店经营的利润,逐月偿还这笔无息贷款.已知该产品的成本为每件4元,员工每人每月的工资为4千元,该网店还需每

月支付其他费用1万元.该产品每月的销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图Z4-8所示.(2)小王自网店开业起,最快在第几个月可还清10万元的无息贷款?图Z4-8(2)当4≤x≤6时,w1=-

x2+12x-35=-(x-6)2+1,∴当x=6时,w1取得最大值1.当6<x≤8时,w2=-12x2+7x-23=-12(x-7)2+32,∴当x=7时,w2取得最大值32.∵32>1,∴1032=203=623.故最快在第7个月可以还清全部贷款.|类型6|数形结合思想

的应用例6[2018·遵义]为深化课程改革,某校为学生开设了形式多样的社团课程,为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度,学校随机抽取七年级部分学生进行调查,从A:文学鉴赏,B:科学探究,C:文史天地,D:趣味数学四门课

程中选出你最喜欢的课程(被调查者限选一项),并将调查结果绘制成两个不完整的统计图,如图Z4-9所示.图Z4-9|类型6|数形结合思想的应用根据以上信息,解答下列问题:(1)本次调查的总人数为人,扇形统计图中A部分的圆心

角是度;(2)请补全条形统计图;(3)根据本次调查,该校七年级840名学生中,估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少.|类型6|数形结合思想的应用【分层分析】(1)由条形统计图可知喜欢D课程的人数是48,由扇形统计图可知喜欢D课程的人占总人数的30%,

所以调查人数是;喜欢A课程的人数是24,占调查总人数的百分数是,扇形统计图中A部分的圆心角的度数是;(2)将调查总人数减去喜欢课程A,C,D的人数即得喜欢课程B的人数是,从而可补全条形统计图;(3)先求出喜欢“科学探究”的学生人数占样本的百分比是,进而估计出七年级学生中喜欢“科学探究”的学生人数.

|类型6|数形结合思想的应用【方法点析】在研究问题时把数与形结合考虑,把数量关系转化为图形的性质,或者把图形的性质转化为数量关系,从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化.如利用数轴研究实数和不等式(组)的解

集,利用统计图获取相关统计量的信息,利用图形的剪拼验证整式的一些性质,利用函数的图象研究函数的性质等.|类型6|数形结合思想的应用例6[2018·遵义]为深化课程改革,某校为学生开设了形式多样的社团课程,为了解部分社团课程在学生中最

受欢迎的程度,学校随机抽取七年级部分学生进行调查,从A:文学鉴赏,B:科学探究,C:文史天地,D:趣味数学四门课程中选出你最喜欢的课程(被调查者限选一项),并将调查结果绘制成两个不完整的统计图,如图Z4-9所示.图Z4-9|类型6|数形结合思想的应用根据以上信

息,解答下列问题:(1)本次调查的总人数为人,扇形统计图中A部分的圆心角是度;解:(1)48÷30%=160(人),360°×24160=54°,故填160,54.|类型6|数形结合思想的应用例6[2018·遵义]为深化课程

改革,某校为学生开设了形式多样的社团课程,为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度,学校随机抽取七年级部分学生进行调查,从A:文学鉴赏,B:科学探究,C:文史天地,D:趣味数学四门课程中选出你最喜欢的课程(被调查

者限选一项),并将调查结果绘制成两个不完整的统计图,如图Z4-9所示.图Z4-9|类型6|数形结合思想的应用根据以上信息,解答下列问题:(2)请补全条形统计图;(2)160-24-32-48=56(人),条形图如图所示.|类型6|数形结合思想的应用例6[2018·遵义]为深化课程改

革,某校为学生开设了形式多样的社团课程,为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度,学校随机抽取七年级部分学生进行调查,从A:文学鉴赏,B:科学探究,C:文史天地,D:趣味数学四门课程中选出你最喜欢的课程(被调查者限选一项),并将调查结果绘制成两个不

完整的统计图,如图Z4-9所示.图Z4-9|类型6|数形结合思想的应用根据以上信息,解答下列问题:(3)根据本次调查,该校七年级840名学生中,估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少.(3)840×56160

=294(人).答:估计最喜欢“科学探究”的学生人数为294.|类型6|数形结合思想的应用针对训练1.[2018·南充]如图Z4-10,BC是☉O的直径,A是☉O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是()图Z4-10A.58°B.60°C.64°D.68°[答案]A[解

析]∵BC是☉O的直径,∴∠CAB=90°,∵OA=OC,∠OAC=32°,∴∠C=∠OAC=32°,∴∠B=90°-32°=58°,故选A.|类型6|数形结合思想的应用2.[2018·孝感]如图Z4-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则

sinA等于()图Z4-11A.35B.45C.34D.43[答案]A[解析]根据勾股定理可得BC=𝐴𝐵2-𝐴𝐶2=102-82=6.根据三角函数的定义可得sinA=𝐵𝐶𝐴𝐵=610=35.故选A.|类型6|数形结合思想的应用3.[2018·遵义]如图

Z4-12,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD,若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为()图Z4-12A.10B.12C.16D.18|类型6|数形

结合思想的应用[答案]C[解析]矩形ABCD中,因为AB∥CD,所以∠EAP=∠FCP,因为∠APE=∠CPF,所以△APE∽△CPF,所以𝐴𝐸𝐹𝐶=𝐸𝑃𝐹𝑃.因为EF∥BC,所以EB=FC,所以

EB·EP=FC·EP=AE·FP=16,所以S△EBP=12·EB·EP=8,因为DF=AE=2,所以S△DFP=12·DF·FP=8,所以S阴影=S△EBP+SDFP=16.|类型6|数形结合思想的应用4.[2018·南京

]小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第tmin时的速度为vm/min,离家的距离为sm.v与t之间的函数关系如图Z4-13所示(图中的空心圈表示不包含这一点).(1)小明出发第2min时离家的距离为

m;(2)当2<t≤5时,求s与t之间的函数表达式;(3)画出s与t之间的函数图象.图Z4-13解:(1)100×2=200(m).故小明出发第2min时离家的距离为200m.|类型6|数形结合思想的应用4.[2018·南京]小明从家出发,沿一条直道跑步,经过

一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第tmin时的速度为vm/min,离家的距离为sm.v与t之间的函数关系如图Z4-13所示(图中的空心圈表示不包含这一点).(2)当2<t≤5时,求s与t之间的函数表达

式;图Z4-13(2)根据题意,当2<t≤5时,s与t之间的函数表达式为s=200+160(t-2),即s=160t-120.|类型6|数形结合思想的应用4.[2018·南京]小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第tmin时的速度为vm

/min,离家的距离为sm.v与t之间的函数关系如图Z4-13所示(图中的空心圈表示不包含这一点).(3)画出s与t之间的函数图象.图Z4-13(3)s与t之间的函数图象如图所示.|类型6|数形结合思想的应用5.[2018

·广安]如图Z4-14,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的图象交于A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,连接OA,已知OC=2,tan∠AOC=32

,B(m,-2).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出:当y1>y2时,x的取值范围.图Z4-14解:(1)在Rt△AOC中,OC=2,tan∠AOC=𝐴𝐶𝑂𝐶=32,则AC=3

.∴点A(2,3).∵点A在反比例函数y2=𝑘𝑥的图象上,∴k=6,则反比例函数的表达式为y2=6𝑥.∵点B在反比例函数y2=6𝑥的图象上,∴-2=6𝑚,解得m=-3,∴点B(-3,-2).由点A,B在一次函数y1=ax+b的图象上,得2𝑎+𝑏=3,-3�

�+𝑏=-2,解得𝑎=1,𝑏=1,∴一次函数的表达式为y1=x+1.|类型6|数形结合思想的应用5.[2018·广安]如图Z4-14,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2=𝑘𝑥(k为常数,k

≠0)的图象交于A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,连接OA,已知OC=2,tan∠AOC=32,B(m,-2).(2)结合图象直接写出:当y1>y2时,x的取值范围.图Z4-14(2)当x>2或-3<x<0时,y1>y2.|类型6|数形结合思想的

应用6.[2018·荆门]如图Z4-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.图Z4-15解:(1

)证明:在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,E为AB边的中点,∴BC=EA,∠ABC=60°.∵△DEB为等边三角形,∴DB=DE,∠DEB=∠DBE=60°,∴∠DEA=120°,∠DBC=120°,∴∠DEA=∠DBC,∴△ADE≌△CD

B.|类型6|数形结合思想的应用6.[2018·荆门]如图Z4-15,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边三角形BDE,连接AD,CD.(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.图Z4-15(2)如图

,作点E关于直线AC的对称点E',连接BE'交AC于点H,则点H即为符合条件的点.由作图可知EH+BH=BE',AE'=AE,∠E'AC=∠BAC=30°,∴∠EAE'=60°,∴△EAE'为等边三角形,∴EE'=EA=12AB,∴∠AE'B=90°.在Rt△ABC中,∠BA

C=30°,BC=3,∴AB=23,AE'=AE=3,∴BE'=𝐴𝐵2-𝐴𝐸'2=(23)2-(3)2=3,∴BH+EH的最小值为3.|类型6|数形结合思想的应用7.[2018·贵港]如图Z4-16,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,

0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).(1)求这个二次函数的表达式;(2)若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.①求线段PM的最大值;②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时

,求点P的坐标.图Z4-16解:(1)设二次函数的表达式为y=a(x+1)(x-3),把点C(0,-3)代入,得-3=a(0+1)(0-3),解得a=1,∴二次函数的表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.|类型6|数形

结合思想的应用7.[2018·贵港]如图Z4-16,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).(2)若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点,PH

⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.①求线段PM的最大值;图Z4-16(2)①设BC所在直线的表达式为y=kx+b,将B(3,0),C(0,-3)代入,得0=3𝑘+𝑏,-3=𝑏,解得𝑘=1,𝑏=-3,∴直线

BC的表达式为y=x-3,再设P点的坐标为(m,m2-2m-3),由于PH⊥x轴于点H,∴M的坐标为(m,m-3),∴PM=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m,∴PM有最大值,且当m=32时,PM最大=0-324×(-1)=94.|类型6|数形结合思想的应用7.[2018·贵港]

如图Z4-16,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).(2)若P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交

于点M,连接PC.②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.图Z4-16②设P点的坐标为(x,x2-2x-3),则M的坐标为(x,x-3),∴PM=-x2+3x.当PM=PC时,-x2+3x=𝑥2+(𝑥2-2𝑥-3+3

)2,解得x=0或x=2,由于x=0不符合题意,舍去,∴x=2,此时P点的坐标为(2,-3);当PM=CM时,-x2+3x=𝑥2+(𝑥-3+3)2,解得x=0或x=3±2,x=0和x=3+2不符合题意,舍去.∴x=3-2,此时P点的坐标为(3-2,2-42).综上所述,满足条件的P点坐标为(

2,-3)或(3-2,2-42).