【文档说明】2023届天津市耀华中学高三上学期第三次月考数学试题解析版.doc，共(20)页，2.116 MB，由小喜鸽上传

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第1页共20页2023届天津市耀华中学高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．设集2,1,0,1,2A=−−.集合2{|20}Bxxx=−−.则AB=（）A．1,0,1−B．0,1C．1,2D．1,0,1,2−【答案】B【分析】解不等式得到集合B，再利用集合的交集求解.【详

解】()()2{|20}{|210}{|12}Bxxxxxxxx=−−=−+=−又2,1,0,1,2A=−−，所以AB=0,1故选：B2．在△ABC中，“sinsinAB”是“A＜B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分

析】先利用大角对大边得到ab，进而利用正弦定理将边边关系得到sinsinAB，即证明了必要性，再同理得到充分性．【详解】在三角形中，若A＜B，则边a＜b，由正弦定理sinsinabAB=，得sinsinAB．若sinsinAB，则由正弦定理sins

inabAB=，得a＜b，根据大边对大角，可知A＜B，即sinsinAB是A＜B的充要条件．故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．解决此题的关键是利用“大

边对大角，大角对大边”进行sinsinAB与AB的转化.3．函数3341xyx=−的图像大致是（）第2页共20页A．B．C．D．【答案】A【分析】利用2x=时0y排除选项D，利用2x=−时0y排除选项C，利用12x=时0y

排除选项B，所以选项A正确.【详解】函数3341xyx=−的定义域为1xx当2x=时，33342801521y==−，可知选项D错误；当2x=−时，()()33432801521y−−==−−，可知选项C错误；当12x=时，33431122

060112y−==−，可知选项B错误，选项A正确.故选：A4．2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法”，耀华园结合线上教育教学模式，开展了云升旗，云班会

等活动．其中由学生会同学制作了第3页共20页宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照)50,60、)60,70、…、90,100分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，下列说法不正确的是（）A．图

中x的值为0.02B．由直方图中的数据，可估计75%分位数是85C．由直方图中的数据，可估计这组数据的平均数为77D．90分以上将获得优秀，则全校有20人获得优秀【答案】D【分析】根据统计学的有关原理逐项分析.【详解】对于A，()

0.0050.0350.0300.010101,0.020xx++++==，正确；对于B，()0.0050.0200.035100.6++=，()0.0050.0200.0350.030100.9+++=，∴75%分位数=0.750.68010850.3−+=，正确；对于C，平

均数=550.05650.2750.35850.3950.177++++=，正确；对于D，90分以上的人数为20000.1200=，错误；故选：D.5．已知⊙M：222220xyxy+−−−=，直线l：220xy++=，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAP

B，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A．210xy−−=B．210xy+−=C．210xy−+=D．210xy++=【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,APBM共圆，且ABMP⊥，根据44PAMPMABSPA==可知

，当直线MPl⊥时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．第4页共20页【详解】圆的方程可化为()()22114xy−+−=，点M到直线l的距离为2221125221d++==+，所以

直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP⊥，所以14442PAMPMABSPAAMPA===，而24PAMP=−，当直线MPl⊥时，min5MP=，min1PA=，此时PMAB最小．∴()1:112M

Pyx−=−即1122yx=+，由1122220yxxy=+++=解得，10xy=−=．所以以MP为直径的圆的方程为()()()1110xxyy−++−=，即2210xyy+−−=，两圆的方程相减可得：2

10xy++=，即为直线AB的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．6．设函数()()2sincoscos2fxxxx=+−，则下列结论错误的是（）A

．()fx的最大值为21+B．()fx的一个零点为π8x=C．()fx的最小正周期为πD．()yfx=的图象关于直线3π8x=对称【答案】B【分析】利用三角函数的恒等变形公式化简为“一角一函”的形式，然后利用三角函双E图象与性质进行判定.【详解】2π()(sinc

os)cos21sin2cos212sin24fxxxxxxx=+=+−=+−−，所以()fx的最小正周期为π，()fx的最大值为21+，C，A正确；当3π8x=时，3ππsin2184−=，所以()yfx=的图象关于直线3π8x=对称，D正确；因为π10

8f=，所以π8x=不是函数()fx的零点，B错误，故选：B.7．双曲线22221(0,0)xyabab−=的左右焦点分别是1F，2F，离心率为e，过1F的直线交双曲线的左支于M，N两点，若2MF

N是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则2e等于（）第5页共20页A．522−B．522+C．3D．232−【答案】A【分析】根据双曲线性质设1MFm=，则22MFma=+，12NFa=，24NFa=，计算得到()222ma=−，根据勾股定

理解得答案.【详解】2MFN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设1MFm=，则22MFma=+，12NFa=，2224NFaaa=+=，则222NFMF=，即()422ama=+，解得()222ma=−，在直角12MFF△中：()()222422222caa=−+，化简得

到22220825224cea−===−.故选：A.8．已知0.5xx=，0.5logyyx=，log0.5zxz=，则（）A．yxzB．zxyC．xzyD．zyx【答案】A【分析】将0.5xx=变形为0.5logxx=，然后从对数函数的定义域及单调性考虑，结合指数函数的

值域，得到0.51x，进而得到1xz，()0.5,1y，yxx，结合0.5logxx=，0.5logyyx=，得到0.50.5loglogxy，xy，求出yxz.【详解】要比较0.5xx=，0.

5logyyx=，log0.5zxz=中的,,xyz大小，等价于比较0.5logxx=，0.5logyyx=，log0.5zxz=中的,,xyz大小，∵0.5logxx=，由定义域可知0x，故0.50.51log0logx=，∵0.

5logyx=在定义域上单调递减，0.501,0log1xx，0.51x，∵0.50z，第6页共20页∴1log0logxxz=，∵0.51x，∴01z，故()0.50,1z，则(

)log0,1xz，1xz，0.5logyyx=，由定义域可知：0y，又∵0.51x，∴()0,1yx，则()0.5log0,1y，()0.5,1y，故yxx，∵0.5logxx=，0.5logyyx=，∴0.50.5loglogxy，xy，yxz.故选：A

.【点睛】方法点睛：对数比较大小的方法有：（1）对于真数相同的对数，可利用倒数法加以解决，有时也可把对数转化为指数式进行比较；（2）当底数与真数都不相同时，一般可选取适当的“媒介”（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较大小，从而间

接地得出要比较的数的大小关系；（3）作差（商）比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差（商），看其值与0或1的关系，从而确定所比两值的大小关系．9．已知定义在R上的偶函数()fx，满足3222[()][()]()

0fxfxxfxx−−+=对任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数()1gxxmx=−−−，（1m），若对任意的11(2,)2x−，存在21xx，使得21()()gxfx=成立，则实数m的取值范围为（）A．[6,1)−B．51[,]22−−C．[0,1)D．1[,0]2−【答案】D【

分析】先根据函数()fx满足的关系式及奇偶性，值域，得到()1,1,111,1xfxxxx−=−，再写出第7页共20页1,()21,11,1mxmgxxmmxmx−=−−−+，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当

1x时，()11gxm=−+及1,2−x时，()gx的图象要位于()fx的下方，得到1122gf，求出实数m的取值范围.【详解】3222[()][()]()0fxfxxfxx−−+=变形为22[()]()10fxxfx−−=，所以()1fx=或22

()fxx=，即()1fx=或()fxx=，因为()fx为偶函数，且值域为[0,1]，所以()1,1,111,1xfxxxx−=−，因为1m，所以1,()121,11,1mxmgxxmxxmmxmx−=−−−=−−−+，在同一坐标系中画出两者的

函数图象，如下图：要想满足若对任意的11(2,)2x−，存在21xx，使得21()()gxfx=成立，则当1x时，()11gxm=−+，所以0m，且1,2−x时，()gx的图象要位于()fx的下方，故只需11

22gf，即12m−，解得：12m−，综上：实数m的取值范围是1[,0]2−.故选：D【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.第8页共20页二、填空

题10．若13iz=−+，则1zzz=−___________.【答案】13i33−+【分析】代入后利用复数的乘法运算法则计算即可.【详解】由于13iz=−+，所以()()131313133313131zzz−+−+===−+−−+−−−iiiii.故答案为：

13i33−+.11．5323xx−展开式中的常数项为__________．【答案】270−【分析】写出二项展开式的通项()531523CrrrrTxx−+=−，令3(5)2rr−=即可得3r=，代入计算可得其常数项.【详解】由题意可知，其通项为()

()533(5)1552231C3CrrrrrrrrTxxxx−−+=−=−，令3(5)2rr−=，得3r=；则常数项为()()3233335523C3C270xx−=−=−.故答案为：270−12．“二十四节气”已经被列入联合国教科

文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的

日影长的和是___________尺．【答案】40【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前12项，相当于已知11215.5,4.5aa==，求解5678aaaa+++.【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此

成等差数列na，设公差为d，则11215.5,4.5aa==所以第9页共20页15.5114.5d+=，则1d=−，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为567811.510.59.58.540aaaa+++=+++=故答案为

：4013．在三棱锥−PABC中，25PAPBPC===，23ABBCAC===，则三棱锥−PABC外接球的体积是______．【答案】1256【分析】作出图形，取等边ABC的中心G，连接PG，可知三棱锥−PABC外接球球心在直线PG上，设三棱锥−P

ABC外接球的半径为R，根据几何关系列出关于R的方程，解出R的值，进而可求得三棱锥−PABC外接球的体积.【详解】取等边ABC的中心G，连接PG、AG，如下图所示：25PAPBPC===，23ABBCAC===，所以，三棱锥−PABC为正三棱锥，所以，三棱锥−P

ABC外接球球心O在直线PG，设该球的半径为R，由正弦定理得22sin3ABAG==，所以，224PGPAAG=−=，由勾股定理得222OAOGAG=+，即2244RR=−+，解得52R=，因此，三

棱锥−PABC外接球的体积为334451253326VR===.故答案为：1256.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，要分析出球心的位置，并结合几何关系列等式求解，考查计算能力，

属于中等题.14．已知正数,xy满足22831322xxyxyy+=++，则xy的最小值是_________．【答案】52第10页共20页【分析】根据题意，将等式22831322xxyxyy+=++化简变形，得到xy的表达式，根据表达式特征利用

换元法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.【详解】根据题意，由22831322xxyxyy+=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xyyxxyxxyxyy+++=++，即322223221)(69

14384384yxxyxxyxyyxxyyyx++=+++=+所以222222221691416914383844yyyxxyxxyyyxxyxxxy++=+=+++++；又因为,xy均是正数，令()0,ytx=+，则221614983()

4xyfttttt=++++=所以，22221831()4444316149348388183tttttttttftt+++++==−=++++−+令2384)183(gtttt++=+，则1616162112110211018999()29271839618327961832727gttt

tttt=++=+++++=+++当且仅当1621996183tt+=+，即12t=时，等号成立；所以2181455()44184182718332ftttt+=+=−−=+所以()ft的最小值为min

5()2ft=;即当1,252ytxyx====时，即55,2xy==时，等号成立.故答案为：52【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出xy的表达式，根据222241691438yxyxyyxxxy++=++可利用齐次

式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.15．已知O为矩形ABCD内一点，满足5OA=，4OC=，7AC=，则OBOD=__________．【答案】4−【分析】根据平面向量的线性运算、数量积的运算律以及余弦定理可求出结果.【详解】OBOD=()()OAABOCCD++OAOC=

OACD+ABOC+ABCD+第11页共20页OAOC=OAAB−ABOC+ABCD+OAOC=()ABOCOAABCD+−+OAOC=ABACABCD++OAOC=()ABACCD++OAOC=ABAD+OAOC=

||||cos,OAOCOAOC=222||||||||||2||||OAOCACOAOCOAOC+−=222||||||2OAOCAC+−=2516492+−=4=−.故答案为：4−.三、解答题16．已知在ABC中，角

A，B，C所对边分别为a，b，c，22(sinsin)sinsinsinABCAB−=−.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若3ab=，求cos(2)BC+的值.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）17−.【分析】（Ⅰ）利用正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（

Ⅱ）利用正弦定理的边角互化可得sin3sinAB=，再由23AB+=求出3tan5B=，再利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】（Ⅰ）∵22(sinsin)sinsinsinABCAB−=−∴由正弦定理得22()abcab−=−，即

222abcab+−=∴1cos2C=，又∵(0,)C第12页共20页∴3C=；（Ⅱ）∵3ab=，∴由正弦定理得sin3sinAB=，∵23AB+=，∴2sin3sin3BB−=，∴3tan5B=，∴0,2B∴2157sin,cos14

14BB==，∴5311sin22sincos,cos21414BBBB===∴1cos(2)cos2cossin2sin7BCBCBC+=−=−17．如图，在四棱锥EABCD−中，平面ABCD⊥平面ABE，//ABDC，ABBC⊥，222ABBCCD===，3AEBE==，点M为BE的中点

.(1)求证：CM∥平面ADE；(2)求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值；(3)在线段AD上是否存在一点N，使直线MD与平面BEN所成的角正弦值为4621，若存在求出AN的长，若不存在说明理由.【答案】(

1)见解析(2)255(3)22【分析】（1）由线面平行的判定定理证明（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解（3）待定系数法表示N点坐标，由空间向量求解【详解】（1）取AE中点F，连接,DFMFM是BE的中点，

//MFAB，12MFAB=，第13页共20页故//MFCD，MFCD=，四边形MFDC为平行四边形，//MCFD，而MC平面ADE，FD平面ADE，CM∥平面ADE（2）因为平面ABCD⊥平面ABE，ABBC⊥，BC

平面ABCD，平面ABCD平面ABEAB=，所以BC⊥平面ABE，取AB中点O，连接,ODOE，易得DO⊥平面ABE，OBOE⊥以O为原点，,,OEOBOE所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系则有(2,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)EBCD，(0,1,1

),(2,1,0)BDBE=−=−，设平面EBD的一个法向量为1(,,)nxyz=，由1100nBDnBE==得020yzxy−+=−=，取1x=，得1(1,2,2)n=，易知平面BDC的一个法向量为2(1,0,0)n=，则1212||15cos==5||||1+2+2nn

nn=，25sin5=，故平面EBD与平面BDC夹角的正弦值为255．（3）(0,1,0)A−，(0,1,1)AD=，设(0,,)ANtADtt==，[0,1]t则(0,1,)Ntt−，(0,2,

)BNtt=−，(2,1,0)BE=−，设平面BEN的一个法向量为(,,)nxyz=，由00nBNnBE==得(2)020tytzxy−+=−=，第14页共20页得2(,,2)2nttt=−，而21(,,1)22MD=−−，故22211|2|||4622sin21||||

111(2)1224tttMDnMDnttt−−+−===++−++，21634130tt−+=，解得12t=或138t=（舍去）故1222ANAD==18．已知椭圆22221(0)xyabab+=的

右焦点为F，上顶点为B，离心率为53，且过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为83.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线:lykxm=+与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若458MPBFm=，求直线l的方

程.【答案】(1)22194xy+=(2)510944yx=+【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出,,,MPBF的坐标，再根据直线与椭圆相切求出,mk之间的关系式，代入458MPBFm=可求得,km,进而求出直线方程.【详解】（1）(),0

Fc，则过F的垂线为xc=，联立椭圆方程得：22222222221,,cybcbybyabaa+==−=弦长=282,3ba=又53cea==，联立222abc=+解之得：3,2,5abc===

所以，椭圆的标准方程为22194xy+=（2）由（1）知()()()250,2,5,0,,,0,(0)25BFNPBFkkNmm=−=，52:,,025NPlyxmPm=+−将直线与椭圆联立()222214936094xyxkxmykxm+=++−=

=+整理得：()22294189360kxkmxm+++−=相切()()()22222184949360,94.kmkmmk−+−==+第15页共20页代入()22294189360kxkmxm+++−=解得：9

Mkxm=−299,kkMmmm−−()22995,2,,5kkBFMPmmmm=−=−+−222999518525458kkkkmMPBFmmmmmm=−+−−=−=解之：5109510

9,,:4444kmlyx===+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根

与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19．已知数列na是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列nb是公比大于0的等比数列，13b=，3218bb−=．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)记()21nnnca=−，*Nn，

求数列nc的前2n项和2nS；(3)设223nndbn=−，记11nniiTd==，证明：当*nN时，23722322nnnTab++−．【答案】(1)21nan=−；3nnb=(2)28n(3)证明见解析【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式、前n项和公式

进行计算可求出结果；（2）根据()()()()221222128(21)12211141nnnnccnnn−−+=−−−+−−=−进行并项求和可求出结果；第16页共20页（3）转化为证明()273142231nnTn−−+，根据()2121311223231nn

ndnn−−−−+进行裂项求和可证明不等式成立.【详解】（1）因为na是公差为2的等差数列，且864S=，所以18782642a+=，解得11a=，所以()12121nann=+

−=−；设等比数列nb的公比为()0qq，因为13b=，3218bb−=，所以23318qq−=，即260qq−−=，解得2q=−（舍去）或3q=，所以1333nnnb−==．（2）由（1）得

()()()221121nnnncan=−=−−，则()()()()2212221212211141nnnnccnn−−+=−−−+−−()()()()()()22222214314141431688(21)nnnnnnnn=−−

−+−−=−−−=−=−，()()()21234212nnnScccccc−=++++++()()2121813521882nnnn+−=++++−==．（3）由（1）可知：2122323nnndnnb−=−=−．又3nnb=，21n

an=−，所以要证明原不等式成立，只需证明：()273142231nnTn−−+成立．当1n=时，左边=1，右边=1，左边=右边．当2n时，因为()()()212212231112323231nnnnnndnnn−−−+==−−−+()()()22

11223111432123231nnnnnnnn−−−+=−−+−−+，因为223(1)nn−+22(12)(1)nn=+−+012222(CC2C2C2)(21)nnnnnnnn=++++

−++012222(CC2C2)(21)nnnnn++−++222(1222)(21)nnnnn=++−−++第17页共20页2321(32)10nnnn=−+=−+，所以223(1)0nn−+，因为

143(21)nn−−+14(12)(21)nn−=+−+01111114(CC2C2)(21)nnnnnn−−−−−=+++−+01114(CC2)(21)nnn−−+−+650n=−，所以143(21)0nn−−+，因为

()()2231121022nnnn+−+=−−，所以2221(1)3nn++，所以()()221223123(1)022432123(1)33nnnnnnnn−−+−+−+−+23=，即()()212313043212

nnnn−−+−+．所以当2n时，有()2121311223231nnndnn−−−−+，所以12212111311111112299382323(1)nnndddnn−++

++−+−++−−−+231112223(1)nn=+−−+即12111nddd+++231112223(1)nn+−−+，所以27314223(1)nnTn−−+，于是，当*n

N时，()273142231nnTn−−+成立．综上所述：当*nN时，23722322nnnTab++−．【点睛】关键点点睛：通过放缩得到()2121311223231nnndnn−−

−−+，并利用它进行裂项求和是解题关键.20．已知函数()()()1lne0xfxaxa−=−有最大值2−，(1)求实数a的值；第18页共20页(2)若lnyx=与exmy−=有公切线()1ln

ykxa=++，求()kmk−的值．(3)若有()ln1lnexmxkxa−++，求()kmk−的最大值．【答案】(1)1ea−=(2)()1kmk−=(3)1【分析】（1）求导根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而根据最大值为2−求解即可；（2）分别对

两函数求导，设切点，并结合导数的几何意义列式，分别得出lnkk=−与1lnkmk=−即可求解；（3）转化可得()mine10xmkxk−−−+在R上恒成立，构造函数()()e1Rxmuxkxkx−=−−+，求导分情况讨

论k的范围，从而分析()ux的最小值可得1lnmkkk−；同理()maxln10xkxk−−+在()0,+上恒成立，构造()()ln10vxxkxkx=−−+，求导分析最大值可得lnkk−，从而得到21mkk−即可.【详解】（1）由题意()11exfxx−=−为减函数，且()10

f=，故在()0,1上()0fx¢>，()fx单调递增，在()1,+上()0fx，()fx单调递减.故()12f=-，即ln12a−=−，解得1ea−=，经检验，1ea−=符合题意．故1ea−=．（2）由（1）ln1a

=−，故()1lne1xfxx−=−−，公切线公切线1ykxk=+−.设lnyx=上切点为()11,lnxx，则11kx=，代入切线()()1111111ln1111xkxxxx=+−=+−=，解得lnkk=

−①.设exmy−=上切点为()22,exmx−，2exmk−=，切线方程()222eexmxmyxx−−−=−，()222ee1xmxmyxx−−=+−由于公切线()222ee11xmxmkxk−−=−=−解得21111kxkk−−==

−，21xk=第19页共20页因此代回，可得1emkk−=，1lnkmk=−②再代入①，得1kmk−=−，()1kmk−=（3）对于e1xmkxk−+−，可得不等式e10xmkxk−−−+在R上恒成立，即()mine1

0xmkxk−−−+在R上恒成立，设()()e1Rxmuxkxkx−=−−+，则()exmuxk−=−，若0k，则()0ux，函数()ux在R上单调递增，且()e10xmuxkxk−=−−+，符合题意

；若0k，令()0lnuxxmk+，令()0lnuxxmk+，所以()ux在(),lnmk−+上单调递减，在()ln,mk++上单调递增，所以()()minlnln1uxumkmkkk=+=

−−+，由()min0ux，得ln10mkkk−−+，即1lnmkkk−①；对于1lnkxkx+−，可得不等式ln10xkxk−−+在()0,+上恒成立，即()maxln10xkxk−−+在()0,+上恒成立，设

()()ln10vxxkxkx=−−+，则()1vxkx=−，若0k，则()1120vk=−，不符合题意；若0k，令()100vxxk，令()10vxxk，所以()vx在10,k上单调递增，在1,k+

上单调递减，所以()max1lnvxvkkk==−−，由()max0vx，得ln0kk−−，即lnkk−②．当0k时，由①②得，22221ln11mkkkkkkk−−−+−=，即21mkk−，设()lnhk

kk=+，则()22e2e0h−−=−+，()110h=，故()hk存在零点0k，故21mkk−当且仅当0kk=，0001lnkkmk−=时等号成立．综上，2mkk−的最大值为1．【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义解决切线的问题，同

时也考查了构造函数解决不等式第20页共20页恒成立的问题.需要根据题意将不等式转化到一边，构造函数，求导分情况讨论分析函数的最值，并结合前后问的关系推导.属于难题.