【文档说明】《1.4 角平分线的性质》教学素材-八年级下册数学湘教版.docx，共(3)页，113.936 KB，由小喜鸽上传

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DOEBCAP角平分线性质判定的分析与应用角平分线的性质定理与判定定理，学生往往由于理解不透，因而在具体应用时不会应用或应用不灵活.下面就这两个定理作一简要分析并归纳其在数学中的应用，以期对同学们有所帮助.角平分线性质判定定理的分析

：一、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.【要点】条件：1.点在角平分线上，2.点到两边的距离，结论：3.距离相等.【符号语言】如图1∵点P在∠AOB的平分线上，①PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，②∴PD=PE.③【

作用】证线段相等.【辅助线添加提示】存在角平分线上的点，作此点到角两边的垂线段.【错误警示】1.学生在具体应用角平分线性质时，在做题步骤中往往出现类似漏写②，即没有点明PD、PE是点P到角两边的距离，而只由①便得③的错误.2.对定理的图

形语言认识不足.角平分线上的点到角两边的距离是指这个点到角两边的垂线段的长度，而不是过此点与角平分线垂直（或仅仅相交）的直线与角两边相交所得的线段的长度.学生往往出现如下错误：OEPCBDA图1图2ABMHC

NFDE图4如图2∵点P在∠AOB的平分线上，∴PD=PE.二、角平分线判定定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.【要点】条件：1.点在角的内部，2.点到角两边的距离相等，结论：3.点在角的平分线上.【解释】到角两边距离相等的点所在的射线有4条，如

图3，图中的虚线即是，所以要点1不可缺少.【符号语言】如图1，∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.【作用】：证点在角平分线上，证角相等.角平分线性质判定定理的应用：一、性质、判定定理往往同时应用.例1已知，如图4，ΔABC的外角∠CBD和∠

BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.分析：要证点F在∠DAE的平分线上，只要证出点F到∠DAE两边的距离相等，所以添加辅助线，过点F作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，证出FM=FN即可.而已知条件中存在

两条角的平分线，所以作其上的点到角两边的垂线段，过点F作FH⊥BC于点H，得到FM=FH，FH=FN，得FM=FN，所以点F在∠DAE的平分线上.引申：由以上分析可以看出，ΔABC的一个内角∠A的平分线与

另两个外角的平分线交图3OCPEDAB图5BAC图6于一点，此点到三角形三边的距离相等，这样的点在边AC外和边AB外还各有一个，一共有三个.又因为三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，所

以到三角形三边距离相等的点共有四个.二、与等腰三角形、线段垂直平分线的性质判定同时应用.例2已知，如图5，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D.求证：（1）OC=OD；（2）OP是CD的垂直平

分线.证明：(1)∵P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD.∴∠PCD=∠PDC，∵∠PCO=∠PDO=900,∴∠OCD=∠OD,∴OC=OD.(2)∵PC=PD，∴点P在CD的垂直平分线上，同理点O在CD的垂直平分线上.∴OP是CD

的垂直平分线.点评：此题也可通过三角形全等证明，或通过三线合一证明.三、在作图中的应用.例3如图6，直线AB、BC、CA表示三条两两交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？哪一处到三

条公路的距离最近？求作此点.分析：由例1知，可供选择的地址有四处，其中三角形的三条角平分线的交点离三条公路最近.在作图时，只要作出ΔABC的两条角平分线，它们的交点即为所求.