【文档说明】北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷含答案.docx，共(11)页，1.924 MB，由小喜鸽上传

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东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高三数学2023.1本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共

40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{12}Axx=−，{1}Bxx=，则AB=U（A）(,2)−（B）(1,)−+（C）(1,1]−（D）[1,2)（2）在下列函数中，为偶函数的是（A）()cosfxxx=−

（B）()cosfxxx=（C）()lnfxx=（D）()fxx=（3）在1()nxx+的展开式中，若第3项的系数为10，则n=（A）4（B）5（C）6（D）7（4）在等比数列{}na中，11a=，238aa=，则7a=（A）8（B）16（C）32（D）64（5）北京中轴线

是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这

11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（A）111（B）19（C）311（D）13（6）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，

PMx⊥轴，垂足为M．若OMP△的面积为625，则sin2=（A）625（B）1225(C)1825（D）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为12,FF，其渐近线方程为2yx=，P是C上一点，且

12PFPF⊥.若△12PFF的面积为4，则C的焦距为（A）3（B）23（C）25（D）45（8）在△ABC中，“对于任意1t，BAtBCAC−uuuruuuruuur”是“△ABC为直角三角形”的（A

）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy中，若点(,)Pab在直线430axbya+++=上，则当,ab变化时，直线OP的斜率的取值范围是（A）33(,][,)33−

−+U（B）33[,]33−（C）55(,][,)22−−+U（D）55[,]22−（10）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，Q是棱1DD上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q，使得11//CQAC；②存在点Q，使得11CQAC⊥；③对于任意点

Q，Q到1AC的距离为定值；④对于任意点Q，△1ACQ都不是锐角三角形.（A）①③（B）②③（C）②④（D）①④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若复数z满足(i)i3z+=−，则____.z=（12）已知函数()3sincos

fxxx=−，则()3f=；若将()fx的图象向左平行移动6个单位长度后得到()gx的图象，则()gx的一个对称中心为.（13）经过抛物线22(0)ypxp=焦点F的直线与抛物线交于不同的两点,AB，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，则点B的纵坐标By与点D的纵坐标

Dy的大小关系为ByDy.(用“”“”“=”填写）（14）设函数21,,()1,.xxafxxaxa−=−−当0a=时，()fx的值域为__________；若()fx的最小值为1，则a的取值范围是___________.（15）

对于数列na，令11234(1)nnnTaaaaa+=−+−++−L，给出下列四个结论：①若nan=，则20231012T=；②若nTn=，则20221a=−；③存在各项均为整数的数列na，使得1nnTT+对任意的n

N都成立；④若对任意的Nn，都有nTM，则有12nnaaM+−.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在锐角△A

BC中，4B=，36,6ABAC==，点D在BC边的延长线上，且CD＝10.（Ⅰ）求ACB；（Ⅱ）求△ACD的周长．（17）（本小题15分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，2P

A=，PAAB⊥，E为BC的中点，F为PD上一点，EFP平面PAB.（I）求证：F为PD的中点；（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AD与平面AEF所成角的正弦值.条件①：ADPB⊥；条件②：23

PC=.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间[7,9)，[9,

11)，[11,13)，[13,15)，[15,17)，[17,19]，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（Ⅰ）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率；（Ⅱ）从全校学生中随机选取3人，记ξ表示这

3人一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的人数，求ξ的分布列和数学期望E；（Ⅲ）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数，中位数，平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.(样本中同组数据用区间的中点值替代）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xy

Cabab+=的离心率为32，长轴长与短轴长的和为6，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，(1,0)M.若1PF，PM，2PF成等差数列，求实数的取值范围.（20）（

本小题15分）已知函数()exfxx=.（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；FEBCPAD（Ⅱ）求()fx的极值；（Ⅲ）证明：当1m时，曲线1:()Cyfx=与曲线2:lnCyxxm=++

至多存在一个交点.（21）（本小题15分）已知数列12nAaaa：，，，L，满足：{01}(122)iainn=，，，，，L，从A中选取第1i项、第2i项、…、第mi项（122miiim，L），称数列12,,,miiiaaaL为A的长度为m的子列．记()TA为A

所有子列的个数.例如001A：，，，其()3TA=.（Ⅰ）设数列1100A：，，，，写出A的长度为3的全部子列，并求()TA；（Ⅱ）设数列12nAaaa：，，，L，11nnAaaa−：，，，L，12nAaaa−−−：1，1，，1L，判断()()()TATAT

A，，的大小，并说明理由；（Ⅲ）对于给定的正整数(11)nkkn−，，若数列12nAaaa：，，，L满足：12naaak+++=L，求()TA的最小值.东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准2

023.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）C（3）B（4）D（5）D（6）D（7）C（8）A（9）B（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）2（12）1(0,0)（答案不唯一）（13）=（14）1,)−+（[2,)+（15）①

②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：,sinsinABCACABBACB=(Ⅰ)，由正弦定理在△中sin3sin.2ABBACBAC==得又因为在锐角△ABC中，(0,)2ACB，所以3

ACB=．…………………6分（Ⅱ）因为3ACB=，所以23ACD=.在△ACD中，由余弦定理22222cos3ADACCDACCD=+−得14.AD=所以△ACD的周长为30ACCDAD++=．…………………13分（17）（共15分）解：（I）在△PAD中，过点F作FG//

AD交PA于点G，连接GB.因为AD//BC，所以FG//BC，所以B，E，F，G四点共面.因为EF//平面PAB，EF平面BEFG，平面PABI平面BEFGBG=，所以EF//.BG所以四边形BEFG是平行四边形.所以1.2FGBEAD==所以F为PD的中点.…………………6分

（II）选条件①：ADPB⊥.GFEBCPDA因为底面ABCD为正方形，所以ADAB⊥.又ADPB⊥，ABPBB=I，所以AD⊥平面PAB.所以ADPA⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz−，因为底面ABCD是边长为2的正方形，2PA=，则(0,0,0)A，(0,2,0

)D，(2,1,0)E，(0,1,1)F，所以(0,2,0)AD=uuur，(2,1,0)AE=uuur，(0,1,1)AF=uuur.设平面AEF的一个法向量为(,,)xyz=n，则0,0,AEAF==uuuruuu

rnn即200.xyyz+=+=，令1x=，则2,2yz=−=.于是(1,2,2)=−n.设直线AD与平面AEF所成角为，则||2sin|cos,|3||||ADADAD===uuuruuuruuurnnn.所以直线AD与平面AEF所成角为的正弦值为23

.…………………15分选条件②：23PC=.如图，连接AC.因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以ADAB⊥，22AC=.因为2PA=，23PC=，所以222PAACPC+=.所以PAAC⊥.因为PAAB⊥，

ABACA=I，所以PA⊥平面.ABCD所以PAAD⊥.以下同选条件①.…………………15分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的频率为(0.1250.200)20.65

+=，因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13,17)的概率为0.65．…………………3分（Ⅱ）从全校学生中随机选取1人，其一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的概率为0.4．FE

BCPADyxz因此ξ(3,0.4)B:．3(0)(10.4)0.216;P==−=1123(1)0.4(10.4)0.432;PC==−=2213(2)0.4(10.4)0.288;PC==−=3(3)0.40.064.P===则的分布

列为：0123P0.2160.4320.2880.064E00.21610.43220.28830.0641.2=+++=．…………………10分（Ⅲ）c<b<a．…………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，222226,3,2.abcaabc+===+

解得224,1.ab==所以椭圆C的方程为2214xy+=.…………………5分（Ⅱ）设00(,)Pxy为椭圆C上一点，则有1224PFPFa+==．由1PF，PM，2PF成等差数列，得24PM=，0，即2.PM=由(1,0)M，则2200(1)PMxy=−+.又00(,)Pxy在椭

圆C上，有220014xy+=，故222220000003(1)(1)1=2244xPMxyxxx=−+=−+−−+，因为0[2,2]x−，所以6[,3]3PM.即26[,3]3，所以2[,6]3所以实数的

取值范围是2[,6]3.…………………14分（20）（共15分）解：（Ⅰ）因为()exfxx=所以()()1exfxx=+.所以()00f=，()01.f=所以曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为yx=.…………………4分（Ⅱ）令()0fx=，得1x=−.当(),1x−

−时，()0fx，()fx单调递减；当()1+x−，时，()0fx，()fx单调递增；当1x=−时，()0fx=，()fx在1x=−时取得极小值.所以函数()fx的极小值为1e−，不存在极大值.

…………………9分（Ⅲ）令()elnxgxxxxm=−−−，其定义域为(0,)+.11()(1)e1(1)(e)10.xxgxxxxxx=+−−=+−+，令()1exhxx=−，()21e+0xhxx=，所以()hx在()0+，上单调递增.011(1)0,()0

,(,1)22hhx因为所以，当()00,xx时，()0hx，即()0gx，()gx单调递减；当()0,xx+时，()0hx，即()0gx，()gx单调递增；当0xx=时，()0hx=，即001e=xx，()gx取得极小值()0gx.()00000el

nxgxxxxm=−−−，因为001e=xx，所以00e=1xx，00lnxx=−，所以()01gxm=−.因此，当1m时，()00gx，所以()0+x，，()0gx，即()0+x，，()lnfxxxm++，曲线1C与曲线2C无交点；当1m=时，()00gx=，所

以存在且仅存在一个01(,1)2x，使得()00gx=，对()0+x，且0xx，都有()0gx，即()lnfxxxm++.所以当1m=时，曲线1C与曲线2C有且仅有一个交点；故当1m时

，曲线1C与曲线2C至多存在一个交点.…………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由()TA的定义以及1100A：，，，，可得：A的长度为3的子列为：100110，，；，，，A的长度为2的子列有3个，A的长度为4的子列有1个，所以()6TA=.…………………5

分（Ⅱ）()()().TATATA==理由如下：若121kkmmmm−，，，，L是12nAaaa：，，，L的一个子列，则121kkmmmm−，，，，L为11nnAaaa−：，，，L的一个子列.若1

21kkmmmm−，，，，L与121kknnnn−，，，，L是12nAaaa：，，，L的两个不同子列，则121kkmmmm−，，，，L与121kknnnn−，，，，L也是11nnAaaa−：，，，L的两个不同子列.所以()()TATA.同理()()TATA，所以()()T

ATA=.同理()().TATA=所以有()()().TATATA==…………………10分（Ⅲ）由已知可得，数列12nAaaa：，，，L中恰有k个1，nk−个0.令000111nkkA−个个：LL144244314243，下证：()()TATA.由于

000111nkkA−个个：LL144244314243，所以A的子列中含有i个0，j个1(0101,2)inkjkij=−=+LL，，，，，，，的子列有且仅有1个，设为：000111ij个个LL14424431

4243.而数列12nAaaa：，，，L的含有i个0，j个1的子列至少有一个，所以()()TATA.数列000111nkkA−个个：LL144244314243中，不含有0的子列有1k−个，含有1个0的子列有k个，含有2个0的子列有1k+个，LL，

含有nk−个0的子列有1k+个，所以2()()(1)22TAnkkknknk=−++−=+−−.所以()TA的最小值为22nknk+−−.…………………15分