【文档说明】2023届浙江省全国1卷高三数学原创预测卷一解析版.doc，共(20)页，2.301 MB，由小喜鸽上传

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第1页共20页2023届浙江省（全国1卷）高三数学原创预测卷（一）一、单选题1．已知集合2log(1)Axyx==+，220Bxxx=−−，则AB=（）A．()1,−+B．)1+，C．()2,+D．)2+，【答案】D【分析】根据对数函数的定义域化简集合A，

根据一元二次不等式的解法化简B，根据交集的定义求AB即可.【详解】()()2log1101,Axyxxx==+=+=−+Q，()220,12,Bxxx=−−=−−+Q，所以，)2AB=+I，.故选：

D.2．双曲线22:21Cxy−=的渐近线方程为A．20xy=B．20xy=C．20xy=D．20xy=【答案】A【解析】将双曲线方程化为标准方程为22112yx−=，其渐近线方程为22012yx

−=，化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线22:21Cxy−=得22112yx−=，则其渐近线方程为22012yx−=，整理得20xy=.故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.3．圆C：()()22122xy−+−=关于

直线0xy−=对称的圆的方程是（）A．22(1)(2)2xy−++=B．22(1)(2)2xy+++=C．22(2)(1)2xy−+−=D．22(2)(1)2xy+++=第2页共20页【答案】C【分析】根据点关于直线yx=对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.

【详解】由圆C：()()22122xy−+−=，可知圆心坐标：(1,2)，半径为2，因为点(1,2)关于直线yx=的对称点为(2,1)，所以圆C：()()22122xy−+−=关于直线0xy−=对称的圆的方程是22(2)(1)2xy−+−=，故选：C4．“函数tanyx=的图

象关于0(,0)x中心对称”是“0sin0x=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出tanyx=与sinyx=的对称中心，比较两个中心关系.【详解】tanyx=的对称中心为(π,0),Z2kk，sinyx=的对称中心为(π,

0),Zkk，tanyx=的对称中心不一定为sinyx=的对称中心；sinyx=的对称中心一定为tanyx=的对称中心.故选：B．5．若二项式12nxx+()*Nn的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第k项的系数最大，则k=（）A．5B．6C．7D．8【答案

】A【分析】根据条件可得12n=.写出展开式的通项312122112C2rrrrTx−−+=，则当r是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出k的值.【详解】由已知可得，12n=.根据二项式

定理，知展开式的通项为()31212122112121C2C2rrrrrrrTxxx−−−+==，显然当r是偶数时，该项为有理项，0r=时，0121212112C24096Txx==；2r=时，21099312C267584Txx==；4r=时，4866512C

2126720Txx==；6r=时，6633712C259136Txx==；8r=时，84912C27920T==；10r=时，102331112C2264Txx−−==；第3页共20页12r=时，120661312C2Txx−−==.经比较可得，4r=，即5k

=时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选：A.6．已知抛物线C1：220ypxp=（）与椭圆C2：22221(0)xyabab+=共焦点，C1与C2在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为12,FF，且212PFFF⊥，则椭圆的离心率为（）A．31−B

．21−C．423−D．322−【答案】B【分析】根据212PFFF⊥得到2(,)bPca，然后将点P代入抛物线方程得到222bpca=，根据共焦点得到2pc=，最后联立求离心率即可.【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得2(,)bPca在抛物线上，故222bpca

=，且2pc=，∴422222242221021bbccacaceeeaa==−=+−==−.故选：B.7．如图，在三棱锥−PABC中，2,23PBPCABACBC=====，二面角ABCP−−的平面角0,2

，2AMMP=uuuuruuur，AGGC=uuuruuur，则直线BG与直线BM的所成最大角的正切值为（）A．3B．33C．7D．77【答案】D【分析】首先取BC的中点H，连接AH交BG于O，连接MO，PH，根据题意得到当2=时，得到直线BG与直

线BM的所成最大角的正切值，即可得到答案.【详解】取BC的中点H，连接AH交BG于O，连接MO，PH，如图所示：第4页共20页因为H为BC中点，G为AC中点，AH交BG于O，则O为ABCV的重心.即：23A

OAH=uuuruuur.因为2223212PH=−=，又因为2AMMP=uuuuruuur，即23AMAP=uuuuruuur，所以MO//PH，2233MOPH==.()22222231co

s2222BAC+−==−，2212122172BG=+−−=，即22733BOBG==.因为PBPC=，H为BC中点，所以PHBC⊥，因为ABAC=，H为BC中点，所以AHB

C⊥，所以AHP为二面角ABCP−−的平面角，即AHP=，0,2.因为直线BG与直线BM的所成角为MBO，当MOBO⊥时，tanMBO取得最大值，当MOBO⊥时，即PHBO⊥，PH⊥平面ABC，即2=.所以直线BG与直线BM的所成角正切值

最大为2737273=.故选：D8．已知实数,,xyz满足2221xyz++=，当2xyyzxz++取到最小值时，则（）A．xy=B．xz=C．221xy+=D．221xz+=【答案】D【分析】由已知可得23214xyyzxzy++−+，结合二次函数的性质可知0y=，进而得解.第5页共20

页【详解】因为22222024yyxzxzxyyzxz++=+++++，2221xyz++=所以22222232011444yyxyyzxzxzyy++−++=−−+=−+，当0y=，2xyyzxz++取到最小值，此时可得221xz+=．故选：

D二、多选题9．下列说法正确的是（）A．直线30xy−+=的倾斜角为45oB．存在m使得直320xmy+−=与直线20mxy+=垂直C．对于任意，直线:(2)(12)430lxy++−+−=与圆22(2)8xy++=相交D．若直线0a

xbyc++=过第一象限，则0,0abbc【答案】ABC【分析】对于A：化简成点斜式，利用斜率与倾斜角的关系得出结论，C选项首先求出直线过定点，且定点在圆的内部，得出结论，B、C是通过特值得出结论.【详解】对于A：∵30xy−+=，∴3yx=+，∴1ta

n,45k===o，故A正确；对于B：0m=时符合题意，故B正确；对于C：化简(2)(12)430xy++−+−=得：(23)240xyxy−−+++=∴230240xyxy−−=++=，解得1,2xy=−=−∴直线l过定点(

1,2)−−，又∵22(12)(2)58−++−=∴该定点在圆内，∴直线l与圆相交，故C正确；对于D：当0,1,1abc===−此时直线为1y=，经过第一象限，此时0,10abbc==−，故D错误

．故选：ABC．第6页共20页10．设函数π()cos()(0)4fxx=+，已知()fx在[0，2π]有且仅有4个零点．则下列说法正确的是（）A．()fx在(0,2π)必有有2个极大值点B．()fx在(0

,2π)有且仅有2个极小值点C．()fx在π(0,)8上单调递增D．的取值范围是1317[,)88【答案】BD【分析】令π4tx=+，则()cosgtt=，根据复合函数的单调性及图像综合判断即可．【详解】解：依题意知πππ,2π444x++，由于()fx在[0，2π]有且

仅有4个零点，结合图像及单调性可得7π9π2π22π4+<，131788<，故D对；令πππ,2π444tx=++，()cosgtt=，()gtQ有1或2个极大值点，结合复合函数的单调性知()fx也有1或2个极大值点，故A错；

同理()gt有2个极小值点，所以()fx有2个极小值点，故B对；当π0,8x时，πππ,484t+，131788Q<，29πππ33ππ648464+，()gt递减，根据

复合函数单调性得()fx递减，故C错；故选：BD．11．已知()fx是定义在R上的单调函数，对于任意xR，满足()225xffxx−−=，方程(||)||10fxkx−−=有且仅有4个不相等的实数根，则正整数k的取值可以是（）A．3

B．4C．5D．6第7页共20页【答案】BCD【分析】由题知()22xfxx−−为常数，令()22xfxxt−−=，由()5ft=求得1t=，结合奇偶性将问题转化为2xy=与(2)ykx=−图象在(0,)+上仅有两个不同交点

，分析函数图象验证k的取值是否满足.【详解】因为()fx是定义在R上的单调函数，对于任意xR，满足()225xffxx−−=，所以()22xfxx−−为常数，令()22xfxxt−−=，则()22xfxxt=++且()5ft=，即522ttt=++，此方程有唯一的根1t=，故()221x

fxx=++，因为(||)||1yfxkx=−−为偶函数，方程(||)||10fxkx−−=有且仅有4个不相等的实数根，当且仅当方程()1fxkx=+在(0,)+上有且仅有两个不相等的实数根，即2(2)xkx=−在(0,)+上有且仅有两个不相等的实

数根，方程2(2)xkx=−根的个数可看成2xy=与(2)ykx=−图象交点个数，当3k=时，方程2xx=无根，故3k=不满足；当4k=时，方程22xx=两根分别为122,2xx==，故4k=满足；当56k=，时，此时直线(2)ykx=−比2yx=更陡，故有两个交点，所以56k=，

时满足；故选：BCD12．已知R,Rmn++，不等式212lnln(2)422mnmn++−恒成立，则（）A．294mn+=B．294mn−=C．222mn−D．2mn+【答案】ACD【分析】由题知R,Rmn++

，不等式221lnln(4)410221mmnn−++−+恒成立，进而构造函数第8页共20页()ln1,0gxxxx=−+，结合导数得()()10gxg=，即ln1−xx，进而得()20,402mggn==，21241mn==，再解

方程，并讨论各选项即可.【详解】解：因为R,Rmn++，不等式212lnln(2)422mnmn++−恒成立，所以R,Rmn++，不等式221lnln(4)4222mnmn++−恒成立，即R,

Rmn++，不等式221lnln(4)410221mmnn−++−+恒成立，（1）令()ln1,0gxxxx=−+，则()111,0xgxxxx−=−=，所以，当()()0,1,0xgx，()gx单调递增；当()()1,,0xgx+，()gx单调递减；所以()

()10gxg=，即ln1−xx，所以，22ln10ln(4)41022mmnn−+−+，，221lnln(4)410221mmnn−++−+，即()2402mggn+因为（1）式等价于()2402mggn+

，所以，()20,402mggn==，即21241mn==，解得2214mn==.所以，294mn+=，222mn−，2mn+故选：ACD．三、填空题13．若复数z满足()1i2z+=（i为虚数

单位），则2024z=______．【答案】10122【分析】根据复数得乘除法运算结合复数得乘方即可得解.【详解】解：由()1i2z+=，得()()()21i21i1i1i1iz−===−++−，所以()221i2iz=−=−，则()242

i4z=−=−，第9页共20页所以()()50650620244101242zz==−=.故答案为：10122.14．已知34abm==，1122ab+=，则m=_______．【答案】6【分析】计算得到3logam=，4logbm=，利用换

底公式计算得到答案.【详解】34abm==，故3logam=，4logbm=，3211logllog2og62mmmab=+=+=，6m=.故答案为：615．如图，在四边形ABCD中，10AB=，4BC=，5CD=，10cos10ABC=

−，3cos5BCD=，则AD=________．【答案】5【分析】连接BD，在△BCD中求得,cosBDDBC，结合余弦的差角公式，即可求得cosABD，再在△ABD中，利用余弦定理即可求得AD.【详解】连接BD，如下所示：在△BCD中，由余弦定理2222cosBDBCCDBCCDBCD=

+−，可得231625245175BD=+−=，故可得17BD=，则22217162517cos2172174BDBCCDDBCBDBC+−+−===，又()0,DBC，故417sin17DBC=；第10页共20页又10cos10A

BC=−，又()0,ABC，故可得310sin10ABC=；则()coscoscoscossinsinABDABCDBCABCDBCABCDBC=−=+10173104171117010171017170=−+=，在△ABD中，由

余弦定理可得2222cosADABBDABBDABD=+−即2111701017210175170AD=+−=，故5AD=.故答案为：5.16．已知cr为单位向量，av满足()0,20232022accbac−==+rrrrrr

，当av与bv的夹角最大时，bc−=rr_________．【答案】20232023【分析】取()1,0c=r，设()11,axy=r，()22,bxy=r，则121xx==，122023yy=，根据AOCAOB=−结合正切的和差公式，根据向量的运算法则结合均值不等式计算得到答案.【

详解】不妨取()1,0c=r，设()11,axy=r，故()()()1111,?1,010accxyx−=−=−=rrr，故11x=；设()22,bxy=r，则20232022bac=+rrr，即()()

()()22112023,20231,2022,02023,xyyy=+=，故21x=，122023yy=，设av与bv的夹角为，则AOCAOB=−，不妨取12,0yy，则1222122222220222022202210112023tan1112023202312023

22023yyyyyyyyyy−====+++，当2212023yy=，即220232023y=时等号成立，此时夹角最大，()22222023202311bcyy==−=−+rr.故答案为：20232023第11页共20页四、解答题17．设函数2()cos3sincos

fxxxx=−．(1)求()fx单调递增区间；(2)在锐角三角形ABCV中，内角,,ABC所对边分别为,,abc，已知()0fA=，1a=，求3cb−的取值范围．【答案】(1)2πππ,π,Z36kkk−+−+；(2)()()33,1cb−

−−.【分析】（1）化简得π1()cos(2)32fxx=++，再解不等式222Z3kxk,k−+，即得解；（2）求出6A=，再利用正弦定理得到2sin,2sinbBcC==，化简得3cb−2cos()3B=+π，再利用三角函数的图象和性质求解.【详解】（1

）解：由题得1cos231()sin2cos(2)2232xπfxxx+=−=++，令222Z3kxk,k−+，所以2Z36kxk,k−−.所以函数()fx单调递增区间为2πππ,π,36kkkZ−+−+.（2）解：因为(

)0fA=，所以11cos(2)0,cos(2)3232ππAA++=+=−,因为πππ4ππ2ππ0,2,2,2333336AAAA++==,由正弦定理得12,2sin,2sin.πsinsinsin6bcb

BcCBC=====所以32sin23sin2sin()23sin6cos3sincbCBBBBB−=−=+−=−π2cos()3B=+π,因为三角形是锐角三角形，所以π0ππ2,5π320π62BBCB=−.所以2ππ5

π3π1π+cos(+),32cos(+)13362323BBB−−−−，.第12页共20页所以3cb−的取值范围为(3,1)−−.18．现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D4个不同的窗口供排队等候接种，每个窗口至少有一位同学等候．(1)求甲、乙两人在

不同窗口等候的概率；(2)设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．【答案】(1)1113(2)32【分析】（1）先利用排列组合求出事件得总数及甲乙排在一起的情况得数量，再根据古典概型及对立事件得概率公式即可

得解；（2）先写出随机变量X的取值，再求出对应随机变量的概率，再根据期望公式进行求解()EX．【详解】（1）解：总数为2234646422CCCA1560A+=，其中甲乙排在一起的情况为：124444(CC)

A240+=，故甲、乙两人在不同窗口等候的概率为156024011156013−=；（2）解：X可取1,2,3，()223643CCA92156026PX===，()3363CA13156013PX===，()()()15112326PXPXPX==−=−

==，所以()159131232626132EX=++=.19．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，点P在底面ABCD内的投影恰为AC中点，且BMMC=．第13页共20页(1)若23PCDC=，求证：PM⊥

面PAD；(2)若平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为3，求直线PM与平面PCD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据已知条件23PCDC=，不妨设2DC=，3PC=，然后根据勾股定理分别证明P

MPA⊥，PMPD⊥，最后根据线面垂直的判断进行证明即可.（2）首先过P点做底面垂线，垂足为AC中点O.不妨假设底面正方形ABCD的边长为2，OPt=.建立空间直角坐标系，通过已知条件平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为3，求出3t=，最

后根据线面角的夹角公式进行求解即可.【详解】（1）如图，连接AM，DM.已知23PCDC=，不妨设2DC=，3PC=.已知点P在底面的投影落在AC中点，所以四棱锥PABCD−为正四棱锥，即3PAPBPCPD====，Q底面ABCD为正方形，222415AMABBM=+=+=，得5AM=，同理得5

DM=，第14页共20页MQ为BC的中点，PMBC⊥，222312PMPBBM=−=−=，得2PM=，222AMPAPM=+Q，PMPA⊥，同理可得PMPD⊥，PAQ平面PAD，PD平面PAD，且P

APDP=I，PM⊥平面PAD.（2）如图，过P点做底面垂线，垂足为AC中点O.以OM所在直线为x轴，以过O点且与BC平行的直线为y轴，以OP所在直线为z轴如图建立空间直角坐标系.不妨假设底面正方形ABCD的边长为2，OPt=.因此得()0,0,Pt，()1,1,0A−−，()1,1,0B−，

()1,1,0C，()1,1,0D−，()1,0,0M.()1,1,PAt=−−−uuur，()1,1,PBt=−−uuur，()1,1,PCt=−uuur，()1,1,PDt=−−uuur，设平面PAB的法向

量为()1111,,nxyz=ur，由1100PAnPBn==uuururuuurur，得11111100xytzxytz−−−=−−=，解得：10x=，1yt=，11z=−，故()10,,1nt=−uur；设平面PCD的法向量为()2

222,,nxyz=uur，由2200PCnPDn==uuuruuruuuruur，得22222200xytzxytz+−=−+−=，解得：10x=，1yt=，11z=，故()20,,1nt=uur；由平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为3，得2212

1222212111cos,cos32111nnttnntnntt−−=====+++uuruuruuruuruuruur，解得3t=或t3=−（舍）.得()1,0,3PM=−uuuur，()20,3,1n=uur，设直线PM与平面P

CD所成角为，第15页共20页则()()222222233sincos,41331PMnPMnPMn−====+−+uuuuruuruuuuruuruuuuruur.故直线PM与平面PCD所成角的正弦值为34.20．已知数列na满足11a=，*1,N1nn

naana+=+．(1)求数列na的通项公式；(2)设数列nb满足：2231nnnbaa=+−，nb的前n项和为nT，求证：12nnTn+.【答案】(1)1nan=(2)证明见解析【分析】(1)由条件证明数列1na为等差数列，由等差数列通项

公式求1na的通项，由此可求数列na的通项公式；(2)由(1)通过放缩证明1nb，由此证明nTn，利用基本不等式结合放缩证明1112,1()21nnbnn+−−，由此证明12nTn+.【详解】（1）因为*1,N1nnnaana+

=+，所以1111nnaa+=+，即1111nnaa+-=，又11a=，所以111a=，所以数列1na为首项为1，公差为1的等差数列，所以()1111nnna=+−=，故1nan=，所以数列na的通项公式为1nan=；（2）因为当*Nn时，2411nn，所

以2224231211111nbnnnnn=+−++−=，所以nTn，又当2n，且*Nn时，()2222231131111111111111()222121nnbnnnnnnnn++=+−−=++=+

−−−，所以当1111,112nTb===+，当2n，且*Nn时，123111111111111121222321nnTbbbbnn=++++=++−++−+++−−，所以11111111111212231212nTnnnnnn=+−

+−++−=+−+−，所以对于任意的*Nn，12nTn+，综上所述，对于任意的*Nn，12nnTn+.第16页共20页21．已知抛物线：()220ypxp=，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆()22211xy

aa+=交于C、D两点，其中3OAOB=−uuuruuur．(1)求抛物线方程；(2)是否存在直线AB，使得CD是FA与FB的等比中项，若存在，请求出AB的方程及a；若不存在，请说明理由．【答案】(1)24yx=(2)不存在；理由见解析【分析】（1）设直线AB的方程为2px

my=+，()()1122,,,AxyBxy，联立直线与抛物线，利用根与系数的关系结合已知条件即可求解；（2）由焦半径公式可得()241FAFBm=+，设()()3344,,,CxyDxy，由22221xmyx

aya=++=得()2222210maymya+++−=，由根与系数的关系结合弦长公式可得()222222222114maCDmmama−−=+−++，若CD是FA与FB的等比中项，

则2CDFAFB=，即()()22222222214114mammmama−−+=+−++，判断方程是否有解即可求解【详解】（1）设直线AB的方程为2pxmy=+，()()1122,,,AxyBxy，由222pxmyypx=+

=得2220ypmyp−−=，则21212,2yypmyyp+==−，()2221212121222244pppppxxmymymyymyy=++=+++=，()2121212222ppxxmymymyyppmp

+=+++=++=+，第17页共20页又22212123344ppOAOBxxyyp=+=−=−=−uuuruuur，所以24p=，又0p，所以2p=，所以抛物线方程为24yx=；（2）由（1）可知：()121,0,1

,1FFAxFBx=+=+，所以()()()22212121211121414pFAFBxxxxxxpmpm=++=+++=+++=+，设()()3344,,,CxyDxy，由22221xmyxaya=++=得()2222210maymya+++−=，则23434222221,may

yyymama−−+==++，所以()()()22222234342222211414maCDmyyyymmama−−=++−=+−++，若CD是FA与FB的等比中项，则2CDFAFB=，即()()22222222214114mammmama−−

+=+−++，所以()222222211mamama−=−++，即()22222221mmmama+=++，所以42220mmaa++=，因为4220,0,1mma，所以42221mmaa++，所以方程42220mmaa++=无解，所以不存

在直线AB，使得CD是FA与FB的等比中项．22．设()ln()fxxa=+，21()2gxxx=−+(1)当1a=时，求证：对于任意()()()0,,xfxgx+；第18页共20页(2)设()()()gxFxfxx=−，对于定义域内的x，()Fx有且仅有两个零点12,,xx求证：对于

任意满足题意的a，124xx+．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）将1a=代入()fx中，构造新函数()()()Gxfxgx=−求导，利用函数导数单调性判断即可；（2）先化简1ln()1,2,02()

1ln()1,22xaxxxFxxaxx++−=+−+，根据解析式分析在两段上各有一个零点或者在第二段上有两个零点，分别讨论分析即可.【详解】（1）证明：当1a=时，()ln(1)fxx=+，令()(

)()Gxfxgx=−所以21()ln(1)2Gxxxx=++−所以21()111xGxxxx=+−=++因为0x，所以()0Gx所以()Gx在(0,)+上单调递增所以21()(0)ln(0

1)0002GxG=++−=所以对于任意,()0x+，()()fxgx（2）由21()2()()ln()xxgxFxfxxaxx−+=−=+−1ln()12xax=+−−当11022xx−时，()Fx=1ln()12xax+−+当1102,02xxx−

时，()Fx=1ln()12xax++−第19页共20页所以1ln()1,2,02()1ln()1,22xaxxxFxxaxx++−=+−+依题()Fx有且仅有2个零点，当2,0xx，不满足题意所以()Fx在两段上各有一个零点或者在第二段上有两个

零点．①两段上各有一个零点，令1122,0,2xxx．则111ln()102xax++−=，得11121exax−+=−221ln()102xax+−+=，得21122exax−=−因此：1211112212eexxxx−+−−=−令112()exhxx−+=−，11

21()e102xhx−+=−−恒成立，所以()hx在R单调递减.要证：124xx+即证：124xx−即证：()()124hxhx−即证：()2141112212ee4xxxx−−+−+−−−因为1211

112212eexxxx−+−−=−所以()()222411111222222ee4e4xxxxxx−−−+−−−−=−−所以22242xx成立，因此，124xx+成立②若12,xx均在同一段：()()1ln12Fxxax=+−+上，则必有1212

2,2,4xxxx+显然有成立所以对于任意满足题意的a，124xx+．【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法：①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间），②求极值或最值第20页共20页③求切线方程④通过切线方程求原函数的解析式⑤不

等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围⑥证明不等式解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决.