【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习讲义01《三角函数的图像及性质》(解析版) .doc，共(12)页，496.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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01三角函数的图象与性质核心考点读高考设问知考法命题解读三角函数的概念、诱导公式及同角关系式【2018新课标3文理4】若1sin3，则cos2()三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象

变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.【2020新课标1理9】已知π()0,，且3cos28cos5，则sin（）【2020新课标3文5】已知πsins

in=31，则πsin=6（）【2020新课标3理9】已知2tantan74，则tan（）【2016新课标1文14】已知是第四象限角，且3sin45

，则tan4．【2020新课标2文13】若2sin3x，则cos2x__________．【2018新课标2理15】已知sincos1αβ，cossin0αβ，则sin()αβ_______

___．【2017新课标1文15】已知π(0)2，，tan2，则πcos()4=__________．三角函数的图象及应用【2017新课标1理9】已知曲线1Cycosx：，2223Cysinx：，则下面结论正确的是()【2017新课标3理6】设函

数cos3fxx，则下列结论错误的是()【2020新课标1理7】设函数()cosπ()6fxx在[π,π]的图像大致如下图，则fx的最小正周期为（）【2020新高考全国10】下图是函数

sinyx的部分图像，则sinx（）三角函数的性质【2018新课标3文6】函数2tan()1tanxfxx的最小正周期为()【2017课标2理14】函数23sin3cos4fxxx0,2x

的最大值是．【2019课标1文15】函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为．【2017新课标2文13】函数()2cossinfxxx的最大值为．核心考点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交

于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanαα≠kπ＋π2

，k∈Z.3．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．1.【2020新课标1理9】已知π()0,，且3cos28cos5，则sin（）A．53B．23C．13D．59【答案】A【解析】3cos28cos5，

得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3或cos2（舍去），又25(0,),sin1cos3．故选A．2．【2016新课标1文14】已知是第四象限角，且3

sin45，则tan4．【答案】43【解法1】由题意sinsin4423cos45．因为2222kk

kZ，所以722444kkkZ，从而4sin45，因此4tan43．故填43．评注：此处的角还可由3cos45缩

小至722244kkkZ，但没必要．另外，还可利用ππtantan144来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos45，故3tan44，所以tan4

143tan4．【解法2】考虑到πππ()()442，令ππ,44，则π2，因为是第四象限角，所以cos0，故4cos5，所以πcos4tantan()2sin3．【解法3】考虑ππ()44

，运用两角和的正切公式．令π4，则π4，因为是第四象限角，所以cos0，故4cos5，从而sin3tancos4，所以πtantan()4tan1tan11

7，故πtan14tan()41tan3．【解法4】πcos()πtan1cossin44tan()π41tansincos3sin()4．【解

法5】展开π3sin()45求出sin，运用两角和的正切公式．因为π3sin()45，所以32sincos5，7sincos50，因为是第四象限角，所以sin0，cos0

，解得2sin10，72cos10，所以1tan7，故πtan14tan()41tan3．【解法6】运用两角和的正弦公式求出sin，再运用两角和的正切公式．因为π3sin()45，是第四象限角，所以π4cos()45

，从而ππsinsin()442π2πsin()cos()24242342()25510，72cos10，所以1tan7，故πtan14tan()41tan3

．1．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则tan2α＋π4等于()A．－7B．－17C.17D．7【答案】A【解析】由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负

半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得x＝2，y＝1，tanα＝yx＝12，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝11－14＝43，∴tan2α＋π4＝tan2α＋tanπ41－tan2αtanπ4＝43＋11－43×1＝－7.2.已知曲线f(

x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2π2＋α－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为()A.85B．－45C.43D．－23【答案】A【解析】由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，∴tanα＝f′(1

)＝－2，cos2π2＋α－2cos2α－3sin()2π－αcos()π＋α＝(－sinα)2－2cos2α－3sinαcosα＝sin2α－2cos2α－3sinαcosα＝sin2α－2cos2α－3sinαcosαsin2α＋cos2α＝

tan2α－3tanα－2tan2α＋1＝4＋6－25＝85.3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点Psin5π3，cos5π3，则sin(π＋α)等于()A．－32B．－12C.12D.32【答案】B【解析】由诱导

公式可得，sin5π3＝sin2π－π3＝－sinπ3＝－32，cos5π3＝cos2π－π3＝cosπ3＝12，即P－32，12，由三角函数的定义可得，sinα＝12－3

22＋122＝12，则sin()π＋α＝－sinα＝－12.4.已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，则sinπ－α－4sinπ2＋α5sin2π＋α＋2cos2π－α等于()A.12B.13C.16D．－16【答案】D【解析】∵sin(3π＋α)＝

2sin3π2＋α，∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα，则sinπ－α－4sinπ2＋α5sin2π＋α＋2cos2π－α＝sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝2cosα－4cosα10cosα＋2co

sα＝－212＝－16.核心考点二三角函数的图象及应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象：(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：(先平移后伸缩)y＝sinx――――――――

――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位长度y＝sin(x＋φ)―――――――――――――→横坐标变为原来的1ωω>0倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――――→纵坐标变为原来

的AA>0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．(先伸缩后平移)y＝sinx――――――――――→横坐标变为原来的1ωω>0倍纵坐标不变y＝sinωx―――――――→向左φ>0或右φ<0平移|φ

|ω个单位长度y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的AA>0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．1．【2017新课标1理9】已知曲线12223Cycosx,Cysinx：：，则下面结论正确的是()A．把1C上各点的横坐标伸长到

原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C；B．把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C；C．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长

度，得到曲线2C；D．把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C．【答案】D【解析】1:cosCyx，22π:sin23Cyx，首先曲线1C、2C统一为一三角函数名，可将1:cosCyx用诱导公式

处理．πππcoscossin222yxxx．横坐标变换需将1变成2，即112πππsinsin2sin2224C上各坐短它原yxyxx点横标缩来2ππsin2s

in233yxx．注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时π4x平移至π3x，根据“左加右减”原则，“π4x”到“π3x”需加上π12，即再向左平移π

12．故选D2.【2020新课标1理7】设函数()cosπ()6fxx在[π,π]的图像大致如下图，则fx的最小正周期为（）A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【解析】由图可得函数图象过点4,09

，将它代入函数fx可得4cos096，又4,09是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32，所以函数fx的最小

正周期为224332T，故选C．1.已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π

12个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移5π12个单位长度D．向右平移5π12个单位长度【答案】A【解析】由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin2x＋π3，g(x)＝cos2x.把g(x)＝cos2x变

形得g(x)＝sin2x＋π2＝sin2x＋π12＋π3，所以只要将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g(x)＝cos2x的图象，故选A.2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移5π12

个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.【答案】π3【解析】函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，则A＝2，T2

＝13π12－7π12＝π2，解得T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，当x＝π3时，fπ3＝2sin2×π3＋φ＝0，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f(x)＝2sin2x－2π3，因为函数f(x)的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g(x)的图

象，所以g(x)＝2sin2x－5π12－2π3＝2cos2x，若函数g(x)在区间－π6，θ上的值域为[－1,2]，则2cos2θ＝－1，则θ＝kπ＋π3，k∈Z，或θ＝kπ＋2π3，k∈

Z，所以θ＝π3.3.若将函数y＝cosωx(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y＝sinωx的图象重合，则ω的最小值为()A.12B.32C.52D.72【答案】B【解析】将函数y＝cosωx(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数的解析式为y＝cosωx－π3

＝cosωx－ωπ3.∵平移后得到的函数图象与函数y＝sinωx的图象重合，∴－ωπ3＝2kπ－π2(k∈Z)，即ω＝－6k＋32(k∈Z)．∴当k＝0时，ω＝32.4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<

π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f(x)在区间π3，π上的零点为________．【答案】27π12【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T＝2π3－－π6

＝π，根据T＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f(x)＝2sin2x－π6，令2x－π6＝kπ(k∈Z)，解得x＝kπ2＋π12(k∈Z)，结合所给的区间，整理得出x＝7

π12.核心考点三三角函数的性质1.常用三种函数的图象与性质(下表中k∈Z)：函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2

kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论：(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈

Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可

由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.1．【2019课标1文15】函数3π()sin(2)3cos2fxxx的最小值为__________．【答案】4【解析】23(

)sin(2)3coscos23cos2cos3cos12fxxxxxxx23172(cos)48x，1cos1x，当cos1x时，min()4fx，故函数()fx的最小

值为4．2．【2017课标2理14】函数23sin3cos4fxxx0,2x的最大值是。【答案】1【解析】∵23sin3cos0,42fxxxx

，22sincos1xx，∴21cos3cos4fxxx，设0,1t，∴2134fxtt，函数对称轴为30,12t，∴max1fx．3.已知函数f(x)＝3sin2x＋π2＋

sin2x＋a的最大值为1.(1)求函数f(x)的最小正周期与单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．【解析】(1)∵f(x)＝3sin2x＋π2＋

sin2x＋a＝3cos2x＋sin2x＋a＝2sin2x＋π3＋a≤1，∴2＋a＝1，即a＝－1，∴最小正周期为T＝π.∴f(x)＝2sin2x＋π3－1，令2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－5π12

≤x≤kπ＋π12，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12，k∈Z.(2)∵将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝fx＋π6＝2sin2x＋π6＋

π3－1＝2sin2x＋2π3－1.∵x∈0，π2，∴2x＋2π3∈2π3，5π3，∴当2x＋2π3＝2π3，即x＝0时，sin2x＋2π3＝32，g(x)取最大值3－1；当2x＋2π3＝3π

2，即x＝5π12时，sin2x＋2π3＝－1，g(x)取最小值－3.1.已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在0，π2上的单调性.【解析】(1)∵f(x)＝s

inωx－cosωx＝2sinωx－π4，且T＝π，∴ω＝2，于是f(x)＝2sin2x－π4.令2x－π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋3π8(k∈Z).即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝kπ2＋

3π8(k∈Z).(2)令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z).注意到x∈0，π2，所以令k＝0，得函数f(x)在0，π2上的单调递增

区间为0，3π8；同理，其单调递减区间为3π8，π2.2.已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)将函数

f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.【解析】(1)f(x)＝2sinωxcosωx＋3(2sin2ωx－1)＝sin2ωx－3cos2ωx＝2sin2ωx－π3.由最小正

周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，整理得kπ－π12≤x≤kx＋5π12，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象向左平移π6个单位

，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2x＋1的图象；所以g(x)＝2sin2x＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋7π12或x＝kπ＋11π12(k∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)

在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.所以b的最小值为4π＋11π12＝59π12.3.已知向量m＝(2cosωx，－1)，n＝(sinωx－cosωx，2)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋3，若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为π2.(1)求函数f(

x)的单调增区间；(2)若将函数f(x)的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g(x)的图象，当x∈π4，π2时，求函数g(x)的值域.【解析】(1)f(x)＝m·n＋3＝2cosωx(sinωx－cosωx)－2＋3＝sin2ωx－co

s2ωx＝2sin2ωx－π4.依题意知，最小正周期T＝π.∴ω＝1，因此f(x)＝2sin2x－π4.令－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，求得f(x)的增区间为－π8＋kπ，3π8＋kπ，k∈Z.(2)将函数f(x)的图象先向左平移π4个单位，得y＝

2sin2x＋π4－π4＝2sin2x＋π4的图象.然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g(x)＝2sin4x＋π4的图象.故g(x)＝2sin4x＋π4，由π4≤x≤π2，知5π4≤4x＋π4≤9π4.∴－1≤

sin4x＋π4≤22.故函数g(x)的值域是[－2，1].