【文档说明】2023年1月九江市高2023届高三一模文科数学试卷及答案文字版全网首发.pdf,共(10)页,966.808 KB,由小喜鸽上传
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九江市2023年第一次高考模拟统一考试数学试题(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上.2.第I卷每小题选
出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第II卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.第Ⅰ卷(选择题60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出
的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2230≤MxxxN,04≤≤Nxx,则MN(A)A.0123,,,B.123,,C.03≤≤xxD.13≤≤xx解:{|13}0123≤≤,,,MxxN,{0,1,2,3}MN,故
选A.2.复数z满足(1i)24iz,则z的虚部为(A)A.3B.3C.1D.1解:24i(24i)(1i)26i13i1i(1i)(1i)2z,虚部为3,故选A.3.若实数,xy满足约束条件22350xyxyxy≥0≥0≤,则zxy的最
大值为(D)A.1B.0C.1D.3解:由约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示.易知目标函数zxy的最大值在(2,1)B处取得,max3z.故选D.4.已知等差数列{}na的前n项和为nS,若48S,735S,则5a(C)
A.3B.5C.7D.9解:依题意得1146872135adad,解得112ad,5147aad,故选C.5.为了学习、宣传和践行党的二十大精神,某班组织全班学生开展了以“学党史
、知国情、圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生20人,女生30人,根据统计分析,男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为80,84,则该班成绩的平均分是(D)A.82B.82.1C.82.2D.82.4解:该班成绩的平均分是8020843082.450,故选D.6
.在几何学中,单叶双曲面是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面.由于有良好的稳定性和漂亮的外观,单叶双曲面常常应用于一些大型的建筑结构,如发电厂的冷却塔.已知某发电厂的冷却塔的立体图如图所示,塔的总高度为150m,塔顶直径为80m,塔的最小直径(喉部直径)为60m,喉部标高(标高是地面或建筑物上
的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离)为110m,则该双曲线的离心率约为(精确到0.01)(B)A.2.14B.1.81C.1.73D.1.41解:设双曲线标准方程为22221xyab(0a,0b),依题意知30a,点(40,40)在该双曲线
上,22224040130b,229407b,222229401002073077cab,22223(3,4)7cea,(3,2)e,故选B.7.已知3πsin2sin()2
,则πtan()4(C)A.3B.3C.13D.13解:3πsin2sin()2,sin2cos,即tan2,πtan11tan()41tan3.故选C.8.三棱锥ABCD中,△ABD与△BCD均为边长为2的等边三角形,若平面ABD平面
BCD,则该三棱锥外接球的表面积为(B)A.8π3B.20π3C.8πD.20π解:分别过△ABD与△BCD外接圆圆心12,OO作平面ABD与平面BCD的垂线,交于点O,O即为球心.易得2233CO,2133OOOE
,2222253RCOOO,220π4π3SR.故选B.9.已知πcos5a,52b,bac,则,,abc的大小关系是(B)A.abcB.bacC.bcaD.cab解:1ππcoscos1235a
,551log2log52b,由指数函数xya单调递减,可知bcaa,bac,故选B.10.已知椭圆2222:1xyCab(0ab)的左右焦点分别为12,FF,过2F的直线交C于,PQ两点,直线1FQ交y轴于点M,若1PM
FQ,1||||2PFPQ,则椭圆C的焦距为(A)A.3B.6C.62D.32解:如图,1PMFQ,1||||PFPQ,M为1FQ的中点,又O为12FF的中点,OMx轴,PQxAEO1OO2BDC轴,1PFQ△为等边三角形,1230PFF
,14||23cPF,32c,故选A.11.已知函数()fx的定义域为R,若(21)fx为偶函数,且()(4)2fxfx,(1)2f,则221()nfn(A)A.23B.22C.19D.18解:由()(4)2fxfx,令2x,得(2)
1f.令1x,得(1)(3)2ff,(1)2f,(3)0f.(21)fx为偶函数,(21)(21)fxfx,即(1)(1)fxfx,曲线()fx关于直线1x对称.又()(4)2fxf
x,曲线()fx关于点(2,1)中心对称,()fx的周期4(21)4T.(4)(0)(2)1fff,(1)(2)(3)(4)4ffff,221()54(1)(2)23nfnff.故选A.12.已知函数3214()
33fxxaxbxb(,Rab),点(1,0)P位于曲线()yfx的下方,且过点P可以作3条直线与曲线()yfx相切,则a的取值范围是(D)A.5(,)3B.5(,1)3C.(1,)D.(1,
)解:2()2fxxaxb,设切点为00(,())xfx,切线方程为000()()()yfxfxxx,由于切线过点(1,0)P,000()()(1)fxfxx,整理得3200024(1)2033xaxax.构造函数3224()(1)233g
xxaxax,()ygx有三个不同的零点,2()22(1)22(1)()gxxaxaxxa,易知1a,(1)()0gga,即32514()()0333aaa,即25()(1)(2)03aaa
,又因为点(1,0)P在曲线下方,(1)0f,即53a,1a,故选D.第Ⅱ卷(非选择题90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,学生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小
题5分,共20分.13.已知向量(1,3)a,(,2)xb,若()aab,则x4.解:1,1xab=,()=0aab,130x,解得4x.14.2022年11月第十四届中国国际航空航天博
览会在珠海举办.在此次航展上,国产大飞机“三兄弟”运油-20、C919、AG600M震撼亮相,先后进行飞行表演.大飞机是大国的象征、强国的标志.国产大飞机“三兄弟”比翼齐飞的梦想,在航空人的接续奋斗中成为现实.甲乙两位同学参观航展后各自从“三兄弟”模型中购买一架,则两位同学购买的飞机模型不.
同.的概率是23.解:设三架飞机模型分别为A,B,C.甲乙各购买一架的可能情况有9种:AA,AB,AC,BA,BB,BC,CA,CB,CC,其中两位同学购买的飞机模型不同有6种情况:AB,AC,BA,BC,CA,CB,所以两位同学购买的飞机模型不同的概率是6293.15.如图,在正三棱柱
111ABCABC中,122ABAA,N为11AC的中点,M为线段1AA上的点.则MNMB的最小值为10.附:22()()()()()nadbcabcdacbd2()Pk≥0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.
828解:将矩形11ABBA沿AB翻折,使得111,,,,,AABBCC六点共面,连接BN交1AA于M,则此时MNMB的值最小为10BN.16.△ABC中,三内角,,ABC所对边分别为,,abc,已知3sin2sincosABC,1a,则角A的最大值是π6.解法一:3sin2sincosA
BC,由正弦定理得32cosabC,由余弦定理得2222bca.而222cos2bcaAbc,消去2a可得221313322cos=242(+)≥bcbcAbccb,当且仅当3bc时取等号.c
osyx在(π)0,上单调递减,maxπ6A.解法二:sinsin()sincoscossinABCBCBC,又3sin2sincosABC,cos0C,C为锐角,且sincos3cossin0BCBC,即tan3tanBC,B为钝角,A为锐角,而2t
antan2tan23tantan()11tantan13tan33tantanBCCABCBCCCC≤,tanyx在π()20,上单调递增,maxπ6A.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本
小题满分12分)某IT公司在A,B两地区各开设了一家分公司,为了解两家分公司员工的业务水平,对员工们进行了业务水平测试,满分为100分,80分及以上为优秀.A地区分公司的测试成绩分布情况如下:(1)完成A地区分公司的频率分布直方图,并求出该公
司员工测试成绩的中位数;(2)补充完成下列22列联表,并判断是否有97.5%的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.解:(1)A地区分公司的频率分布直方图如右:………3分由图知A地区分公司员工成绩在[50,70)的频率为(0.0050.02)100
.25………4分设该公司员工成绩的中位数为x,则(70)0.050.250.5x………5分解得75x………6分(2)补充完成22列联表如下:成绩[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数52050205优秀不优秀合计A地区分公司B地区分公司4
060合计50607080901000.0500.0450.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005成绩(分)频率组距A地区分公司50607080901000.050
0.0450.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005成绩(分)频率组距A地区公司………8分22200(25607540)2005.1285.0241001006513539………10分故有97.5%的把握认为这两家分公司员工
业务水平有差异………12分18.(本小题满分12分)已知数列{}na的前n项和为nS,且满足0na,(2)4nnnaaS,数列{}nb的前n项积22nnT.(1)求数列{}na和{}nb的通项公式;(2
)求数列{}nnab的前n项和.解:(1)当1n时,111(2)4aaa,12a………1分当2n时,111(2)(2)44nnnnnnnaaaaaSS,化简得22112()nnnna
aaa………2分0na,12nnaa,数列{}na是首项为2,公差为2的等差数列,2(1)22nann………3分当1n时,112bT………4分当2n时,2221(1)1222nnnnnnTbT
………5分综上212nnb………6分(2)21224nnnnabnn,设12112214244nnnnRabababn①则231414244nnRn②………8分①-②得12114(14)34444414nnnnnRnn
………9分1134433nn………11分优秀不优秀合计A地区分公司2575100B地区分公司4060100合计651352001314499nnnR………12分19.(本小题满分12分)如图,直角梯形ABC
D中,BCAD//,90BAD,2ABAD,22BC,将ABD沿BD翻折至ABD的位置,使得ABAC.(1)求证:平面ABD平面BCD;(2)若F,H分别为BC,AC的中点,求三棱锥
ADFH的体积.解:(1)ABAC,ABAD,ACADA,,ACAD平面ACD,AB平面ACD………1分又CD平面ACD,CDAB………2分由直角梯形ABCD,BCAD//,90BAD,2ABAD,22BC,得CD
BD………3分又ABBDB,,ABBD平面ABD,CD平面ABD………4分又CD平面BCD,平面ABD平面BCD………5分(2)取BD的中点E,连接AE,ABAD,AEBD,又平面ABD平面BCD,AE平面BCD
………6分直角梯形ABCD中,BCAD//,90BAD,2ABAD,22BC,2BDCD,1AE………7分11122213323ABCDBDCVSAE………9分1123ABFDABCDVV………1
0分1146HCFDABCDVV………11分21113366ADFHABCDABFDHCFDVVVV,即三棱锥ADFH的体积为16………12分20.(本小题满分12分)DAB
CHDBFCHDBFCE已知函数2()lnlnfxxaxxa(0a).(1)当1a时,求()fx的最大值;(2)若[1,)x,()0fx,求a的取值范围.解:(1)当1a时,2()lnfxxxx,1(21)(1)()21xxfx
xxx………1分当(0,1)x时,()0fx;当(1,)x时,()0fx………2分()fx在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减………3分max()(1)0fxf………4分(2)1()21fxaxx,易知()fx在(0,)上单调递减…
……5分①由(1)知,当1a时,()0fx,符合题意………6分②当01a时,(1)2(1)0fa,1()10faa,存在11(1,)xa,使得1()0fx………7分故当11(,)xxa
时,()0fx,()fx单调递减,21111()()ln()ln0fxfaaaaaa,不符题意,舍去………8分③解法一:当1a时,(1)2(1)0fa,1()10faa,存在21(,1)xa,使得2()0fx………9分故当[1,)x
时,()0fx,()fx单调递减,()(1)ln1fxfaa………10分令()ln1gaaa(1a),则11()10agaaa,故()ga在(1,)上单调递减,()(1)0gag,()0fx,符合题意………11分
综上所述,a的取值范围是[1,)………12分解法二:当1a时,222121(1)(21)()axxxxxxfxxxx………9分[1,)x,(1)(21)()0xxfxx,故当[1,)x时,()0fx,()fx单调递减,()(1)ln1fxf
aa………10分令()ln1gaaa(1a),则11()10agaaa,故()ga在[1,)上单调递减,()(1)0gag,()0fx,符合题意………11分综上所述,a的取值范围是[1,)………1
2分21.(本小题满分12分)已知过点(2,0)P的直线l与抛物线2:2(0)Eypxp交于,AB两点,过线段AB的中点M作直线MNy轴,垂足为N,且PMPN.(1)求抛物线E的方程;(2)若C为E上异于点,AB的任意一点,且直线
,ACBC与直线2x交于点,DR,证明:以DR为直径的圆过定点.解:(1)由题意,可设直线l的方程为2xmy.将2xmy代入22ypx,消去x得2240ypmyp………1分设11(,)Axy,22(,
)Bxy,则122yypm,124yyp………2分M是线段AB的中点,21212(42)22Mxxmyyxpm,122Myyypm,即2(2,)Mpmpm,又MNy轴,垂足N的坐
标为(0,)Npm………3分则2(,)PMpmpm,(2,)PNpm,PMPN,22220PMPNpmpm对任意的Rm恒成立………4分220pp,解得2p,故抛物线E的方程为24yx………5分(2)设2(,
)4tCt,由(1)可知,211(,)4yAy,222(,)4yBy,124yym,128yy………6分则12211444ACytkytyt,直线AC的方程为214()4tytxyt………7分令2x,则211184(
2)4tytytytyt,118(2,)tyDyt,同理228(2,)tyRyt………9分由抛物线的对称性可知,若以线段DR为直径的圆过定点,则定点必在x轴上,设该点坐标为(,0)Ta,xyPlBCADR则118(2,)tyD
Tayt,228(2,)tyRTayt,且0DTRT,2121288(2)0tytyaytyt………10分22212121222121212888()6483264(2)8()48tytytyytyytmtaytytyytyyttmt
,222a或222a………11分以线段DR为直径的圆过定点(222,0)和(222,0)………12分请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分
.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为222121xttyt(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin()cos(为直线l的倾斜角).(1)求直
线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;(2)设(0,1)P,直线l与曲线C相交于,AB两点,求||||||ABPAPB的最大值.解:(1)由sin()cos,得(sincoscossin)cos………1分由cos
x,siny,得直线l的直角坐标方程为sincoscos0xy………2分由222121xttyt(t为参数),两式相除得(0)ytxx………3分221()xyx,整理得曲线C的普通方程为22(1)1xy(0x)………4分
(2)解法一:直线l经过点(0,1)P,l的参数方程为cos1sinxtyt(t为参数),代入22(1)1xy中,得22(sincos)10tt………5分由24(sincos)4
0,得π(,π)2………6分12()2cossintt,121tt………7分21212121212()4||||4sin2||||||||ttttttABttPAPBtt………8分π(,π)2,2(π,2π),
1sin20,||2||||ABPAPB,当且仅当3π4时,等号成立………9分故||||||ABPAPB的最大值为2………10分解法二:直线l经过点(0,1)P,||1PO………5分由切割线定理得2||||||1P
APBPO………7分||2||||||ABABPAPB,当且仅当AB为圆C的直径时,等号成立………9分故||||||ABPAPB的最大值为2………10分23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选
讲已知,,abc均为正实数,且2222abc.(1)求abc的最大值;(2)求111abbcca的最小值.解:(1)2222()222abcabcabbcca,又222abab≤,222bcbc≤,222caca≤………1分2222()
3()6abcabc≤………2分6abc≤,当且仅当63abc时,等式成立………3分即abc的最大值为6………4分(2)令mab,nbc,pca,则111()()3ppnmmnpmnpppmnmmnn…
……5分2≥nmmn,2≥pmpm,2≥pnpn,111()()9≥pmnpmn,当且仅当pmn,即abc时,等式成立………6分由(1)知2()26mnpabc≤,111111()()26()pmnppm
nmn≤………7分11126()9pmn≥,111364pmn≥………8分即111364abbcca≥,当且仅当63abc时,等式成立………9分故111abbcca的最小值为364………10分