【文档说明】2023届浙江省91高中联盟高三上学期11月期中联考数学试题解析版.doc，共(23)页，2.799 MB，由小喜鸽上传

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第1页共23页2023届浙江省9+1高中联盟高三上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知集合220Axxx=+−，lg1Bxx=，则AB=（）A．()2,10−B．()0,1C．()0,2D．(),10−【答案】A【分析】求出集合A、B

，利用并集的定义可求得集合AB.【详解】因为()2202,1Axxx=+−=−，()lg10,10Bxx==，故()2,10AB=−.故选：A.2．已知复数z满足()12i2iz−=+，则z=（）A．415

B．45C．413D．1【答案】D【分析】求出z，再求z.也可直接用复数模长性质求解.【详解】解法一：由题意，易得：()()()()2i12i2i5i=i12i12i12i5z+++===−−+，∴i1zz===.解法二：2i2i5112i12i5z++====−−∴1zz==.故选：

D3．过原点且倾斜角为45的直线被圆2220xyy+−=所截得的弦长为（）A．1B．2C．2D．22【答案】B【分析】根据题意，求得直线的方程，根据圆的方程，可得圆心为（0,1），半径1r=，根据点到直线距离公式，可得圆心（0,1）到直线0xy−=的距离d，

代入公式，即可求得答案.【详解】由题意得：直线的斜率tan451k==，且直线过原点，所以直线的方程为0xy−=，第2页共23页圆的方程化为：22(1)1yx+−=，即圆心为（0,1），半径1r=，所以圆心（0,1）到直线0

xy−=的距离012211d−==+，所以直线被圆所截得弦长为22122122rd−=−=.故选：B4．从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（）种.A．1

6B．20C．96D．120【答案】C【分析】分一男两女与两男一女两类讨论.【详解】若选一男两女共有：123243CCA72=；若选两男一女共有：213243CCA24=；因此共有96种，故选：C5．雷峰塔又名黄妃塔､西关

砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”

之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距400m的A､C两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为1.5米的测角仪AB､CD（如图所示）.在测角仪B处测得两个数据：塔顶M仰角30MBP=及塔顶M与观测仪D点的视角16.3M

BD=在测角仪D处测得塔顶M与观测仪B点的视角15.1MDB=，李华根据以上数据能估计雷锋塔MN的高度约为（）（参考数据：sin15.10.2605，sin31.40.5210）A．70.5B．71C．71.5D．72第3页共23页【答案】C【分析】在

BDM中由正弦定理求得200BM=，在直角MBP中，100MP=，将平面MBAP画成平面图，以地平线为基准，根据各个高度关系求MN的高度.【详解】在BDM中400BD＝，16.3MBD=，15.1MDB=，所

以18016.315.118031.4BMD=−−=−，由正弦定理得sinsinBDBMBMDMDB=，所以sin4000.2605200sin0.5210BDMDBBMBMD===，在直角MBP中，sin200sin3010

0MPBMMBP===，将平面MBAP画成平面图如图所示：由题意知：100MP=，161.517.5OPQAAB=+=+=，46ON=，()100(4617.5)71.5MNMPNPMPONOP=−=−−=−−=，故选：C.6．已知ABC中，点D

为边AC中点，点G为ABC所在平面内一点，则“1233AGABAD=+”为“点G为ABC重心”（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【分析】1233AGABAD=+等价于2

BGGD=等价于点G为ABC重心.【详解】充分性：1233AGABAD=+等价于：32AGABAD=+等价于：22AGABADAG−−=等价于：2BGGD=所以G为BD的靠近D的三等分点，所以点G为ABC重心；第4页共23页必要性：若点G为ABC重心，由重

心性质知2BGGD=，故1233AGABAD=+故选：C7．已知函数()fx的定义域为R，且112fx+是偶函数，()1fx−是奇函数，则（）A．()00f=B．102f=C．()10f=D．()3

0f=【答案】D【分析】推导出函数()fx的图象关于直线1x=对称，关于点()1,0−对称，求得()10f−=，结合对称性可判断各项的正误.【详解】因为函数112fx+为偶函数，则111122fxfx−=+，令12tx=可得()()11ftft−=+

，所以，()()11fxfx+=−，因为函数()1fx−为奇函数，则()()11fxfx−−=−−，所以，函数()fx的图象关于直线1x=对称，关于点()1,0−对称，又因为函数()fx的定义域为R，则()10f−=，则()()310ff=−=，()1f、12f

、()0f的值都不确定.故选：D.8．已知ln3a=，3eb=，11211c=，则（）A．c<a<bB．cbaC．abcD．bac.【答案】A【分析】利用ln()xfxx=的单调性比较,ab的大小关系，利用

ln()xfxx=的单调性证明112111即可比较出,,abc的大小关系.【详解】令ln()xfxx=，21ln()xfxx−=，由()0fx得，()0,ex，由()0fx得，()e+x，，所以()fx在()0,e上为增函数，在()e+，为减

函数.因为e<3，所以lneln3e3，即3ln3e，故ab.因为4>11，所以ln2ln4ln112411=，所以11ln22ln11，第5页共23页所以11ln2ln11，所以112111，而ln31a=，所以c<a<b故选：A【点睛】比较

数值大小的方法：①根据函数的结构形式构造指对幂函数，利用它们的单调性比较大小；②采取与中间量比大小，通常与0，1，12比较.③数值之间差距比较小时可以采用扩大倍数，或n次方后再比较大小；④对形式结构从外观上看不太统一的可以先变形后再构造函数并利用函数的单调

性判断函数值大小关系；⑤借助于函数不等式、切线不等式放缩比大小.二、多选题9．已知函数()3fxxaxb=++，其中a，b为实数，则下列条件能使函数()fx仅有一个零点的是（）A．3a=−，3b=−B．3a=−，2b=C．0a=，3b=−D．1a=，2b=【答案】ACD【

分析】将,ab的值代入解析式，利用导数分析函数的单调性与极值，结合图象及零点存在性定理，判断零点个数.【详解】由已知可得()fx的定义域为R.对于A、当3,3ab=−=−时，3()33fxxx=−−，则2()333(1)

(1)fxxxx=−=−+.当1x−或1x时，()0fx;当11x−时，()0fx，故()fx在(,1)−−和(1,)+上单调递增，在(1,1)−上单调递减，故()fx在=1x−处取得极大值(1)1f−=−，在1x=处取得极小值(1)5=−

f.因为(3)150f=且()fx的图象连续不断，故()fx的图象与x轴有且只有一个交点，故此时()fx有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于B、当3,2ab=−=时，3()32fxxx=−+，则2()333(1)(1)fxxxx=−=−

+.当1x−或1x时，()0fx;当11x−时，()0fx，故()fx在(,1)−−和(1,)+上单调递增，在(1,1)−上单调递减，故()fx在=1x−处取得极大值(1)4f−=，在1x=处取得极小值(1)0f=.又因为(3)160f−=−，且()fx

的图象连续不断，第6页共23页故()fx的图象与x轴有且只有两个交点，故此时()fx有且只有两个零点，故该选项不合题意.对于C、当0,3ab==−时，3()3fxx=−，则2()30fxx=…在R上恒成立，当且仅当0x=时

取等号，故()fx在R上单调递增，又因为(2)50,(0)30ff==−，且()fx的图象连续不断，故()fx的图象与x轴有且只有一个交点，故此时()fx有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于D、当1,2ab==时，3()2fxxx=++，则2()310fxx=+在R上恒

成立，故()fx在R上单调递增，又因为(2)80,(0)20ff==－－，且()fx的图象连续不断，故()fx的图象与x轴有且只有一个交点，故此时()fx有且只有一个零点，故该选项符合题意.故选:ACD.10．已知函数()cossinfxxx=−，则（）

A．函数()fx的值域为2,2−B．点π,04是函数()fx的一个对称中心C．函数()fx在区间π5π,44上是减函数D．若函数()fx在区间,aa−上是减函数，则a的最大值为π4【

答案】ABD【分析】利用辅助角公式可得出()π2sin4fxx=−−，利用正弦型函数的值域可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断CD选项.【详解】因为()πcossin2si

n4fxxxx=−=−−.对于A选项，函数()fx的值域为2,2−，A对；对于B选项，π2sin004f=−=，故点π,04是函数()fx的一个对称中心，B对；对于C选项，当π5π44x时，π0π4x−

，故函数()fx在区间π5π,44上不单调，C错；对于D选项，由题意0a且函数()fx在,aa−上为减函数，当axa−时，πππ444axa−−−−，且πππ,444aa−−−−，第7页共2

3页所以，ππππ,,4422aa−−−−，则ππ42ππ420aaa−−−−，解得π04a，故a的最大值为π4，D对.故选：ABD.11．已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中

随机摸球，则下列说法正确的是（）A．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为aab+B．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为()()()11aaabab−++−C．每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后

，摸到红球的次数X的方差为naab+D．从中不放回摸()nna个球，摸到红球的个数Xk=的概率是()CCCknkabnabPXk−+==【答案】AD【分析】利用全概率公式可判断A选项；利用条件概率公式可判断B选项；利用二项分布的方差可判断C选项；利用超几何分布的概率可判

断D选项.【详解】对于A选项，记事件1:A第一次摸红球，事件2:A第一次摸蓝球，事件:B第二次摸红球，则()()()12111aabaaPBPABPABababababab−=+=+=++−++−+，A对；对于B选项，每次摸1个球，摸出的球观

察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为()111aPBAab−=+−，B错；对于C选项，由题意可知~,aXBnab+，则()()2abnabDXnababab==+++，C错；对于D选项，从中不放

回摸()nna个球，摸到红球的个数Xk=的概率是()CCCknkabnabPXk−+==，D对.故选：AD.12．已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD−，以正方体中心O为球心的球O与正方体的各条棱相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（）第8页共23页A．球

O在正方体外部分的体积为213−B．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则17,44PAPB−C．若点P在平面ABCD下方，则直线AP与平面1111DCBA所成角的正弦值最大为223D．若点P､M､N在球O的正方体外部（含

正方体表面）运动，则PMPN最小值为14−【答案】BD【分析】对于A，结合球的体积和正方体体积公式或利用球缺的体积公式即可判断；对于B，可取AB中点E，可将PAPB利用向量运算转化为()()()()22214PPEEAPEEBPEEAPAEPB+=+=−

=−，再结合PE的范围即可判断；对于C，直线AP与平面1111DCBA所成角最大时直线AP正好与平面ABCD下方球O相切，根据几何关系即可求出所成角的最大正弦值，即可判断；对于D，可将PMPN转化为()()()2PMPNOMOPONOPOMONOPOMONOP=

−−=−++，再利用不等式进行转化求解，即可判断.【详解】对于A，正方体的棱切球O的半径22R=，如下图所示，球O在正方体外部的体积342211323OVVV−=−=−球正方体，或者可根据球O在平面1111DCBA上方球缺部分的体积()2

2113221212533322222624VRhh=−=−−−=−，h为球缺的高，第9页共23页所以球O在正方体外部的体积为2556626244V=−=−

，A选项错误；对于B，取AB中点E，可知E在球面上，可得12EBEABA=−=，所以()()()()22214PPEEAPEEBPEEAPAEPB+=+=−=−，点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，所以02PE（当PE为直径时，2PE=），所以17,44PAP

B−，B选项正确；对于C，若正方体上底面字母为ABCD，则直线AP与平面1111DCBA所成角的正弦值最大时，如上图所示P点位置，此时正弦值最大为1，若正方体下底面字母为ABCD，设平面ABCD的中心为1O,直线AP与平面

1111DCBA所成角即为直线AP与平面ABCD所成角，则直线AP与平面1111DCBA所成角最大时，直线AP正好与平面ABCD下方球O相切，过A作平面ABCD下方球O的切线，切点为P，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，可得32OA=，122OAO

P==，112OO=，190OOAAPO==，1APOOOA，所以112OOAP==，2sin3OPOAQOA==，11sin3OOOACOA==，所以直线AP与平面1111DCBA所成角最大时

为CAQ，()22111sinsin33333CAQOAQOAC=−=−=，C选项错误；第10页共23页对于D，()()()2PMPNOMOPONOPOMONOPOMONOP=−−=−++，记向量OP与向量+OMON的

夹角为，22OPOMON===，因为()cosOPOMONOPOMONOPOMON+=++，且()2222OMONOMONOMON+=++，所以()2211222PMPNOMONOPOMONOPOMONOMON=−++−++，令12tO

MON=+，所以上式可化为22121121222224tPMPNttt−=−+=−−，当且仅当22t=时等号成立，此时14OMON=−，即2,3OMON=时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选项正确.故选：BD.【点睛】方法点睛

：用向量方法解决立体几何问题，应树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.三、填空题13．6323xx−的展开式的中间一项的系数是___________.（用数字作答）.

【答案】16027−【分析】利用二项展开式通项可求得所求项的系数.【详解】由二项式展开式可知，6323xx−的展开式的中间一项的系数为()33361160C2327−=−.故答案为：16027−.第11页共23页14

．已知正实数x，y满足2xyxy+=，则xy+的最小值为______.【答案】322+【分析】由题意可得121yx+=，122()()3yxxyxyyxx+=++=++，由基本不等式性质可得xy+的最小值.【详解】解：由2xyxy+=，可得121yx+=，可得122()()3322y

xxyxyyxx+=++=+++，故xy+的最小值为322+【点睛】本题主要考查基本不等式，注意灵活运用其性质进行求解.15．我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面，若棱长为1的正方体被某平面截得的多边形

为正六边形，以该正六边形为底，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是___________.【答案】38##0.375【分析】计算出正六边形的面积，以及棱锥高的最大值，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】在棱长为1的正方体1111A

BCDABCD−中，E、F、G、H、M、N分别为对应棱的中点，由正方体的几何性质可知，六边形EFGHMN为正六边形，且其边长为22，正六边形EFGHMN的面积为232336424S==.以点A为原点，AB、

AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()11,1,1C、11,,02E、1,1,02F、10,1,2G，()11,1,1AC=，11,,022EF=−，11,0,22FG=−

，11,,02AE=，111022ACEF=−+=，111022ACFG=−+=，1ACEF⊥，1ACFG⊥，第12页共23页EFFGF=，EF、FG平面EFGHMN，1AC⊥平面EFG

HMN，当棱锥的顶点为点A或1C时，棱锥的高最大，且该棱锥高的最大值为1133223AEACAC==，因此，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是133333428=.故答案为：38.16．已知椭圆上两

点03,3Aay，03,3Bay−−（a为长半轴长），点F为椭圆右焦点，点C是线段BF中点，AC、AF、x轴恰好围成以A为顶点的等腰三角形，则椭圆的离心率为___________.【答案】32【分析】AC、AF、x轴恰好围成以A为顶点的等腰三角形可知0AC

AFkk+=，即可找到,ac的关系求出离心率.【详解】由题意知(c,0)F，03,262ycaC−−由AC､AF､x轴恰好围成以A为顶点的等腰三角形可知0ACAFkk+=，所以0003333020326yyycaaac+−−+−+＝整理得32ac=，故32e=故答案为：32四、解

答题17．已知数列na的前n项和为nS，若23123452nSSSSnnn++++=++，(1)求数列na的通项公式；(2)证明：123111138nSSSS++++.【答案】(1)42nan=+(2)证明见解析第13页共23页【分析】（1）仿照nS与

na的关系，由23123452nSSSSnnn++++=++求nS，再求na，注意讨论1n=是否符合；（2）先裂项求和，再证明不等式.【详解】（1）当2n时，23123452nSSSSnnn++++=++()()23112113451nSSSSnnn−

++++=−+−+相减得()()22222nnSnSnnnn==++当1n=时，16=S符合上式所以()()*22NnSnnn=+.当2n时，()()()12221142nnnaSSnnnnn−=−=+−−+=+当1n=时，11

6aS==符合上式.故()*42Nnann=+（2）由（1）知：()111112242nSnnnn==−++所以1231111nSSSS++++111111111111143243546112nnnn

=−+−+−+−++−+−−++111113113111314212421284128nnnnnn=+−−=−−=−+++++++18．已知ABC的内角A、B、C所对

的边长分别为a、b、c，且()()()2sinsin2sinsinaABcbBC−=−+，若2ADDB=，1CD=，求：(1)求()cosAB+的值；(2)求2ba+的最大值.【答案】(1)14−(2)610

5第14页共23页【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理求出cosC的值，再利用诱导公式可求得()cosAB+的值；（2）解法一：根据coscos0ADCBDC+=结合余弦定理可得出2249abab++=，利用基本不等式可求得2ab+的最大值；解法二：由向量的线性运算可得出

32CDCACB=+，利用平面向量数量积的运算可得出2249abab++=，利用基本不等式可求得2ab+的最大值.【详解】（1）解：由已知和正弦定理得()()()2221222aabcbcbabcab−=−++−=，由余弦定理可得2221cos24abcCab+−==，所以()()1cos

cosπcos4ABCC+=−=−=−.（2）解：法一：πADCBDC+=，则()coscosπcosBDCADCADC=−=−，由coscos0ADCBDC+=得22222222222241149

902110299212133ccabccabcc+−+−+=+−++−=，即()222222233202332cbacab+−−==+−，又ABC中2222221cos422abcabCcabab+−===+−，从而()2222223234922ababababa

b+−=+−++=，即()()22332293929222babaabab++=+=++，所以()2726102255baab++（当且仅当2ba=时取等号），故2ba+的最大值为6105.法二

：由()2232BADCACBCDCBDCDACCD−=−==+所以，2222294444cosCDCACBCBCAbaabACB=++=++，即2294baab=++，即()()22332293929222baba

abab++=+=++，所以()2726102255baab++（当且仅当2ba=时取等号），故2ba+的最大值为6105.第15页共23页19．已知棱长均为2的平行六面体1111ABCDABCD−，60BAD=，顶点1A的投影E

为棱AB中点.(1)求三棱锥111BABC−的体积；(2)求平面11CCDD与平面11ABC所成角的余弦值.【答案】(1)1(2)31313【分析】（1）等积转化111111BABCCABBVV−−=，点1C到面11ABBA距离等于D到面11ABBA距离，可在等边ABD△中求取；（2）建立空

间直角坐标系，用空间向量求解.【详解】（1）如图，由底面为菱形，60BAD=，得正ABD△，从而有DEAB⊥，又1AE⊥平面ABCD，DE平面ABCD，得1DEAE⊥，又1AEABE=故DE⊥平面11

ABBA，由已知得3DE=，平行六面体1111ABCDABCD−知：1C到面11ABBA距离等于DE长3因为E为AB中点，1ABAE⊥，所以1AAB为正三角形，故11ABB也为正三角形，所以1111112113231322BABCCABBVV−−

===（2）第16页共23页由底面为菱形，60BAD=，得正ABD△，从而有DEAB⊥，以EB为x轴，ED为y轴，1EA为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()1,0,0A−，()10,0,3A，()1,0,0B，(

)2,3,0C，从而()11,0,3BA=−，()113,3,0ACAC==设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则1110300330mBAxzmACxy=−+==+=，令1z=，()3,3,1m

=−，平面11//CCDD平面11ABBA，其一个法向量为()0,1,0n=.所以3313cos,13113mn−==−所以平面11CCDD与平面11ABC所成角的余弦值为3131320．直播电商带货的模式近年来发展势头迅

猛，我国直播电商模式不仅规模上实现增长，在影响力上也发展成为重要的电商消费模式，包括直播活跃程度、覆盖商品类型、主播类型等都实现延展.每年的“双十一”购物节成为各直播电商里关注的节点.某直播公司为增加销售额，准备采取新举措，将原本

单一的直播团队拆分为甲､乙两个直播团队，相互竞争.该公司记录了新举措实施前40天的全公司的日均总销售额和新举措实施后40天的日均总销售额的天数频数分布表，如表所示：新举措实施前40天全公司的日均总销售额日均总销售额（万元）)15,16)16,17)1

7,18)18,19)19,20)20,21)21,22)22,23天数1215622111新举措实施后40天全公司的日均总销售额日均总销售额（万元）)15,16)16,17)17,18)18,19)19,20)20,21)21,22)2

2,23天数1234131421(1)将下面的22列联表补充完整.并回答：在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能否判断公司销第17页共23页售额提高与采取新措施有关；日均总销售额小于20万元的天数日均总销售额不小于20万元的天数总计新举措实施前40

天新举措实施后40天总计(2)后期该公司还打算对甲、乙两个直播团队的表现进行如下考核：选定某周周一至周五的5天时间，两队进行当天销售额的比较，若甲团队的销售额超过10万元且乙团队的销售额未超过10万元，则甲团队得1分，乙团队得1−分；若

乙团队的销售额超过10万元且甲团队的销售额未超过10万元，则乙团队得1分，甲团队得1−分；若两团队的销售额都超过10万元或都未超过10万元，则两团队均得0分.根据以往数据，甲、乙两团队某天销售额超过10万

元的概率分别为1p和2p，某一天的考核中甲团队的得分记为X.（i）若10.5p=，20.8p=，求X的分布列；（ii）若甲、乙两团队在考核开始时都赋予3分，两队销售额比较1次算一轮，若经过10轮比较，甲团队得分的数学期

望超过5分，求1p的取值范围（用2p表示）.参考公式及数据：()()()()22()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357

.87910.828【答案】(1)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能判断公司销售额提高与采取新措施有关第18页共23页(2)（i）答案见解析；（ii）21115pp+【分析】（1）根据题中信息完善22列联表，计算出2K的观测值

，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知随机变量X的可能取值有1−、0、1，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列.（i）将10.5p=，20.8p=代入可得出随机变量X的分布列；（ii）计算出()EX的值，利用期望的性质可得出()10EX，根据

题意可得出关于1p、2p的不等式，结合概率的范围可得出结果.【详解】（1）解：22列联表如下：日均总销售额小于20万元的天数日均总销售额不小于20万元的天数总计新举措实施前40天37340新举措实施后40天231740总计602080因为()

2280371732319613.06710.8286020404015K−==，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能判断公司销售额提高与采取新措施有关.（2）解：X的所有可能取值为1

−、0、1，()()1211PXpp=−=−，()()()1212011PXpppp==+−−，()()1211PXpp==−，（i）将已知值10.5p=，20.8p=代入，得随机变量X的分布列如下表所示：X1−01P0.40.50.1第1

9页共23页（ii）由上可知()()()12121211EXpppppp=−−+−=−，()()()121211010105325EXEXpppp==−−=+，又概率11p，故21115pp+.21．过双曲线()222210,0xyabab−=上一点()1,0A−作两渐近线

的垂线，垂足为D、E，且12ADAE=.(1)求双曲线方程；(2)过点(),0()Bmma的直线与双曲线右支交于P、Q两点，连接AP、AQ，直线()xnmn=与AP、AQ分别交于M、N，90MBN=.（i）若2m=，求n的值；（ii）求n的最小值.【答案】(1)22

1xy−=(2)（i）7332n−=；（ii）1116【分析】（1）由已知可得出1a=，利用点到直线的距离公式可得出2212bc=，再利用a、b、c的关系求得b的值，即可得出双曲线的方程；（2）（i）设直线P

Q方程xtym=+，则1m−，设点()11,Pxy、()()2212,0,0Qxyxx，将直线PQ的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知2MNmnyy−=，可得出()()22111mnmmn−−=++，由2mn=可求得n的值；（ii）由已知可得111mnmnm

−−=++，令()1210,111mpmm−==−++，可得出32211nppp=−+−−++，利用导数求出函数()()32101fppppp=−−++的值域，即可得出n的最小值.【详解】（1）解：双曲线

()222210,0xyabab−=的渐近线方程为0bxay=，由已知得21a=，双曲线上一点()00,xy到渐近线距离之积222222000000222222bxaybxaybxayabccabab−+−==++，即

2212bc=，又22211cbb=+=，22c=，第20页共23页所以双曲线方程为221xy−=.（2）解：（i）设直线PQ方程xtym=+，则1m−，设点()11,Pxy、()()2212,0,0Qxyxx，联列方程组221xtymxy

=+−=，可得()2221210tytmym−++−=，由题意可得210t−且()()222222Δ4411010mttmmt=−−−+−恒成立，又12221tmyyt−+=−，2122101myyt−

=−，直线AP的方程为()()()11111111yxyxyxtym++==+++，令xn=，有()()1111Mynytym+=++，即()()111,1ynMntym+++，同理()()221,1ynNntym+++，直角三角形MNB中，设直线xn=交x轴于

点E，因为90EMBEBMEBMEBN+=+=，则EMBEBN=，所以，tanEBENEMBEMEB==，所以，2EBEMEN=，则()()()()()()()()222122212121121111

111MNynynyynmnyytymtymtyytmyym+++−===+++++++++()()()()()()()()()()()2222222222222221111111211121111mnmnttmtmmmtmttmmtmtt−+−+−==−

−−+++−−++++−−()()()()()()()()22222111112111mmmnmnmttmt−+−+==−+−−++，即()()22111mnmmn−−=++，第21页共23页当2m=时，因为mn，可得7332n−=；（ii）由（i）知：()(

)22111mnmmn−−=++，从而111mnmnm−−=++，令()1210,111mpmm−==−++，则2211pmp+=−，则()()()22232232322111121111111pppppppppnpppppp

ppp+−+−−+−+−====−++−−++−−+++−()()32101fppppp=−−++，则()()()2321131fppppp=−−+=−+−，当103p时，()0fp；当113p时，(

)0fp，所以()fp在10,3上递增，在1,13上递减，故()320,27fp，所以n最小值为1116.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一

是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．22．已知函数()()3lnRfxmxmxxxm=−−.(1

)若()fx的导函数为()gx，试讨论()gx的单调性；(2)若()e1exxfx+对任意的()1,x+恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)1,2+【分析】（1）由()fx可求()gx

，再根据()gx的导函数，讨论参数的范围即可得出()gx的单调性；（2）()e1exxfx+对任意的()1,x+恒成立，转化为211lne0xmxmxx−−−+−，令()211lnexhxmxmxx−=

−−+−，讨论12m和12m时，函数的单调性，并根据函数值大于零，得出m的取值范围.【详解】（1）解：由已知()()23ln1gxfxmxmx=−−=−，则()21616(0)mxgxmxxxx−−==，①当0m时，()0gx，得()gx在()0,

+单调递减；第22页共23页②当0m时，()211666611006mxxmmmxgxxxxm−+−==，得()gx在10,6m单调递减，在1,6m+单调

递增，综上：当0m时，函数()gx在()0,+单调递减；当0m时，函数()gx在10,6m单调递减，在1,6m+单调递增.（2）解：即3eln1exxmxmxxx−−+对()1,x+恒成立，整理得211lne0xmxmxx−−−+−，令()

211lnexhxmxmxx−=−−+−，则求导得()12112exhxmxxx−=−−+，注意到()10h=，而()121hm=−，①当12m时，因为1x，故有，()()()21211111lne1l

ne2xxhxmxxxxxx−−=−−+−−−+−，记()()21111lne2xxxxx−=−−+−，则()1211exxxxx−=−−+，利用ln1xx−（证明略）得1ln1111ln1ln1eexxxxxxx−−−−=，所以()()()231222211

112121e0xxxxxxxxxxxxxxx−−+−−+=−−+−+==，所以()x在()1,+单调递增，故()()10x=，所以()e1exxfx+对任意的()1,x+恒成立，②当12m时，根据①中的放缩得，

()()()()()()()2221111111111111xhxmxmxxmxxmxxxxxxx−−+−+−==−+=−+−=−−+，（i）若0m时，()0hx，不成立，（ii）若10

2m时，当141,112xm−++时，()0hx不符合题意，综上所述，实数m的取值范围是1,2+.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数

的单调性，常化为不等第23页共23页式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．