【文档说明】《4.3 相似三角形》PPT课件2-九年级上册数学浙教版.ppt，共(57)页，2.807 MB，由小喜鸽上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-18768.html

以下为本文档部分文字说明：

第十单元相似图形第32课时相似图形[小题热身]1．[2015·淮安]如图32－1，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.若ABBC＝23，DE＝4，则EF的长是()C图32－1

A.83B.203C．6D．10【解析】∵l1∥l2∥l3，∴ABBC＝DEEF，∴4EF＝23，∴EF＝6，故选C.2．[2016·白银、张掖]如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是()A．1∶16B．1∶4

C．1∶6D．1∶2D3．[2016·河北]如图32－2，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿下列图示中的实线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()C图32－2【解析】A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项错误；B．阴影部分的

三角形与原三角形有两个角相等，故两个三角形相似，故本选项错误；C．两个三角形的对应边不成比例，故两个三角形不相似，故本选项正确；D．两个三角形对应边成比例且夹角相等，故两个三角形相似，故本选项错误．4．[2016·临

沂]如图32－3，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为______．图32－3125【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴BDAD＝ECAE＝FCBF，∵AB＝8，BD＝3，BF＝4，

∴35＝FC4，解得FC＝125.一、必知6知识点1．相似图形相似图形：形状相同的图形称为相似图形．相似多边形：对应角________，对应边__________的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做__________．相似三角形：对应角________，对应边_

_________的三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫_________，通常用字母k表示；全等三角形是相似比为_____的特殊的相似三角形．[考点管理]相等成比例相似比1相似比相等成比例a

d＝bc2．比例线段比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．比例的基本性质：ab＝cd⇔_________．比例中项：一般地，如果三个数a

，b，c满足比例式ab＝bc(或a∶b＝b∶c)，那么b就叫做a，c的比例中项．【智慧锦囊】合分比性质：如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd，ab±a＝cd±c；等比性质：如果ab＝cd＝…＝mn，(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.黄金分割：如果点P把线段

AB分成两条线段AP和PB，使AP>PB，且___________，那么称线段AB被点P黄金分割，P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比，黄金比为_________.一条线段的黄金分割点有_____个．PBAP＝APAB5－1223．

由平行线截得的比例线段定理：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段__________．4．相似三角形的性质性质：(1)相似三角形的对应角________，对应边_________；(2)相似三角形周长之比等于__________；(3)相似三角形的面积之比等于相

似比的________；(4)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于__________．成比例相等相似比平方成比例相似比5．相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三

角形与原三角形相似．判定定理1：两个角____________的两个三角形相似．判定定理2：两边对应成比例，且____________的两个三角形相似．判定定理3：三边对应__________的两个三角

形相似．对应相等夹角相等成比例【智慧锦囊】重要结论：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似．如图32－4，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，则△ABC∽△CBD∽△ACD.图32－46．相似多边形的性质性质：(1)相似多边形的周

长之比等于__________；(2)相似三角形的面积之比等于相似比的________．相似比平方二、必会2方法1．相似三角形的基本图形(1)平行线型：如图32－5，若CD∥AB，则有△OCD∽△OAB；图32－5(2)斜线型：如图32－6，若∠1＝∠A，则有△O

CD∽△OAB；特别是右图中，当△OCD∽△OAB，有OC2＝OA·OD；图32－6(3)旋转型：如图32－7，若∠1＝∠2，且OD∶OA＝OC∶OB，或∠1＝∠2，∠D＝∠A，则有△OCD∽△OBA.图32－72．分类讨论思想近几年中考常出现有关相似图形的多解问题，这类题特征是不给出几

何图形，要求分类讨论，不要漏解．三、必明3易错点1．求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位．2．证明两个三角形相似时，要注意将对应顶点写在对应位置上.3．相似多边形的面积比等于相似比的平方，要注意与周长比的区别．类型之一平行线分线段成比例定理[2016·杭州]如

图32－8，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC＝12，则DEEF＝()A.13B.12C.23D．1图32－8B【解析】直接根据平行线分线段成比例定

理求解，∵a∥b∥c，∴DEEF＝ABBC＝12.故选B.图32－9C[2016·兰州]如图32－9，在△ABC中，DE∥BC，若ADDB＝23，则AEEC＝()A.13B.25C.23D.35类型之二相似三角形的判定[2016·杭州]如图32－

10，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.(1)求证：△ADF∽△ACG；(2)若ADAC＝12，求AFFG的值．图32－10【解析】(1)欲证明△ADF∽△A

CG，由ADAC＝DFCG可知，只要证明∠ADF＝∠C即可；(2)利用相似三角形的性质得到AFAG＝12，由此即可求得AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，∴∠ADF＝∠C，∵ADAC＝DFCG，∴△ADF

∽△ACG；(2)∵△ADF∽△ACG，∴ADAC＝AFAG，又∵ADAC＝12，∴AFAG＝12，∴AFFG＝1.(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；(2)求∠ABD的度数．图32－111．[2016·福州]如图32－11，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－1

2，在AC边上截取AD＝BC，连结BD.解：(1)AD＝BC＝5－12，∴AD2＝5－122＝3－52，∵AC＝1，∴CD＝1－5－12＝3－52，∴AD2＝AC·CD；(2)∵AD2＝AC·

CD.∴BC2＝AC·CD，即BCAC＝CDBC.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴ABBD＝ACBC.又∵AB＝AC.∴BD＝BC＝AD.∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，∴∠A

＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°.∴∠ABD＝36°.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的大小．2．[2015·南京]如图32－12，在△ABC中，CD是边AB上的高线，

且ADCD＝CDBD.图32－12解：(1)证明：∵CD是边AB上的高线，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.又∵ADCD＝CDBD，∴△ACD∽△CBD；(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝9

0°.【点悟】判定两个三角形相似的常规思路：(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；另外还可考虑平行线分线段成比例定理及相似三

角形的“传递性”．类型之三相似三角形的性质[2016·衡阳]若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为________．【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．∵△ABC与△DEF相似且面积

之比为25∶16，∴△ABC与△DEF的相似比为5∶4，∴△ABC与△DEF的周长之比为5∶4.5∶41．[2016·重庆A卷]△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶

16C2．[2015·铜仁]如图32－13，在▱ABCD中，点E在边DC上，DE∶CE＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()A．3∶4B．9∶16C．9∶1D．3∶1B图32－13【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽

△BFA，∵DE∶EC＝3∶1，∴DE∶DC＝3∶4，∴DE∶AB＝3∶4，∴S△DFE∶S△BFA＝9∶16.3．[2015·自贡]一副三角板叠放位置如图32－14，则△AOB与△COD的面积之比为_

________．图32－141∶3【解析】首先设BC＝x，根据题意可得∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝BC，∠D＝30°，即可求得CD与AB的长，又可得△AOB∽△COD，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AOB与△COD的面积之比．【点悟】相似三角形面积之比等于相似比的平

方．类型之四相似三角形与圆[2016·黄冈]如图32－15，AB是半圆O的直径，P是BA延长线上一点，PC是半圆O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连结BC.求证：(1)∠PBC＝∠CBD；(2)BC2＝AB·BD.

图32－15【解析】(1)如答图，连结OC，由PC为半圆O的切线，利用切线的性质得到OC⊥PC，再由BD⊥PD，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC∥BD，进而得到一对内错角相等，再由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换；(

2)如答图，连结AC，由AB为半圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用两对角相等的三角形相似得到△ABC∽△CBD，利用相似三角形对应边成比例，变形即可得证．证明：(1)如答图，连结OC，∵PC与半圆O相切于点C，∴OC⊥

PC，即∠OCP＝90°，∵BD⊥PD，∴∠BDP＝90°，∴∠OCP＝∠PDB，∴OC∥BD，∴∠BCO＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠PBC＝∠BCO，∴∠PBC＝∠CBD；例4答图(2)如答图，连结AC

，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴BCBD＝BABC，则BC2＝AB·BD.1．[2016·绥化]如图32－16，点E是△ABC的内心，A

E的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.求证：(1)△BFD∽△ABD；(2)DE＝DB.证明：(1)∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BDF

＝∠ADB，∴△BFD∽△ABD；图32－16(2)如答图，连结BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE.又∵∠CBD＝∠BAD，∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠CBD.∵∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∠CB

E＋∠CBD＝∠DBE，即∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.变式跟进1答图2．[2015·威海]如图32－17，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.(1)求证：BE＝CE；(2)若BD＝2，BE＝3

，求AC的长．图32－17【解析】(1)如答图，连结AE，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC＝90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE＝CE；(2)连结DE，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．解：(1)证明：如答图，连结AE.

∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，又∵AB＝AC，∴BE＝CE；(2)如答图，连结DE.∵BE＝CE＝3，∴BC＝6，∵∠BED＋∠DEC＝∠BAC＋∠DEC＝180°，∴∠BED＝∠BAC.又∵∠

DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，变式跟进2答图∴BEBA＝BDBC，即3BA＝26，∴BA＝9，∴AC＝BA＝9.图32－183．[2016·聊城]如图32－18，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，E

为OB的中点，连结CE并延长交⊙O于点F，F恰好落在AB︵的中点，连结AF并延长与CB的延长线相交于点G，连结OF.(1)求证：OF＝12BG；(2)若AB＝4，求DC的长．【解析】(1)直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是△ABG的中位

线，即可得出答案；(2)首选得出△FOE≌△CBE(ASA)，则BC＝OF＝12AB＝2，进而得出AC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．解：(1)证明：∵以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，F恰好落在AB︵的中点，∴

AF︵＝BF︵，∴∠AOF＝∠BOF，∵∠ABC＝∠ABG＝90°，∴∠AOF＝∠ABG，∴FO∥BG，∵AO＝BO，∴FO是△ABG的中位线，∴FO＝12BG；(2)如答图，连结DB.在△FOE和△CBE中，变式跟进3答图∠FOE＝∠

CBE，EO＝EB，∠OEF＝∠BEC，∴△FOE≌△CBE(ASA)，∴BC＝FO＝12AB＝2，∴AC＝AB2＋BC2＝25，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠BCD＝∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴BCAC

＝CDCB，∴225＝DC2，解得DC＝255.【点悟】证明线段的积相等的常用方法是把等式转化为比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间比来“搭桥”．类型之五相似三角形对应高线的比的应用[20

16·怀化]如图32－19，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高线，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，EH与AD交于点M，已知BC＝40cm，AD＝30cm.(1)求证：△A

EH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．图32－19解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC；【解析】(1)根据EH∥BC即可证明；(2)首先证明四边形EFDM是矩形，设正方

形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得EHBC＝AMAD，列出方程即可解决问题．(2)∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴EHBC＝AMAD，∴x40＝30－x30，∴x

＝1207，∴正方形EFGH的边长为1207cm，面积为1440049cm2.[绍兴中考]如图32－20①，课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高线AD＝80mm.要把它加工成正方

形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？小颖解得此题的答案为48mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方

形所组成，如图②，此时，这个矩形零件的两条边长又分别是多少毫米？请你计算；(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最

大值时矩形零件的两条边长．图32－20解：(1)∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM，∴△APN∽△ABC.∴PNBC＝AEAD，设PQ＝ED＝x，则PN＝2x，AE＝80－x，∴2x120＝80－x80，解得x＝2407，2x＝4807.答：这个矩形零件

的两条边长分别是2407mm和4807mm；(2)∵四边形PNMQ是矩形，∴PN∥QM.∴△APN∽△ABC.设PQ＝ED＝x，则AE＝80－x.∴PN120＝80－x80，即PN＝80－x80²120＝3（80－x）2.∴S矩形PNMQ＝PN·PQ＝3（80－x）2²x＝

－32x2＋120x＝－32(x－40)2＋2400.∴当x＝40时，S矩形PNMQ有最大值2400.此时PN＝3（80－40）2＝60(mm)．答：这个矩形面积达到最大值时矩形零件的两条边长分别为40mm，60mm.∴PNBC＝AEAD.相似三角形易错点扫描(舟山中考)如图32

－21，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则DEEF的值为()A.12B.13C.25D.35【错解】C直线l1∥l2∥l3，∴DEEF＝AGBC＝2

5.【错因】运用平行线分线段成比例定理时，容易出现没有按“对应”来写比例线段的错误．图32－21【正解】D理由：∵AG＝2，GB＝1，∴AB＝AG＋BG＝3，∵直线l1∥l2∥l3，∴DEEF＝ABB

C＝35.【点悟】(1)相似三角形要考虑不同的对应情况，思维全面，不能漏解；(2)善于利用平行线构造比例线段，表示相似图形时，要特别注意对应点的正确写法以及对应边与对应角的寻找，不然很容易因疏忽而出现错误．