【文档说明】北京市海淀区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题含答案.pdf，共(12)页，782.391 KB，由小喜鸽上传

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海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学2023.01本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在

每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合23Axx，0Bxx，若AB（A）[2,3]（B）[0,3]（C）(0,)（D）[2,)（2）在复平面内，复数1

2i对应的点在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知函数1()1fxxx，在下列区间中，包含()fx零点的区间是（A）11(,)42（B）1(,1)2（C）(1,2)（D）(2,3)（4）已知13lg5,sin,27abc，则A.abcB.b

acC.bcaD.acb（5）若圆222220xyxaya截直线210xy所得弦长为2，则a（A）－1（B）0（C）1（D）2（6）已知na为等差数列，13a，4610aa.若数列nb满足1nnn

baa，（n=1，2，…），记nb的前n项和为nS，则8S（A）－32（B）－80（C）－192（D）－224（7）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲

组的概率是（A）13（B）14（C）15（D）16（8）设，是两个不同的平面，直线m，则“对内的任意直线l，都有ml”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分

也不必要条件（9）已知函数()cos2fxx=cos2x在区间[,]()3tttR上的最大值为()Mt，则()Mt的最小值为（A）32（B）32（C）12（D）12（10）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个

与圆柱底面所成角为450的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函

数的最小正周期为T，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则（A）12,2Te（B）22,2Te（C）14,2Te（D）24,2Te第二部分（非选择题共110分）二、填空题

共5小题，每小题5分，共25分。（11）抛物线22yx的焦点坐标为.（12）在42()xx的展开式中，2x的系数为.（13）如图，在正三棱柱111ABCABC中，P是棱1BB上一点，12ABAA，则三棱锥1PACC的体积为.（1

4）设O为原点，双曲线22:13yCx的右焦点为F，点P在C的右支上.则C的渐近线方程是；OPOFOP的取值范围是.（15）已知函数2()22fxxxt，()xgxet.给出下列四个结论：①当0t时，函数()yfx()gx有最小值；②tR，使得函数()yfx()gx

在区间[1,)上单调递增;③tR，使得函数()yfx()gx没有最小值；④tR，使得方程()fx()gx有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证

明过程。（16）（本小题13分）已知函数()sin()(0,)2fxx.用五点法画()fx在区间11[,]1212上的图象时，取点列表如下：（Ⅰ）直接写出()fx的解析式及其单调

递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，1()2fB，23b，6ac，求△ABC的面积.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADDC，AB∥DC，12ABDC，1PDAD，M为棱PC的中点.（

Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角PDMB的余弦值.条件①：3PB;条件②：BDBC.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题14分

）H地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（Ⅰ）试估计H地区明年每亩冬

小麦统一收购总价为1500元的概率；（Ⅱ）设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均

增加50kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.（19）（本小题14分）已知函数()ln(1)fxxx.（Ⅰ）判断0是否为()fx的极小值点，并说明理由；（Ⅱ）证明：2()112fxxx.（20）（本小题15分）已

知椭圆E：22221xyab过点(2,1)P和(22,0)Q.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(0,2)G作直线l交椭圆E于不同的两点A，B，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N.若2GMGN，求直线l的方程.（21）（本小题15分）对于一个有穷正整数数列Q，设其各项为12

,,...,naaa，各项和为()SQ，集合(,),1ijijaaijn中元素的个数为()TQ.（Ⅰ）写出所有满足()4SQ，()1TQ的数列Q;（Ⅱ）对所有满足()6TQ的数列Q，求()SQ的最小值；（Ⅲ）对所有满足()2023SQ的数列Q，求()TQ的最大值.高三数学参

考答案第1页（共7页）海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910答案DADBCBCADB二、填空题（11）1(,0)2（12）8−（13）233（14）3yx=；(1,2]（15）①②④三、解答

题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）()fx的解析式为()sin(2)6fxx=+，单调递增区间为[,]()36kkk−+Z.（Ⅱ）

由（Ⅰ）可知1()sin(2)62fBB=+=，因为0B，所以22666B++.所以266B+=.即3B=.由余弦定理得2222cosbacacB=+−.即2212acac=+−.即212()3acac=+−.即12363ac=−.即8ac=.所以1

sin232ABCSacB==△.高三数学参考答案第2页（共7页）（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）取PD中点N，连接,ANMN.在PCD△中，,MN分别为,PCPD的中点，所以MNDC，1=2MNDC，因为ABDC，1=2ABDC，所以ABMN，=ABMN.所以四边形ABMN为平行四边形，

因此BMAN.又因为BM平面PAD，AN平面PAD，所以BM平面PAD.（Ⅱ）选择条件①因为PD⊥平面ABCD，,ADDC平面ABCD，所以PDAD⊥，PDDC⊥.又因为ADDC⊥，所以建立如图空间直角坐标系Dxyz−．因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以P

DBD⊥.所以在RtPBD△中，1PD=，3PB=，可得2BD=.在RtABD△中，1AD=，2BD=，所以1AB=,又因为12ABDC=，所以2DC=.由题意得(0,0,0)D,(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,1)P,1(0,1,)2M，所以(1,

0,0)DA=，1(0,1,)2DM=，(1,1,0)DB=.设平面BDM的法向量为(,,)xyz=n，所以0,0,DMDB==nn即10,20.yzxy+=+=令1y=−，则1,2xz==.所以平

面BDM的一个法向量为(1,1,2)=−n.易知DA为平面PDM的一个法向量.所以16cos,6||||61DADADA===nnn.因为二面角PDMB−−为钝角，所以二面角PDMB−−的余弦值为66−.NBMDCAPzyxBMDCAP高三数学参考答案第3页（共7

页）选择条件②因为PD⊥平面ABCD，,ADDC平面ABCD，所以PDAD⊥，PDDC⊥，又因为ADDC⊥，所以建立如图空间直角坐标系Dxyz−．取CD的中点E，连接BE.因为ABDC，1=2ABDC，所以ABDE，=ABDE，又因为ADD

C⊥，所以四边形ABED为矩形.在BCD△中，因为BDBC⊥，所以12BEDC=.又因为12ABDC=，所以ABBE=.所以四边形ABED为正方形，即1ABAD==，2DC=.由题意得(0,0,0)D,(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,2,0)C

,(0,0,1)P,1(0,1,)2M，所以(1,0,0)DA=，1(0,1,)2DM=，(1,1,0)DB=.设平面BDM的法向量为(,,)xyz=n，所以0,0,DMDB==nn即10,20.yzxy+=+=

令1y=−，则1,2xz==.所以平面BDM的一个法向量为(1,1,2)=−n.易知DA为平面PDM的一个法向量.所以16cos,6||||61DADADA===nnn.因为二面角PDMB−−为钝角，所

以二面角PDMB−−的余弦值为66−.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）由图可知，亩产量是400kg的概率约为0.005500.25=，亩产量是450kg的概率约为0.01500.5=，亩产量是500kg的概率约为0.005500.25=.估计H地区明年每亩冬小麦统

一收购总价为1500元的概率为0.250.60.15=.（Ⅱ）X的所有可能取值为960，1080，1200，1350，1500.(960)0.250.40.1PX===，(1080)0.50.40.2PX===，(1200)0.250.40.250.60.10.150.2

5PX==+=+=，(1350)0.50.60.3PX===，(1500)0.250.60.15PX===.zyxBEMDCAP高三数学参考答案第4页（共7页）X的分布列为X9601080120013501500P0.10.20.250.30.15(

)9600.110800.212000.2513500.315000.151242EX=++++=.（3）建议农科所推广该项技术改良.设增产前每亩冬小麦产量为kg，增产后每亩冬小麦产量为kg，则50.=+设增产后的每亩冬小麦总

价格为Y元，由分析可知()()50(2.40.430.6)EYEX=++所以增产的50kg会产生增加的收益是50(2.40.430.6)138125+=，故建议农科所推广该项技术改良.19.（本小题14分）（Ⅰ）解法一：0是()fx的极小值点，理由如下：当0x时

，ln(1)0x+，所以()ln(1)0fxxx=+.当10x−时，011x+，可知ln(1)0x+，所以()ln(1)0fxxx=+.而(0)0f=，由极小值点的定义知，0是()fx

的极小值点.（Ⅰ）解法二：0是()fx的极小值点，理由如下：对函数求导得()ln(1)1xfxxx=+++.当0x时，ln(1)0,01xxx++，所以()0fx.当10x−时，011x+，可知ln(1)0,01

xxx++，所以()0fx.所以()fx在区间(0,)+上单调递增,在区间(1,0)−上单调递减.所以0是()fx的极小值点.（Ⅱ）证明：2()112fxxx−+等价于ln(1)112xxx+−+，即21ln

(1)20xxxx++−.记21()ln(1)(1)2gxxxxx=++−−.求导得21()111xgxxxx=+−=++.当1x−时易知()0gx，所以函数()gx在区间(1,)−+上单调递增.又(0)0g=，可得当

0x时，()(0)0gxg=，高三数学参考答案第5页（共7页）即当0x时，不等式21ln(1)02xxx++−成立.即当0x时，不等式2()112fxxx−+成立.当10x−时，()(0)0gxg=，即当10x−时，不等式21ln(1)02xxx++−成立.

即当10x−时，不等式2()112fxxx−+成立.综合上述，不等式2()112fxxx−+成立.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）将点(2,1)P−，(22,0)Q坐标带入椭圆E的方程，得222411,81.aba+==解得228,2ab=

=.所以椭圆E的方程为22182xy+=.（Ⅱ）若直线l斜率不存在，即直线l为0x=时，A和M点重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,2),(0,2)−，此时||||(22)(22)2GMGN=−+=，符合题意.若

直线l斜率存在，设直线AB的方程为2ykx=+，1122(,),(,)AxyBxy(12x−且22x−).联立方程222182ykxxy=++=得，22(41)1680kxkx+++=.222(16)32(41)32(41)0kkk=−+=−，214k

，即12k或12k−.1221641kxxk−+=+，122841xxk=+.1112PAykx−=+，所以直线PA的方程为111(2)12yyxx−=+++，取0x=得112(1)(0,1)2yMx−++.同理可得222(1)(0,1)2yNx−

++.由||||2GMGN=得12122(1)2(1)1212222yyxx−−+−+−=++，即12122(1)2(1)11222kxkxxx++−−=++.所以21212(21)222xxkxx−=++，高三数学参考答案第6页（共7页）即2121212(21)22()4xxkxx

xx−=+++.2222841(21)283244141kkkkk+−=−+++，即22(21)1483kkk−=−+，因为12k，所以得|21|1|23|kk−=−，即1k=.经检验符合题意，此时直线l为2yx=

+.综上所述，直线l的方程为0x=或2yx=+.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）1,2,1和3,1.（Ⅱ）()SQ的最小值为7.首先证明()7SQ≥：由题知26nC≥得4n.①当4n=时，应有数列中各项均不相同，此时有()123410SQ+++=；②当5n=时，由于数列中各

项必有不同的数，进而有()6SQ.若()6SQ=，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时()4TQ，不符；③当n≥6时，同②可得()SQ≥7.综上所述，有()SQ≥7.同时当Q为2,2,1,1,1时，()SQ=7，所以()SQ的最小值为7.（Ⅲ）(

)TQ的最大值为511566.下面分五步证明当()TQ最大时，数列Q应满足：①存在大于1的项，否则此时有()0TQ=；②1na=，否则将na拆分成na个1后()TQ变大；③当1,2,,1tn=−时，有1ttaa+≥，否则交换1,ttaa+的顺序后()TQ变为()1TQ+.进一步

有1{0,1}ttaa+−，否则有12ttaa++≥，此时将ta改为1ta−，并在数列末尾添加一项1，此时()TQ变大；④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列Q中存在相邻的两项13,2ttaa+==，设此时Q中有x项为2，则将ta改为2，并在数列末尾添加一项1后，()TQ的值至少变为(

)TQx++1()1xTQ−=+;⑤由上可得数列Q为2,2,,2,1,1,1的形式,设其中有x项为2,有y项为1,则有22023xy+=,高三数学参考答案第7页（共7页）从而有2()(20232)22023TQxyxxxx==−=−+，由二次函数性质可得，当且仅当5061

011xy==时，()TQ最大，为511566.综上可得()TQ的最大值为511566.