【文档说明】北京市大兴区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷word版含答案.docx，共(9)页，1.050 MB，由小喜鸽上传

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北京市大兴区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷数学2023．012022．4第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）空间向量OAOBAC−+=（A）AB（B

）CB（C）OC（D）BC（2）圆22230xyy+−−=的半径是（A）（B）2（C）（D）4（3）抛物线28xy=的焦点到准线的距离为（A）（B）2（C）4（D）（4）已知数列{}na的前n项和2nSn=，则2a=（A）（B）2（C）（D）4（5）若等

差数列{}na满足31a=−，41a=，则其前n项和的最小值为（A）9−（B）8−（C）7−（D）6−（6）设{}na是各项不为0的无穷数列，“nN，212nnnaaa++=”是“{}na为等比数列”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）

既不充分也不必要条件（7）设12FF，是椭圆22:194xyC+=的两个焦点，点P在椭圆C上，1||4PF=，则2||PF=（A）（B）2（C）（D）4（8）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，5ABBC==，12ACAA

==．DEF，，分别为1111AAACBB，，的中点，则直线EF与平面BCD的位置关系是1.本试卷共4页，共两部分，21道小题．满分150分。考试时间120分钟。2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，

选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。（A）平行（B）垂直（C）直线在平面内（D）相交且不垂直（9）记nS为等比数列{}na的前n项和．已知14a=−，412a=，则数列{}nS（A）无最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，无最小项（D）有最

大项，有最小项（10）已知M是圆22(1)1xy−+=上的动点，则M到直线1()ykxk=+R距离的最大值为（A）2（B）21+（C）（D）221+第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共2

5分。（11）与7的等差中项为_______．（12）直线1yx=+关于y轴对称的直线的方程为_______．（13）已知双曲线2221(0)xyaa−=的一条渐近线方程为20xy+=，则a=_______．（14）能说明“若等比数列{}na满

足12aa，则等比数列{}na是递增数列”是假命题的一个等比数列{}na的通项公式可以是_______．（15）平面内，动点M与点(10)F，的距离和M到直线1x=−的距离的乘积等于2，动点M的轨迹为曲线C．给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C

与x轴有2个交点；④点M与点(10)F，的距离都不小于31−．其中所有正确结论的序号为_______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知点(01)A，和点(23)B，是圆C直径的两个端点.（Ⅰ）求线段AB的中点坐标和圆C的方程；（

Ⅱ）过点A作圆C的切线，求切线的方程.（17）（本小题14分）已知等差数列{}na满足11a=，235aa=+.（Ⅰ）求{}na的通项公式；（Ⅱ）设{}nb是等比数列，12b=，322bb=，求数列{}nnab+的前项和nT.（18）（本小题14分

）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F.（Ⅰ）求F的坐标和抛物线C的准线方程；（Ⅱ）过点F的直线与抛物线C交于两个不同点AB，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求||AB的长.条件①：直线的斜率为；条件②

：线段AB的中点为(32)M，.注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.（19）（本小题14分）如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1ABAD==，12AA=，E分别是棱1DD的中点.（Ⅰ）求证：1//CD平面1ABE；（Ⅱ）求

平面1ABE与平面1111ABCD夹角的余弦值；（Ⅲ）求点1C到平面1ABE的距离.（20）（本小题15分）已知椭圆2222:1(00)xyCabab+=，过点(21)P，，且2ab=.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设O为原点

，直线OP与直线平行，直线与椭圆C交于不同的两点MN，，直线PMPN，分别与x轴交于点EF，.当EF，都在y轴右侧时，求证：||||OEOF+为定值.（21）（本小题14分）已知{}na为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在ij，，使得iak≤，jak…，其中ij≤．令

kb为满足iak≤的所有中的最大值，kc为满足jak…的所有j中的最小值．（Ⅰ）若无穷递增数列{}na的前四项是1235，，，，求4b和4c的值；（Ⅱ）若{}na是无穷等比数列，11a=，公比q为大于的整数，34534bbbcc==，，求q的值；（Ⅲ）若{}na是无穷等差数列，11a

=，公差为1m，其中m为常数，且1mmN，>，求证：12kbbb，，，，和12kccc，，，，都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式.参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）12345678910DBCCACBDDB二、填空

题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）5（12）10xy+−=（13）2（14）1(1)nna+=−−（答案不唯一）（15）②③④注：第（15）题只写一个且正确给3分，只写两个且正确给4分。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）由题意

知，线段AB的中点为圆心C设圆C()xy，，0212x+==，1分1322y+==，1分所以圆心C(12)，．故线段AB中点的坐标为(12)，．1分直径22||(20)(31)AB=−+−1分22=．1分所以圆C的半径为2．1分

所以圆C的方程为22(1)(2)2xy−+−=．1分（Ⅱ）设切线的斜率为k，由题意知，lCA⊥．1分所以1ACkk=−．2分因为21110ACk−==−，1分所以1k=−．1分又因为点(01)A，在直线上，所以直线的方程为1yx=−+．2分（17）（共14分）解：（Ⅰ）设等差数列{}na的

公差为d．因为235aa+=，所以1235ad+=．2分因为11a=，所以1d=．2分所以nan=．2分（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q．因为322bb=，所以2q=．2分所以2nnb=．2分所以1122nnnTababab=++++++1

212()()nnaaabbb=+++++++(1)2(12)212nnn+−=+−21222nnn++=+−.4分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由题设知，焦点F的坐标为(10)，.3分准线方程为1x=−.3

分（Ⅱ）选条件①直线的方程为1yx=−．2分由214yxyx=−=，得2610xx−+=．1分设11(,)Axy，22(,)Axy，则126xx+=．1分由抛物线的定义知，12||ABxxp=++3分所以||AB62=+8=．故||AB的长为．1分选

条件②设11(,)Axy，22(,)Axy，因为AB的中点为(32)M，，由中点坐标公式知，126xx+=．4分由抛物线的定义知，12||ABxxp=++，3分所以所以||AB62=+8=．故||AB

的长为．1分（19）（共14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCDABCD−中，因为11//ADBC，且11=ADBC，所以四边形11ADCB为平行四边形．1分所以11//ABDC．1分又1DC平面1

ABE，1分1AB平面1ABE，所以1//DC平面1ABE．1分（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Axyz−，则(0,0,0)A，1(102)B，，，(011)E，，，1(112)C，，．所以1(02)1AB⎯⎯→=，，，(01)1AE⎯⎯→=，，，11(0)10BC⎯⎯→=

，，，1(0)02AA⎯⎯→=，，．设平面1ABE的法向量为(,,)xyz=m，则100ABAE⎯⎯→⎯⎯→==，，mm即200.xzyz+=+=，令1z=，则2x=−，1y=−．于是(211)=−−，，m．2分又因为平面1111ABCD

的法向量为1(0)02AA==，，n，1分设平面1ABE与平面1111ABCD夹角为，所以cos|cos|||||||==，mnmnmn2分20(1)012||62−+−+=66=．所以平面1ABE与平面1111ABCD夹角的余弦值为66．1分（Ⅲ）因为11(0)10

BC⎯⎯→=，，，所以1C到平面1ABE的距离为11||||BCmm2分|0(2)1(1)01|6−+−+=1分66=．1分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，得22222,211.abab

=+=解得28a=，22b=．2分所以椭圆C的方程为22182xy+=．1分因为22a=，226cab=−=，1分所以离心率63222e==．1分（Ⅱ）依题意，直线OP的斜率为12．1分由直线OP与直线平行知，直线的斜率为12．设直线的

方程为12yxm=+．1分由2212182yxmxy=++=，得222240xmxm++−=．1分由24(4)0m=−得22m−．设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则122xxm+=−，21224xxm=−

．．1分直线PM的方程为111(2)12yyxx−=−+−．．1分令0y=，得点E的横坐标11221Exxy−=−+−．1分同理可得点F的横坐标22221Fxxy−=−+−．因为点E，F都在原点的右侧，所以0Ex，0Fx，||||||||EFEFOEOFxxxx+=+=+1212224()11

xxyy−−=−+−−122112(2)(1)(2)(1)4(1)(1)xyxyyy−−+−−=−−−12211211(2)(1)(2)(1)224(1)(1)xxmxxmyy−+−+−+−=−−−1分121212(2)()4(1)4(1)(1)xxmxxmyy+−+−−=−−−1分

因为21212(2)()4(1)24(2)(2)4(1)xxmxxmmmmm+−+−−=−+−−−−222424440mmmm=−−+−+=1分所以||||4OEOF+=．1分所以||||OEOF+为定值．（21）（共14分）解：（Ⅰ）由题意知，{}na是无穷递增数列且123

41235aaaa====，，，．所以1234544aaaaa，．由题意知，4434bc==，．4分（Ⅱ）由题意知，{}na是无穷递增等比数列，11a=，公比q是大于的整数．方法一①当2q=时，12345124816aaaaa=====，，，，，故123433a

aaa，，所以32b=，33c=．12345444aaaaa=，，，所以43b=，43c=．1234555aaaaa，，所以53b=．所以当2q=时，345bbb=，34cc=成立．2分②当3q=时，123451392781aaaaa=====，，，，，故1234

33aaaa≤，，所以32b=故123444aaaa，，所以42b=．则342bb==，所以3q=不满足题意．1分③当4q==时，1234141664aaaa====，，，，故12333aaa，，所以31b=，32c=．

1234444aaaa=，，，所以42b=，42c=．123455aaaa，，所以52b=．所以当4q=时，345bbb=，34cc=成立．2分④当5q…时，21231525aaqaq===，，，厖故12333aaa，，且12344aaa

，则341bb==，所以当5q…时，不满足题意．1分综上，当2q=，或4q==时，满足，345bbb=，34cc=成立.方法二由题意知，31b=，或2．①当34512bbb===，时，由题意知，24a=若24a=，即1234141664aaaa====，，，，，此

时4q=，3412bb==，，且52b=，342cc==．所以当4q=时满足题意．2分②当34523bbb===，时，由题意知，22a=若22a=，即12341248aaaa====，，，，，此时2q=，34523bbb===，，

343cc==．所以当2q=时满足题意．2分③以下说明当3q=，5q?时，不成立．当3q=时，即123139aaa===，，，，故342bb==不满足题意．1分当5q…时，21231525aaqaq===，，，厖故12333aaa，，且12344aaa，则3

41bb==，所以当5q…时，不满足题意．1分（Ⅲ）方法一由{}na是无穷递增等差数列，11a=，公差为1m知，所以11(1)nanm=+−．1分因为1mmN，>，所以(1)1kmak−+=，kN．由kb，kc分别为满足iak≤，jak…的所有，j中的最大值

和最小值，且123aaa知，(1)1kkbckm==−+．1分所以111(1)1kkkkbbcckmkmm++−=−=+−−−=．1分因为m为常数，所以12kbbb，，，，和12kccc，，，，都是首项，公差为m等差数列．所以1

kbkmm=−+，1kckmm=−+．1分方法二因为11a=，所以111bc==．令kbi=，即iak≤且1iak+．所以11(1)ikm+−≤，且1ikm+．所以11(1)1ikm+−++1≤．所以11(1)1imkm++−+≤．即1imak++≤．因为111()11

1imiaimkmm++=++=+++．即11imak+++．所以1kbim+=+．2分所以1()kkbbimim+−=+−=．1分同理1()kkccimim+−=+−=所以12kbbb，，，，和12kccc，，，，都是首项，公差为m等差数列．所以1kbkmm

=−+，1kckmm=−+．1分