人教版八年级数学上册24《分式的概念和性质》知识讲解+巩固练习(基础版)(含答案)

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以下为本文档部分文字说明:

分式的概念和性质(基础)【学习目标】1.理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2.掌握分式的基本性质,并能利用分式的基本性质将分式恒等变形,进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂40

3986分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子,B叫做分母.要点诠释:(1)分式的形式和分数类似,但它们是有区别的.分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母;分数的分子

、分母中都不含字母.(2)分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.(3)分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母,如a是整式而

不能当作分式.(4)分母中含有字母是分式的一个重要标志,判断一个代数式是否是分式不能先化简,如2xyx是分式,与xy有区别,xy是整式,即只看形式,不能看化简的结果.要点二、分式有意义,无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件:分母不等于零.2.分式无意义的条件:

分母等于零.3.分式的值为零的条件:分子等于零且分母不等于零.要点诠释:(1)分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义,就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零.(2)本章中如果没有特殊说明,所遇

到的分式都是有意义的,也就是说分式中分母的值不等于零.(3)必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表示是:AAMAAMBBMBBM,(其中M是不等于零的整式).

要点诠释:(1)基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件,一般在解题过程中不另强调;M≠0是在解题过程中另外附加的条件,在运用分式的基本性质时,必须重点强调M≠0这个前提条件.(2)在应用分式的基

本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如:,在变形后,字母x的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;改变其中任何一个或三个,分式成为原分式的相反数.要点诠释:根据分式的基本性质有

bbaa,bbaa.根据有理数除法的符号法则有bbbaaa.分式ab与ab互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分,最简分式与分数的约分类似,利用分式的基本性质,约去分子和分母的公因

式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外),那么这个分式叫做最简分式.要点诠释:(1)约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后,分式的分子与分母再没有公因式.(2)约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、

分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积;当分式的分子、分母中含有多项式时,要先将其分解因式,使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式,然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似,利用分式的基本性质,使分式的分子和分母同乘适当的整式,不改变

分式的值,把分母不同的分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释:(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母:一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.(2)如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系

数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积;如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后再找最简公分母.(3)约分和通分恰好是相反的两种变形,约分是对一个分式而言,而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、分式的概念1、下列式子中,哪些是整式?哪些是分式?2a,3x,1mm,2

3x,5,2aa,23.【思路点拨】3x,5,23虽具有分式的形式,但分母不含字母,其中5的分母中表示一个常数,因此这三个式子都不是分式.【答案与解析】解:整式:3x,23,5,23x,分式:2a,1mm,2aa.【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母

,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.类型二、分式有意义,分式值为02、下列各式中,m取何值时,分式有意义?(1)2mm;(2)1||2m;(3)239mm.【答案与解析】解:(1)

由20m得2m,故当2m时分式2mm有意义.(2)由||20m得2m,故当2m时分式1||2m有意义.(3)由229(9)0mm,即无论m取何值时29m均不为零,故当m为任意实数时分式239mm都有意义.【总结升华】首先求出使分母等于零

的字母的值,然后让未知数不等于这些值,便可使分式有意义.这是解答这类问题的通用方法.举一反三:【变式1】(2016·丹东一模)若分式11xx有意义,则x的取值范围是.【答案】解:由题意得:10x,解得1x,故答案为:1x.【变式2】当x为何值时,下列各式

的值为0.(1)2132xx;(2)221xxx;(3)224xx.【答案】解:(1)由210x得12x,当12x时,1323()202x,∴当12x时,分式2132xx的值为0.(2)由20xx得0x或1

x,当0x时,21010x,当1x时,221(1)10x,∴当0x时,分式221xxx的值为0.(3)由20x得2x,当2x时,224(2)40x,∴在分式有意义的前提下,分式224xx的值永不为

0.类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值,将下列分式的分子、分母中的系数化为整数.(1)0.20.020.5xyxy;(2)11341123xyxy.【思路点拨】将(1)式中分子、分母同乘50,(2)式的分子、分

母同乘12即可.【答案与解析】解:(1)0.20.020.5xyxy(0.2)501050(0.020.5)5025xyxyxyxy.(2)11341123xyxy1112433411641223xyxyxyxy.【总结升华】利用

分式的基本性质,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.举一反三:【变式1】如果把分式yxx232中的yx,都扩大3倍,那么分式的值()A扩大3倍B不变C缩小3倍D扩大2倍【答案】B;【

变式2】填写下列等式中未知的分子或分母.(1)22?xyxyxy;(2)()()?()()()bacbacabbcac.【答案】2()xy;1;解:(1)先观察分子,等式左边分式的分子

为xy,而等式的右边分式的分子为22xy,由于22()()xyxyxy,即将等式左边分式的分子乘以xy,因而分母也要乘以xy,所以在?处应填上2()xy.(2)先观察分母,等式左边的分母为()()()acabbc,等式右边的分母为ac,根据分式的性质可

知应将等式左边分式的分子、分母同时除以()()abbc,因为()()[()()]1bacbabbc,所以在?处填上1.4、不改变分式的值,使下列分式的分子和分母不含“-”号.(1)2ab;(2)45xy;(3)3mn;(4)23bc.【答案与解析】解:(1)22aa

bb(2)4455xxyy(3)33mmnn(4)2233bbcc.【总结升华】在分子、分母、分式本身中,只有任意两个同时改变符号时,才能保证分式的值不变.一般地,在分式运算的最后结果中,习惯于只保留一个负号

,写在分式的前面.类型四、分式的约分、通分5、(2015春•东台市月考)约分,通分:(1);(2);(3)•.【思路点拨】(1)把分子与分母进行约分即可;(2)根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解,然后约

分即可;(3)把分母进行因式分解,然后相乘,即可得出答案.【答案与解析】解:(1)=﹣;(2)==;(3)•=•=.【总结升华】此题考查了分式的约分,用到的知识点是平方差公式和完全平方公式,注意先把分母因

式分解,再进行约分.举一反三:【高清课堂403986分式的概念和性质例6(2)】【变式】通分:(1)4bac,22abc;(2)22xx,211x.(3)232ab与2ababc;(4)12x,244xx,22x.【

答案】解:(1)最简公分母为24abc,2322444bbbbacabcabc,222222244aaaabcabcabc.(2)222(1)xxxx,2111(1)(1)xxx,最简公分母为2(1)(1)xx,2(1)222(1

)(1)2(1)(1)xxxxxxxxxx.2112212(1)(1)2(1)(1)xxxxx.(3)最简公分母是222abc.2222333222bcbcababbcabc,22222()22222ababaaababcabcaabc

.(4)最简公分母是(2)(2)xx,21222(2)(2)4xxxxxx,224444xxxx,222(2)242(2)(2)4xxxxxx.【巩固练习】一.选择题1.(2015春

•东台市期中)下列各式:其中分式共有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.使分式5xx值为0的x值是()A.0B.5C.-5D.x≠-53.下列判断错误..的是()A.当23x时,分式231xx有意义B.当ab时,分式22a

bab有意义C.当21x时,分式214xx值为0D.当xy时,分式22xyyx有意义4.(2016·营口模拟)下列各式中,不论字母取何值时分式都有意义的是()A.121xB.121xC.213x

xD.25321xx5.如果把分式yxyx2中的x和y都扩大10倍,那么分式的值()A.扩大10倍B.缩小10倍C.是原来的32D.不变6.下列各式中,正确的是()A.amabmbB.0ababC.1111abbaccD.221xyxyx

y二.填空题7.当x=______时,分式632xx无意义.8.若分式67x的值为正数,则x满足______.9.(1)112()xxx(2).yxxyx22353)(10.(1)22)(

1yxyx(2)24)(21yyx11.(2016秋·崆峒区期末)分式21298yzxzxy,,xxyz的最简公分母是_________.12.(2015•朝阳区一模)一组按规律排列的式子:,,,,,„,其中第7

个式子是,第n个式子是(用含的n式子表示,n为正整数).三.解答题13.当x为何值时,下列分式有意义?(1)12xx;(2)1041xx;(3)211xx;(4)2211xx.14.已知分式,yayb当y=-3时无意义,当y=2时分式的值为0,求当y=-7时分式的值.15

.(•上城区二模)在三个整式x2﹣1,x2+2x+1,x2+x中,请你从中任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组成一个分式,并将这个分式进行化简,再从﹣≤x≤的范围内选取合适的整数作为x的值代入分式求值.【答案

与解析】一.选择题1.【答案】A;【解析】解:(1﹣x),,的分母中均不含有字母,因此不是分式,是整式;,分母中含有字母,因此是分式.故选A.2.【答案】A;【解析】050xx且.3.【答案】B;【

解析】ab,22abab有意义.4.【答案】D;【解析】∵2211x,∴不论字母取何值25321xx都有意义.5.【答案】D;【解析】102010(2)2101010()xyxyxyxyxyxy

.6.【答案】D;【解析】利用分式的基本性质来判断.二.填空题7.【答案】2;【解析】由题意,360,2xx.8.【答案】7x;【解析】由题意70,7xx∴.9.【答案】(1)2x;(2)5y;10

.【答案】(1)xy;(2)22xyxy;【解析】221(1)(2)22244xxyxyxyyyy.11.【答案】272xyz;【解析】分式21298yzxzxy,,xxyz的最简公分母是272xyz.12.【答案】,.【解析】解:∵

=(﹣1)2•,=(﹣1)3•,=(﹣1)4•,„∴第7个式子是,第n个式子为:.故答案是:,.三.解答题13.【解析】解:(1)由分母20x,得2x.∴当2x时,原分式有意义.(2)由分母410x,得14x.∴当14x

时,原分式有意义.(3)∵不论x取什么实数,都有210x.∴x取一切实数,原分式都有意义.(4)∵20x,∴211x,∴2(1)1x即211x∴x取一切实数,分式2211xx都有意义.14.【解析】解:由题意:30b

,解得3b2023a,解得2a所以分式为23yy,当y=-7时,2729937344yy.15.【解析】解:选择x2﹣1为分子,x2+2x+1为分母组成分式,则==,当x=0时,上式==﹣1.

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